陳立群

數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題癥結(jié)

在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些教師將教學(xué)僅僅停留在知識(shí)點(diǎn)的羅列上，缺乏方法的指導(dǎo)，因而使教學(xué)囿于識(shí)記的層面。教師靠機(jī)械重復(fù)來加深學(xué)生的印象，學(xué)生則靠死記硬背學(xué)數(shù)學(xué)，結(jié)果學(xué)得既苦又累，成績(jī)也差。

比如，在立體幾何的復(fù)習(xí)課上，由于老師沒有很好地用“證明兩直線異面垂直”的方法把相關(guān)知識(shí)串聯(lián)起來，而只是把“兩直線的異面垂直是通過平行移動(dòng)后兩相交直線成90°”的定義作為知識(shí)點(diǎn)重新告訴給學(xué)生，所以當(dāng)學(xué)生面對(duì)像下面這樣的問題時(shí)就束手無策了。

例1.如圖，V-ABC是一錐體木塊，P為面VBC上一點(diǎn)，現(xiàn)要通過P點(diǎn)在面VBC上畫C一條直線l，使l⊥VA，請(qǐng)寫出畫法。

還有一些老師經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間的教學(xué)實(shí)踐積累了一些解決問題的方法，善于把知識(shí)通過方法串聯(lián)起來，能夠一題多解，這常使學(xué)生羨慕不已，驚嘆老師解題的功夫了得。遺憾的是，這些教師的眼睛盯在應(yīng)試上，教學(xué)只限于方法技能的層面，卻往往為教方法而教方法。

請(qǐng)看這樣的教學(xué)：

例2.已知x2-4xy+5y2+2x-6y+2=0，求x、y的值。

教師一口氣給出了三種解法：

解法二：由x2-4xy+5y2+2x-6y+2=0，把它看成關(guān)于x的方程x2-（4y-2）x+5y2-6y+2=0，令△=（4y-2）2-4（5y2-6y+2）=0，即y2-2y+1=0，∴y=1，代入得x=1。

解法三：觀察原式系數(shù)1-4+5+2-6+2=0成立，可知x=y=1是原方程的解。

這里，為什么要配方，為什么可以令△=0等等，學(xué)生全然不知，只能機(jī)械地記住它，以備后用。

在課堂上，老師往往形式上說變就變了，輔助線想添就添了，究竟基于什么方法和思想，學(xué)生不甚明了。靠“題海戰(zhàn)術(shù)”，老師講上百個(gè)，學(xué)生練上千遍，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力仍然沒有真正增強(qiáng)。

一般來說，人的能力可分為本能、技能、智能三種。大量的、機(jī)械的、重復(fù)的解題方法技能訓(xùn)練，固然有一定的應(yīng)試功效，但其負(fù)面的作用是使技能退化為“本能”。因?yàn)檫@樣訓(xùn)練出來的學(xué)生，在考試時(shí)首先考慮的是老師有否講到過，一旦講過，接下來的就是一個(gè)本能的過程。而我們的教學(xué)目標(biāo)理應(yīng)是由技能上升到智能。從而達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通。缺乏數(shù)學(xué)思想的升華，正是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中問題癥結(jié)所在。

領(lǐng)悟教學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的要?jiǎng)?wù)

新課程強(qiáng)調(diào)以教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變促進(jìn)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。教學(xué)中不僅要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，而且要揭示獲取知識(shí)的思維過程，把知識(shí)與思想的種子播種在學(xué)生的心田，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟。

數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想互為表里，密切相關(guān)，前者呈“顯性”，后者為“隱性”，兩者都以一定的知識(shí)為基礎(chǔ)，反過來又促進(jìn)知識(shí)的深化以及向能力的轉(zhuǎn)化。方法是實(shí)施思想的技術(shù)手段;思想則是對(duì)應(yīng)方法的精神實(shí)質(zhì)和理論根據(jù)。數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的有機(jī)結(jié)合，在基本方法和思想的指導(dǎo)下駕馭數(shù)學(xué)知識(shí)，就能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)智能。在數(shù)學(xué)課上，學(xué)生往往只注意了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，而忽視了聯(lián)結(jié)這些知識(shí)的思想觀點(diǎn)及由此產(chǎn)生的解決問題的方法與策略。而數(shù)學(xué)思想方法揭示了概念、原理、規(guī)律的本質(zhì)，是溝通基礎(chǔ)知識(shí)與能力的橋梁。正如數(shù)學(xué)家喬治·波利亞所說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路。”只有搞清楚為什么要選用這個(gè)方法，上升到數(shù)學(xué)思想的層面，遇到質(zhì)同形異問題才不會(huì)無從下手，遇到新情景下的新問題，才有可能創(chuàng)造性地解決。

筆者看到在一節(jié)高三復(fù)習(xí)課上，老師講解一些有關(guān)不等式的練習(xí)，其中有以下幾題：

一些學(xué)生在運(yùn)用分析法的基礎(chǔ)上：

老師聽說不少學(xué)生選對(duì)了，只順便提了一句，還可以用數(shù)形結(jié)合的方法，并在黑板上畫了右圖，既未作“向上彎”和“向下彎”的凹凸性的“本質(zhì)揭示”，也未作從兩個(gè)到n個(gè)的數(shù)值比較的原理推廣。本題中所含的真正鮮活的數(shù)學(xué)思想被一帶而過，遺憾之至。

教師的講解就事論事，流于形式和表面，不作源頭上的本質(zhì)揭示，學(xué)生自然不可能到達(dá)舉一反三、觸類旁通的境界。在同一個(gè)練習(xí)里，還有以下兩例：

后再求證。沒有一個(gè)學(xué)生想到它們與例3是形異質(zhì)同的問題。

掌握數(shù)學(xué)思想是教學(xué)學(xué)習(xí)的最高境界

數(shù)學(xué)思想是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中解決問題的基本觀點(diǎn)和根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)概念、命題、規(guī)律、方法和技巧的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)中的智慧和靈魂。而在數(shù)學(xué)課堂上，往往看不見教師對(duì)數(shù)學(xué)思想作生動(dòng)活潑的闡釋，卻總是循著概念、例題、練習(xí)、作業(yè)的模式，把一大堆形式化的定義、定理、法則、公式呈現(xiàn)給學(xué)生，單調(diào)枯燥，學(xué)生學(xué)得被動(dòng)，課堂氣氛沉悶。有時(shí)學(xué)生盡管并不理解這些概念和符號(hào)，但不得不死記硬背、機(jī)械套用，以對(duì)付考試。老師還常常抱怨學(xué)生不記課堂筆記，其實(shí)，課堂上聽不懂而記下來，只會(huì)陷入惡性循環(huán)。

胡炯濤先生認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)不能滿足于單純的知識(shí)灌輸，而是要使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)最本質(zhì)的東西，用數(shù)學(xué)的解法，循此培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。”只有搞清楚為什么要選用這個(gè)方法，揭示本質(zhì)，才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，才能真正培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。大千世界中所遇到的問題是原生態(tài)的，遠(yuǎn)不像書上的題目那樣經(jīng)過高度抽象和概括，需要我們用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和思想去發(fā)現(xiàn)、概括，乃至創(chuàng)造。

在當(dāng)前的“中考”、“高考”制度之下，學(xué)校教學(xué)無法回避“應(yīng)試”的要求，不能不考慮學(xué)生和家長(zhǎng)的現(xiàn)實(shí)需要。但作為一名數(shù)學(xué)教師，更應(yīng)著眼的是：學(xué)生走出校門若干年后，當(dāng)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容乃至方法都遺忘的時(shí)候，而對(duì)于數(shù)學(xué)問題所特有的思考、分析、解決方法——數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)思想能否長(zhǎng)存。

這些“觀念”與“思想”可以提供他在解決工作、生活中的問題時(shí)的宏觀的理念指導(dǎo)，可以使他很快恢復(fù)對(duì)數(shù)學(xué)問題本身的理解、把握與解決。舉個(gè)淺顯的例子：加拿大多倫多的城市街道兩旁的樓房編號(hào)，是以一條東西向的Bloor街與一條南北向的Young街的交叉口為原點(diǎn)，即零號(hào)，再向四個(gè)方向依次編號(hào)，即Bloor街東1，3，5，…2，4，6，…Young街南1，3，5，…2，4，6，…其他街道與這兩條街大致平行也如此相應(yīng)編號(hào)。即使外國(guó)人，只要看一下編號(hào)，就知道離市中心有多遠(yuǎn);城市往各個(gè)方向擴(kuò)展，都不會(huì)出現(xiàn)街道編號(hào)上的混亂變更等問題。這應(yīng)該說，最初的規(guī)劃設(shè)計(jì)者較好地活用了直角坐標(biāo)系這一數(shù)學(xué)原理。我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注重這種數(shù)學(xué)智慧的培養(yǎng)。

總之，知識(shí)是基礎(chǔ)，方法是中介、手段，思想才是本原。有了思想，知識(shí)與方法才能上升為智慧。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該教給學(xué)生智慧，為學(xué)生的創(chuàng)新能力打好基礎(chǔ)。世界著名高等學(xué)府哈佛大學(xué)門前有句話：“為增長(zhǎng)智慧走進(jìn)來，為服務(wù)祖國(guó)和同胞走出去?！睘樵鲩L(zhǎng)學(xué)生的智慧而教，這應(yīng)是教師從事教學(xué)工作的核心價(jià)值。