李瑛華

數(shù)學(xué)探究即數(shù)學(xué)的探究性課題學(xué)習(xí)，是指學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程.數(shù)學(xué)探究力即觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，猜測(cè)、探究適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明的能力.數(shù)學(xué)探究是高中數(shù)學(xué)課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式，有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過(guò)程，體驗(yàn)創(chuàng)造的激情，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神；有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.

但是在數(shù)學(xué)教學(xué)中不是任何內(nèi)容都能有效地運(yùn)用探究的方法去組織教學(xué)，探究性的問(wèn)題質(zhì)量直接關(guān)系到學(xué)生的學(xué)習(xí)效度和探究取向，教師應(yīng)把握好時(shí)機(jī)，精選出一些富有挑戰(zhàn)性，能激發(fā)起學(xué)生探究興趣，且可使學(xué)生在探究之后能獲得成就感的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)組織探究式的課堂教學(xué).下面是我教學(xué)實(shí)踐中設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)探究性問(wèn)題的幾個(gè)案例：

例1:在平面幾何中，一個(gè)極為普通的結(jié)論：兩點(diǎn)之間距離最短，它在課本中是作為公理出現(xiàn)的，但這一公理在以后的推論過(guò)程中卻與物理學(xué)中的光學(xué)現(xiàn)象發(fā)生了聯(lián)系，其原因是：光線(xiàn)傳播時(shí)走最短路線(xiàn).在幾何課本中有這樣一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：在鐵路a的同側(cè)有兩個(gè)工廠A、B，要在鐵路邊上建一貨場(chǎng)C，使得A、B兩廠到C的距離之和最小，求C點(diǎn)的位置.

在教師設(shè)計(jì)出這一問(wèn)題的解之后，再?gòu)墓鈱W(xué)角度設(shè)計(jì)下列問(wèn)題：設(shè)光線(xiàn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)鏡面a反射后到達(dá)B點(diǎn)，試做出光線(xiàn)的傳播路線(xiàn)圖.學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)圖完全一樣，此時(shí)他們自然會(huì)提出諸如以下的問(wèn)題并能夠積極地展開(kāi)探索活動(dòng)：

問(wèn)題1:光線(xiàn)從A點(diǎn)射向鏡面a，反射光線(xiàn)與已知直線(xiàn)b：①平行；②垂直，試畫(huà)出光線(xiàn)傳播圖.

問(wèn)題2:自己設(shè)置一些使光線(xiàn)隨意反射傳播的問(wèn)題.

問(wèn)題3:如果設(shè)太陽(yáng)光線(xiàn)平行地射向地球，試設(shè)計(jì)一個(gè)太陽(yáng)灶.（材料：平面鏡，玻璃刀，鋼絲架，玻璃膠等.）

學(xué)生的這一興趣能使課堂探究延續(xù)到課外，去動(dòng)手搞些小制作，這又有利于提高他們的創(chuàng)造能力和動(dòng)手能力.

【設(shè)計(jì)感悟】20世紀(jì)科學(xué)發(fā)展的一大特點(diǎn)就是交叉學(xué)科的不斷涌現(xiàn)，科學(xué)發(fā)展呈現(xiàn)出既綜合又分化的趨勢(shì).數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，在中學(xué)課程中就與其他許多學(xué)科具有很大的關(guān)聯(lián)性.教師深刻挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容與相關(guān)學(xué)科的這種聯(lián)系，選擇聯(lián)系較強(qiáng)的內(nèi)容，設(shè)置探究情境，呈現(xiàn)給學(xué)生，就會(huì)引起他們極大的探究熱情，而且在探究這種問(wèn)題的同時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容和它的方法也能有較深刻的認(rèn)識(shí)，學(xué)生在提高探究能力的同時(shí)，還可對(duì)相關(guān)學(xué)科的研究與學(xué)習(xí)也產(chǎn)生促進(jìn)作用，真正起到數(shù)學(xué)的工具性學(xué)科的作用，但這些問(wèn)題一般是隱藏在數(shù)學(xué)問(wèn)題之中，因而需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)做認(rèn)真的挖掘和鉆研工作.

例2：在學(xué)習(xí)“圓和圓的位置關(guān)系”時(shí)設(shè)計(jì)了一個(gè)循序漸進(jìn)的探究問(wèn)題：

問(wèn)題1：我們生活在豐富多彩的圖形世界里，圓與圓組成的圖形更是我們生活中常見(jiàn)的畫(huà)面.例如，自行車(chē)的兩個(gè)輪子、奧運(yùn)會(huì)的會(huì)標(biāo)、美麗的雙魚(yú)圖、天體中的“日環(huán)食”照片等，都反映了圓與圓的畫(huà)面.請(qǐng)問(wèn)你在生活中還見(jiàn)過(guò)這樣的例子嗎？

本設(shè)計(jì)展現(xiàn)生活中圓與圓組成的圖形，并由學(xué)生舉出實(shí)際例子，豐富學(xué)生對(duì)客觀世界中兩個(gè)圓之間有著多種不同的位置關(guān)系的感知，為學(xué)生自主探索提供可能.

問(wèn)題2：由于圓與圓大小異同的多種不同位置，構(gòu)成了多姿多彩的畫(huà)面.你知道兩個(gè)圓有幾種不同的位置關(guān)系嗎？請(qǐng)你模仿直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)公共點(diǎn)多少的情況畫(huà)一畫(huà)看.

這里不直接給出兩圓的5種位置關(guān)系，而先讓學(xué)生畫(huà)一畫(huà)，實(shí)質(zhì)上是創(chuàng)設(shè)活動(dòng)意境，讓學(xué)生按公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)把兩圓的位置關(guān)系分類(lèi)，從而描述兩圓相離、相交、相切的位置關(guān)系.有利于各類(lèi)學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)，從而獲得不同色彩的“知識(shí)”.

問(wèn)題3：試一試，你能不能講出兩圓共有幾種位置關(guān)系？

設(shè)計(jì)讓學(xué)生運(yùn)用語(yǔ)言來(lái)表述數(shù)學(xué)知識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生的概括和表達(dá)能力，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.最后讓學(xué)生閱讀課本兩圓位置關(guān)系定義，通過(guò)比較和對(duì)照得到綜合的規(guī)律.這樣學(xué)生對(duì)兩圓位置關(guān)系的印象將更深刻.

問(wèn)題4：畫(huà)外離的兩圓，把其中一個(gè)圓的半徑逐漸變大，這時(shí)又有什么現(xiàn)象發(fā)生？這些現(xiàn)象之間有相互的聯(lián)系嗎？

通過(guò)這個(gè)問(wèn)題的探究，讓學(xué)生進(jìn)一步感知圖形的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系互相依賴(lài)，從數(shù)量關(guān)系刻畫(huà)出位置關(guān)系的一種簡(jiǎn)明的符號(hào)語(yǔ)言，并得到兩圓5種位置關(guān)系的判定和性質(zhì).最后再讓學(xué)生結(jié)合課本中的內(nèi)容，把探究結(jié)果綜合，使知識(shí)系統(tǒng)化.

【設(shè)計(jì)感悟】數(shù)學(xué)具有極強(qiáng)的邏輯嚴(yán)密性，這一特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)問(wèn)題解決有其獨(dú)特的思維方法.一種數(shù)學(xué)思想或方法往往會(huì)滲透到不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容中去，這就使這些不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容之間以這種思想或方法為紐帶建立了縱向聯(lián)系，而在這種縱向聯(lián)系中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美的特征，因而掌握數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行探索就具有極大的魅力，而這種縱向聯(lián)系也需要教師帶領(lǐng)學(xué)生去進(jìn)行揭示、探索，因而事先去挖掘這些聯(lián)系，就成為探究課選材的一個(gè)視角.數(shù)學(xué)各不同分支之間方法的互用就是一種很普遍的數(shù)學(xué)事實(shí).如用幾何方法解決代數(shù)問(wèn)題等.

例3：根據(jù)以下幾種構(gòu)成方式，是否能發(fā)現(xiàn)一些其他的判定方式呢？

把對(duì)平行四邊形5個(gè)判定定理列出，并對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)前4個(gè)判定定理在結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)是：在條件上包含單一的四邊形元素，而且包括了這種元素的全部，這些元素所滿(mǎn)足的條件也相同.如“兩組對(duì)邊分別相等”所包括的元素是四邊形的對(duì)邊，而且兩組都包括，且兩組對(duì)邊所滿(mǎn)足的條件也相同，都是相等.第五個(gè)判定定理“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”在結(jié)構(gòu)上與前面 4個(gè)定理不同，但又有聯(lián)系，它只包括了一組對(duì)邊，但這組對(duì)邊卻要求同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：相等和平行.它似乎可以被看作是從前面兩個(gè)定理的條件中各取一個(gè).（從兩組對(duì)邊分別平行中取一組對(duì)邊平行：從兩組對(duì)邊分別相等中取一組對(duì)邊相等）復(fù)合而成，因此，問(wèn)題情境就已經(jīng)明確地展現(xiàn)出來(lái)了.學(xué)生就可用類(lèi)比拓廣的方式展開(kāi)探究發(fā)現(xiàn)的過(guò)程.

【設(shè)計(jì)感悟】長(zhǎng)期以來(lái)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，問(wèn)題解決在教學(xué)中得到了足夠的重視，但其實(shí)更具挑戰(zhàn)勝，更具魅力的還在于問(wèn)題的提出，即通過(guò)觀察、歸納、類(lèi)比、一般化或特殊化等方法，依據(jù)已有結(jié)論，提出新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，再去利用演繹的方法證明或證偽.在中學(xué)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著許多可以拓廣或推廣的問(wèn)題，可用來(lái)讓學(xué)生在探究中提出問(wèn)題.

例4：若四面體各棱的長(zhǎng)是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是____（只需寫(xiě)出一個(gè)可能的值）．

本題為策略開(kāi)放題，過(guò)程需學(xué)生自己設(shè)計(jì)．由于四面體的棱長(zhǎng)未一一給出，首先需探求和設(shè)計(jì)符合題意的幾何圖形，再按圖索驥，得出結(jié)論．本題只要求寫(xiě)出一個(gè)可能的值，所以，我們可以盡量構(gòu)造相對(duì)簡(jiǎn)單、易求值的圖形．如：底面為邊長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均為2．不難算得，此時(shí)體積為 .作為本題的延伸，我們可以考慮所有符合題意的圖形．由于三角形的兩邊之長(zhǎng)大于第三邊，所以，組成四面體各個(gè)面的三角形中，或者只有一邊長(zhǎng)為1，或者3邊長(zhǎng)全為1．如果這些三角形中，有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，則將其作為底面，考慮其側(cè)棱長(zhǎng)，共四種情況：兩邊為1，一邊為2；一邊為1，兩邊長(zhǎng)為2；三邊長(zhǎng)全為2．簡(jiǎn)單的考察不難知道，只有最后一種情況是可能的．如果這些三角形中，不存在邊長(zhǎng)為1的正三角形，則只可能有兩種情況：四面體的6條棱中，只有一組相對(duì)棱的長(zhǎng)度為1，其余棱長(zhǎng)全為2；只有一條棱長(zhǎng)為1，其余棱長(zhǎng)全為2．綜上，共3種情況．如圖：

【設(shè)計(jì)感悟】長(zhǎng)期以來(lái)，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)都在設(shè)計(jì)和解決那些條件完備且有惟一正確的標(biāo)準(zhǔn)答案的數(shù)學(xué)問(wèn)題.這就很容易造成一種錯(cuò)覺(jué)：數(shù)學(xué)問(wèn)題就是有惟一正確答案的問(wèn)題，誤導(dǎo)了學(xué)生，也阻礙了其積極參與的熱情.而數(shù)學(xué)開(kāi)放題具有題目條件不完備，解題策略多樣化和結(jié)論的不確定等特點(diǎn).開(kāi)放性問(wèn)題的引入，給數(shù)學(xué)教育注入活力，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)產(chǎn)生一種新的領(lǐng)悟.由于這種多變性，使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究充滿(mǎn)激情，能夠極大地發(fā)揮他們的主體作用.在選編開(kāi)放性問(wèn)題時(shí)，要取材于學(xué)生所熟悉的背景問(wèn)題之中.在引導(dǎo)學(xué)生積極探索之后，可以及時(shí)地導(dǎo)出一般的結(jié)論或據(jù)此提出新的問(wèn)題，以提高學(xué)生的概括能力和遷移能力.

（作者單位：山東省寧陽(yáng)市第4中學(xué)）

編輯/張燁

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