曹　毅　李保坤　周　輝　張文祥

摘 要：對具有半對稱結(jié)構(gòu)的6/6-SPS 型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解進(jìn)行了研究。建立了一類具有半對稱結(jié)構(gòu)的6/6-SPS 型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動學(xué)正解的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造了一個關(guān)于該并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺位置參數(shù)及姿態(tài)參數(shù)的多元多項式方程組?；谠摲匠探M并采用Mathematica符號計算軟件編制了基于Mathematica語言的6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動學(xué)正解的求解程序，計算結(jié)果表明，對于任意給定的該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)以及六個驅(qū)動桿桿長，該類6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解在復(fù)數(shù)域內(nèi)最多有28組解析解。

關(guān)鍵詞：Stewart機(jī)構(gòu)；運動學(xué)正解；符號計算Mathematica 軟件

中圖分類號：TP242.2文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1672-1098(2008)01-0040-05

收稿日期：2007-09-28

資助項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(50275129)；江南大學(xué)博士基金資助項目(207000-21050616)

作者簡介：曹毅(1974-)，男，安徽安慶人，副教授，博士，主要研究方向為并聯(lián)機(jī)器人、機(jī)械電子工程。

Direct Kinetics Analysis of A Special Class of the

6/6-SPS Stewart Manipulators

CAO Yi1,LI Bao-kun2,ZHOU Hui1,ZHANG Wen-xiang2

(1. School of Mechanical Engineering, Jiangnan University, Wuxi Jiangsu 214122, China; 2. School of Mechanical Engineering, Anhui University of Science and Technology, Huainan Anhui 232001, China)

Abstract: In the paper direct kinematics analysis of a special class of the 6/6-SPS Stewart manipulators is presented. The mathematical algorithm of direct kinematics analysis of Stewart manipulators of 6/6-SPS type with semisymmetrical structure was established. A multivariate polynomial equation set with position parameters and orientation parameters of the parallel manipulators in moving platform was constructed. On the basis of the equation set and symbolic computation software Mathematica, the program for direct kinetics analysis of 6/6-SPS Stewart manipulators was composed. Computation results show that the maximum number of solution to the direct kinematics problem of 6/6-SPS Stewart manipulators is up to 28 in complex domain for any given set of geometric parameters and length of six given links of the manipulator considered in the paper.

Key words:Stewart manipulator;direct kinematics analysis;symbolic computation;software Mathematica

Stewart平臺具有承載能力大、剛度好、無積累誤差、精度高、系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)快等特點［1］，在飛行模擬器、機(jī)器人、新型機(jī)床等領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用。機(jī)器人運動學(xué)正解的研究在機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)的研究中具有重要的地位，特別是對并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)，并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解問題一直是并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)運動學(xué)研究的難點和熱點之一。國內(nèi)外諸多學(xué)者分別采用數(shù)值法、解析法等方法對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解問題進(jìn)行了深入而細(xì)致的研究［2-16］。但是，不難發(fā)現(xiàn)這些研究大多是針對具有特殊結(jié)構(gòu)形式的并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)，而對6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解，文獻(xiàn)［7,13,18-19］等進(jìn)行了研究。

本文對具有半對稱結(jié)構(gòu)的6/6-SPS 型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解進(jìn)行了研究。建立了一類具有半對稱結(jié)構(gòu)的6/6-SPS 型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動學(xué)正解的數(shù)學(xué)模型，采用該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和桿長作為輸入變量，構(gòu)造了一個關(guān)于該并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺位置參數(shù)及姿態(tài)參數(shù)的多元多項式方程組?；谠摲匠探M并采用Mathematica符號計算軟件編制了基于Mathematica語言的6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動學(xué)正解的求解程序，計算結(jié)果表明，對于任意給定的該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)以及六個驅(qū)動桿桿長，該類6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解在復(fù)數(shù)域內(nèi)最多有28組解析解。并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動學(xué)正解的研究為該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間分析、軌跡規(guī)劃及控制奠定了重要的理論基礎(chǔ)。

1 機(jī)構(gòu)運動學(xué)反解方程的建立

圖1所示是一典型的6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)示意圖，該機(jī)構(gòu)由上下兩個相似的半規(guī)則的六邊形,獴1B2,…,B5B6以及C1C2,…,C5C6，通過六桿相連而成，其中玈代表球面副，P代表移動副。在上平臺(動平臺) 獴1B2, …, B5B6以及下平臺(定平臺) C1C2,…,C5C6上分別建立動坐標(biāo)系O′-x′y′z′和定坐標(biāo)系O-xyz，其中O′、O分別是上下平臺的幾何中心。上平臺的位置用幾何中心O′在定坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)(x,y,z)表示，上平臺的姿態(tài)用三個歐拉角(ⅵ,θ,Ψ)表示。

該機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)可描述為，上下平臺的外接圓半徑分別表示為玆璪和R璦，長邊C1C2和B4B5所對應(yīng)的中心角均為β0。設(shè)頂點B璱(i=1,2,…,6)在動坐標(biāo)系O′-x′y′z′中的列矢量表示為BB′璱:(B′﹊x，B′﹊y,B′﹊z)T頂點B璱和C璱在定坐標(biāo)系O-xyz中的列矢量分別表示為BB′璱:(B′﹊x，B′﹊y,B′﹊z)T和BC′璱:(C′﹊x，C′﹊y,C′﹊z)T。

機(jī)構(gòu)的運動學(xué)反解是指當(dāng)已知機(jī)構(gòu)的輸出構(gòu)件的位置和姿態(tài)， 求解機(jī)構(gòu)的主動構(gòu)件的位置。 當(dāng)給定該并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的位置(玿, y, z)和姿態(tài)(ⅵ,θ,Ψ)，此時該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的六個驅(qū)動桿桿長矢量l璱(i=1,2,…,6)可以通過下式(1)求得

l璱=B璱-C璱i=1,2,…,6(1)

從而可以求得該類6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)反解，式(2)中ρ璱表示第i個驅(qū)動桿的桿長。

ρ璱=‖l璱‖=‖B璱-C璱‖i=1,2,…,6

(2)

式(2)即是該類6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)反解的解析表達(dá)式。

圖1 6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)示意圖

2 機(jī)構(gòu)運動學(xué)正解的研究

機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解是指當(dāng)已知機(jī)構(gòu)主動構(gòu)件的位置， 求解機(jī)構(gòu)的輸出構(gòu)件的位置和姿態(tài)。 當(dāng)給定該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的六個驅(qū)動桿桿長ρ璱(i=1, 2, …, 6)，此時機(jī)構(gòu)動平臺的位置(x, y, z)和姿態(tài)(ⅵ,θ,Ψ)理論上可以通過式(2)求得。但式(2)是一個關(guān)于該并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的位置參數(shù)(x,y,z)和姿態(tài)參數(shù)(ⅵ,θ,Ψ)的三角函數(shù)的非線性高耦合的高階方程的方程組，式(2)很難進(jìn)行數(shù)值求解，并且數(shù)值法不僅依賴于其初值的選取，而且其解的收斂性問題尚未得到有效的解決，因此數(shù)值法通常很難求得該類并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動學(xué)正解的全部解也無法確定解的最大數(shù)目。

與之相反的是解析法可以求解出所有的解析解， 但是由于計算量大， 而且其計算復(fù)雜， 以前很難真正實施。 符號計算理論的提出及發(fā)展為解析法的實施提供了堅實的理論基礎(chǔ)， 它既能解決數(shù)值問題又能進(jìn)行公式推導(dǎo)和符號運算， 因此利用解析法來求解并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解將是一種行之有效的方法。 基于Mathematica符號計算軟件的強大符號運算功能， 本文將采用解析法來研究該類6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解。

2.1 數(shù)學(xué)模型的建立

由于式(2)很難進(jìn)行數(shù)值求解，因此對于給定的該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)以及六個驅(qū)動桿桿長，該類6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動平臺的姿態(tài)(ⅵ,θ,Ψ)將無法求解，因此必須另辟蹊徑?；谖墨I(xiàn)［17］提出的結(jié)論，剛體在三維空間中的姿態(tài)總可以用一個單位正交矩陣來描述。因此，不妨引入一個單位正交矩陣［T］來描述該并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的姿態(tài)，也即該并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺相對于定平臺的方向余弦。此時機(jī)構(gòu)動平臺上的各頂點B璱(i=1,2,…,6)在動坐標(biāo)系O′-x′y′z′中的坐標(biāo)B′璱和其在定坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)B′璱兩者滿足下式

B﹊x

B﹊y

B﹊z=［T］B′﹊x

B′﹊y

B′﹊z+O′(i=1,2,…,6)(3)

式中：В跿］為［u v u×v］=u1v1u2v3-u3v2

u2v2u3v1-u1v3

u3v3u1v2-u2v1

O′為｛x y z｝T

由于矩陣［T］是一單位正交矩陣，故滿足如下約束

∑3i=1u2璱=1

∑3i=1v2璱=1

∑3i=1u2璱v2璱=1(4)

值得指出的是，上述數(shù)學(xué)模型的建立為該類6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動學(xué)正解的求解奠定了重要的基礎(chǔ)。

2.2 機(jī)構(gòu)運動學(xué)正解的研究

對于任意給定的該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)玆璦、R璪、β0以及六個驅(qū)動桿桿長ρ璱(i=1,2,…,6)， 聯(lián)立式(2)、式(3)、式(4)即可求得該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動平臺在三維空間中的位置(x,y,z)及其方向余弦矩陣［T］

f0i=‖TB′璱+O′-C璱‖2-ρ2璱=0

(i=1,2,…,6)

f07=∑3i=1u2璱-1=0

f08=∑3i=1v2璱-1=0

f09=∑3i=1u璱v璱=0(5)

式(5)是一個包含9個變元［x,y,z;u1,u2,u3,v1,v2,v3］的多項式方程組，從而該類6/6-SPS 型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解問題也相應(yīng)地轉(zhuǎn)化為一個多元多項式方程組的求解問題。

基于上述數(shù)學(xué)模型，利用著名的Mathematica符號計算軟件的強大符號運算功能編制了基于Mathematica語言的該類6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動學(xué)正解的求解程序，限于篇幅，具體求解程序在此未做進(jìn)一步的闡述，具體可查閱文獻(xiàn)［18-19］。 研究結(jié)果表明， 對于任意給定的該類并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)玆璦、R璪、β0以及六個驅(qū)動桿桿長ρ璱(i=1,2,…,6)，該類6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解［x,y,z;u1,u2,u3,v1,v2,v3］在復(fù)數(shù)域內(nèi)最多有28組解析解，這也是到目前為止首次在復(fù)數(shù)域內(nèi)研究該類Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動學(xué)正解并確定了解析解的最大數(shù)目。

如上所述， 對每一組該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解［x, y, z; u1, u2, u3, v1, v2, v3］，根據(jù)下式(6)即可求得該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動平臺在三維空間中的姿態(tài)(ⅵ,θ，Ψ)

θ=A玹an 2(u23+v23,u1v2-u2v1)

ⅵ=A玹an 2(u3v1-u1v3,u2v3-u3v2)

Ψ=A玹an 2(v3,-u3)(6)

式(6)中，獳玹an 2(x,y)是雙變量反正切函數(shù)。值得指出的是，對于任一給定的該并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的姿態(tài)(ⅵ,θ，Ψ)，此時必定存在唯一的一個單位正交矩陣［T］，也即唯一的一組［u1,u2,u3,v1,v2,v3］與之相對應(yīng)；同理，對于任一給定的單位正交矩陣［T］，由式(6)也可確定唯一的一組(ⅵ,θ，Ψ)與之相對應(yīng)?；?ⅵ,θ，Ψ)與［T］二者之間的“一一映射”關(guān)系，因此也可用［T］來表示該并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的姿態(tài)。綜上所述，對于任意給定的該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)R璦、R璪、β0以及六個驅(qū)動桿桿長ρ璱(i=1,2,…,6)，該類6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解［x,y,z;ⅵ,θ，Ψ］在復(fù)數(shù)域內(nèi)最多有28組解析解。

3 計算實例

為驗證上述理論結(jié)果的正確性，本文將首先研究一具體的6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)反解，再以該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和運動學(xué)反解為輸入變量來求解該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解。 該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)分別為： 機(jī)構(gòu)動平臺的外接圓半徑獴璪=6 cm， 定平臺的外接圓半徑獴璦=8 cm，中心角β0=90°。

限于篇幅，本文只給出該并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動學(xué)正、反解的一個實例，在此實例中，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的位置、姿態(tài)分別為(玿,y,z)=(0 cm,0 cm,16 cm)、(ⅵ,θ，Ψ)=(0°,0°,0°)，此時機(jī)構(gòu)的運動學(xué)反解即驅(qū)動桿桿長ρ璱(i=1,2,…,6)可由式(2)計算，其結(jié)果為16.518 cm，即六個桿長是相等的。

基于Mathematica符號計算軟件并以該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)玆璦、R璪、β0以及六個驅(qū)動桿桿長ρ璱(i=1,2,…,6)為輸入變量，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解［x,y,z;u1,u2,u3,v1,v2,v3］(［x,y,z;ⅵ,θ，Ψ］)可由式(5)、式(6)聯(lián)立求解而得。計算結(jié)果表明，對于給定的該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)R璦、R璪、β0以及六個驅(qū)動桿桿長ρ璱(i=1,2,…,6)，該類6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解［x,y,z;u1,u2,u3,v1,v2,v3］在復(fù)數(shù)域內(nèi)確實存在28組解析解，限于篇幅，本文只給出其中的實數(shù)解，如表1所示。表1 6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解

正

解玐玒玓/cm玼1u2u3v1v2v3ⅵ咋圈藩/(°)實

例00161.000001.000000009.472 23-1.000 0000-1.000 001800007.349 5712.217 51.000 0000-0.268 140.963 38-90105.55490-6.364 9-3.674 812.217 50.048 90-0.549 1-0.834 3-0.549 120.682 97-0.481 730.00105.554-30.06.364 91-3.674 812.217 50.048 900.549 120.834 310.549 120.682 97-0.481 7150.00105.554-1500-9.146 98.465 48-1.000 00000.578 26-0.815 9-90125.329-90-7.921 54.573 468.465 480.183 70-0.683 4-0.706 6-0.683 41-0.605 430.407 92150.00125.32930.07.921 464.573 468.465 480.183 700.683 410.706 550.683 41-0.605 430.407 9230.00125.32915000-161.000 00001000000-9.472 2-1.000 0000-1.000 001800007.349 57-12.2181.000 0000-0.268 14-0.963 490105.554-90-6.364 9-3.674 8-12.2180.048 90-0.54910.834 31-0.549 120.682 970.481 69-150.00105.5541506.364 9-3.675-12.2180.048 900.549 12-0.834 30.549 120.682 970.481 69-30.0105.55430.00-9.147-8.465 5-1.000 00000.578 260.815 8590125.32990-7.921 54.573 46-8.465 50.183 70-0.683 40.706 55-0.683 41-0.605 43-0.407 9-30.00125.329-1507.921 464.573 46-8.465 50.183 700.683 41-0.706 60.683 41-0.605 43-0.407 9-150.00125.329-30.0

4 結(jié)論

本文對具有半對稱結(jié)構(gòu)的6/6-SPS 型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解進(jìn)行了研究。建立了一類具有半對稱結(jié)構(gòu)的6/6-SPS 型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動學(xué)正解的數(shù)學(xué)模型，采用該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和桿長作為輸入變量，構(gòu)造了一個關(guān)于該并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺位置參數(shù)及姿態(tài)參數(shù)的多元多項式方程組。 基于該方程組并采用Mathematica符號計算軟件編制了基于Mathematica語言的6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動學(xué)正解的求解程序， 研究結(jié)果表明， 對于任意給定的該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)以及六個驅(qū)動桿桿長， 該類6/6-SPS型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)正解在復(fù)數(shù)域內(nèi)最多有28組解析解。

參考文獻(xiàn)：

［1］ STEWART D.A platform with six degrees of freedom［J］.In:Proc.Inst.Mech.Eng 1965(180):371-378.

［2］ GRIFFIS M, DUFFY J. A Forward displacement

analysis of a class of Stewart platforms［J］.Journal of Robotic Systems,1989,10(3):703-720.

［3］ MERLET J-P. Direct kinematics and assembly

modes of parallel manipulators［J］.The International Journal of Robotics Research,1992,11(2):150-162.

［4］ WEN F A,LIANG C G.Displacement analysis of the 6-6 Stewart platform mechanisms［J］.Mechanism and Machine Theory,1994,29(4):547-557.

［5］ SREENIVASAN S V,WALDRON K J.Closed-form direct displacement analysis of a 6-6 Stewart platform［J］.Mechanism and Machine Theory,1994,29(6):855-864.

［6］ WAMPLER C W.Forward displacement analysis of general six-in-parallel Stewart platform manipulators using soma coordinates［J］.Mechanism and Machine Theory,1996,31(3):331-337.

［7］ HUSTY M L.An algorithm for solving the direct kinematics of general Stewart-Gough platforms［J］.Mechanism and Machine Theory,1996,31(4):365-380.

［8］ SIKA Z,KOCANDRLE P.An investigation of properties of the forward displacement analysis of the generalized Stewart-Gough platform by means of general optimization methods［J］.Mechanism and Machine Theory,1998,33(3):245-253.

［9］ KU D M.Direct displacement analysis of a Stewart platform mechanism［J］.Mechanism and Machine Theory,1999,34(3):453-465.

［10］ NIELSEN J, ROTH B. On the kinematic analysis of robotic mechanisms［J］.The International Journal of Robotics Research, 1999, 18(12): 1 147-

1 160.

［11］ BONEV I A,RYU J.A new method for solving the direct kinematics of general 6-6 Stewart platforms using three linear extra sensors［J］.Mechanism and Machine Theory,2000,35(3):423-436.

［12］ LEE T Y,SHIM J K.Forward kinematics of the general 6-6 Stewart-Gough platform using algebraic elimination［J］.Mechanism and Machine Theory,2001,36(9):1 073-1 085.

［13］ 王玉新,王儀明.對稱結(jié)構(gòu)并聯(lián)機(jī)器人的位置正解及構(gòu)型分析［J］.中國機(jī)械工程,2002,13(9):734-736.

［14］ MERLET J-P. Solving the forward kinematics of a

Gough-type parallel manipulator with interval analysis［J］.The International Journal of Robotics Research,2004,23(3):221-235.

［15］ GAO X S, LIAO Q Z. Generalized Stewart-Gough

platforms and their direct kinematics［J］.IEEE Transactions on Robotics and Automation, 2005, 21(2):141-151.

［16］ LI H D,GOSSELIN C M.Analytic form of the six-dimensional singularity locus of the general Gough-Stewart platform［J］.Journal of Mechanical Design, 2006,128(1): 279-287.

［17］ 熊有倫,丁漢.機(jī)器人學(xué)［M］. 北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1993：93-128.

［18］ 黃真,趙永生.高等空間機(jī)構(gòu)學(xué)［M］. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2006.

［19］ CAO Y,HUANG Z.The research on direct kinematic problem of a special class of the Stewart-Gough manipulators［C］// In:ICAR 2007 Jeju,Korea,2007,1 021-1 026.

(責(zé)任編輯：李 麗)