莊億農(nóng)

方差是刻畫一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)程度的統(tǒng)計量．方差越大，數(shù)據(jù)的波動性就越大，數(shù)據(jù)就越不穩(wěn)定．常用計算公式s2＝［（x1－[x]）2＋（x2－[x]）2＋…＋（xn－[x]）2］來求數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差．由于公式中用到的數(shù)據(jù)較多，所以計算比較煩瑣．下面，我們介紹幾種簡化運算的技巧．

一、簡化計算公式

因為n[x]＝x1＋x2＋…＋xn，而（x1－[x]）2＋（x2－[x]）2＋…＋（xn－[x]）2＝x12－2x1[x]＋[x]2＋x22－2x2[x]＋[x]2＋…＋xn2－2xn[x]＋[x]2＝x12＋x22＋…＋xn2－2[x]（x1＋x2＋…＋xn）＋n[x]2＝x12＋x22＋…＋xn2－2n[x]2＋n[x]2＝x12＋x22＋…＋xn2－n[x]2．所以s2＝（x12＋x22＋…＋xn2－n[x]2）＝（x12＋x22＋…＋xn2）－[x]2．從化簡后的公式可以看出，這里數(shù)據(jù)的平均數(shù)沒有參與到較復雜的運算中，這樣就使計算過程大為簡化，特別是當一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是分數(shù)時，利用這個公式求方差就更方便．如求數(shù)據(jù)3，－1，2，1，－3，3的方差時，先求其平均數(shù)[x]＝（3－1＋2＋1－3＋3）＝，若用原公式計算方差，就會出現(xiàn)很多分數(shù)的平方，計算起來比較麻煩．但若采用化簡后的公式，則s2＝［32＋（－1）2＋22＋12＋（－3）2＋32］－

2＝－＝，這樣就避免了多次計算分數(shù)平方的情況．

二、數(shù)據(jù)加減后的方差

若一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為[x]，方差為s2，把這組數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)a，得到一組新數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a，其平均數(shù)為[x]＋a，方差為［（x1＋a－[x]－a）2＋（x2＋a－[x]－a）2＋…＋（xn＋a－[x]－a）2］＝［（x1－[x]）2＋（x2－[x]）2＋…＋（xn－[x]）2］＝s2，即方差不變．同樣，把這組數(shù)據(jù)同減去一個常數(shù)a，得到一組新數(shù)據(jù)x1－a，x2－a，…，xn－a，其平均數(shù)為[x]－a，方差仍然為s2．利用方差的這個特點，可以簡化方差的求解過程．比如求數(shù)據(jù)2 011，2 007，2 010，2 009，2 005，2 011的方差時，如果直接計算，運算量較大，容易出錯，觀察發(fā)現(xiàn)，可以先將每個數(shù)據(jù)減去2 008，得到一組新的數(shù)據(jù)3，－1，2，1，－3，3，再求這組數(shù)據(jù)的方差就很容易了．

三、數(shù)據(jù)放縮后的方差

若將一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn（其平均數(shù)為[x]）同時乘以m（相當于放縮），得到一組新數(shù)據(jù)m x1，m x2，…，m xn，其平均數(shù)顯然為m[x]，方差為［（mx1－m[x]）2＋（mx2－m[x]）2＋…＋（mxn－m[x]）2］＝［m2（x1－[x]）2＋m2（x2－[x]）2＋…＋m2（xn－[x]）2］＝m2s2，即將一組數(shù)據(jù)同時乘以m，其方差按照m2作相應的放縮．利用這個特征，一樣可以簡化方差的求解過程．如求數(shù)據(jù)18，－6，12，6，－18，18的方差時，可以先將每個數(shù)據(jù)乘以，得到數(shù)據(jù)3，－1，2，1， －3，3，易求得這組數(shù)據(jù)的方差為s2＝，則數(shù)據(jù)18，－6，12，6，－18，18的方差為62s2＝173．