牟方田

數(shù)學思想是數(shù)學知識的精髓．在學習過程中，我們既要學好基礎知識，掌握好基本技能，又要深刻地領會數(shù)學思想，這樣，我們才能夠靈活地運用知識解決問題．下面，我們一起來解讀數(shù)據(jù)分析中涉及的數(shù)學思想．

[一、方程思想]

著名數(shù)學家笛卡爾曾提出過一個解決問題的大膽設想：任何問題→數(shù)學問題→代數(shù)問題→方程求解.盡管這一想法并不完全正確，但是我們可以從中看到方程在解決問題中的重大作用．笛卡爾的這一想法體現(xiàn)了方程思想，即把具體問題中變量之間的關系用方程加以刻畫，并運用方程的知識加以研究．

例1一次數(shù)學測試中，某班40名學生的成績統(tǒng)計如表1.

測試成績?yōu)?0分和80分的人數(shù)不小心被墨水污染，已經看不清楚了.現(xiàn)在只知道這次數(shù)學測試該班的平均成績是69分．

（1）請求出測試成績?yōu)?0分和80分的人數(shù).

（2）設該班40名學生測試成績的眾數(shù)為a，中位數(shù)為b，求（a-b）2的值．

分析：利用平均成績是69分和總人數(shù)為40，可以建立關于得60分和得80分人數(shù)的二元一次方程組．

解：（1）設這次測試成績?yōu)?0分的有x人，測試成績?yōu)?0分的有y人．根據(jù)題意，列方程組得

2+x+10+y+4+2=40，

50×2+60x+70×10+80y+90×4+100×2=69×40.解得x=18，

y=4.

所以，這次測試中成績?yōu)?0分的有18人，成績?yōu)?0分的有4人．

（2）由（1）知，該班40名學生測試成績的眾數(shù)a=60，中位數(shù)b==65．所以，（a-b）2=（60-65）2=25．

點評：本題是利用方程組，并結合統(tǒng)計知識求解的．

[二、整體思想]

在解決某些數(shù)學問題時，把問題中的某一部分當作一個整體進行處理，可以獲得簡潔的解法.這就是數(shù)學中的整體思想．

例2已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差s2=2．

（1）求數(shù)據(jù)x1+5，x2+5，x3+5，x4+5，x5+5，x6+5的方差s′2；

（2）求數(shù)據(jù)2x1，2x2，2x3，2x4，2x5，2x6的方差．

分析：由于題目中沒有告訴各個數(shù)據(jù)的具體值，所以必須靈活地運用平均數(shù)和方差的計算公式，從大處著眼，整體求解．

解：（1）設數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均數(shù)為.其方差s2=2.

所以=2．

可以求得數(shù)據(jù)x1+5，x2+5，x3+5，x4+5，x5+5，x6+5的平均數(shù)為

=

=+5．

所以，數(shù)據(jù)x1+5，x2+5，x3+5，x4+5，x5+5，x6+5的方差

s′2=

==s2=2．

（2）與（1）類似，可以求得數(shù)據(jù)2x1，2x2，2x3，2x4，2x5，2x6的方差為4s2=8．

點評：一組數(shù)據(jù)都增加相同的數(shù)a后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)在原平均數(shù)的基礎上也增加a，而方差不變；一組數(shù)據(jù)都擴大到原來的a倍后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)也擴大到原平均數(shù)的a倍，而方差擴大到原方差的a2倍．

[三、分類討論思想]

如果要研究的問題有不止一種情況，則需要分類加以討論，使問題獲得全面的解答，這就是數(shù)學中的分類討論思想．分類討論時要選取明確的分類標準，分類要做到不重復、不遺漏．

例3為了從甲、乙兩名射擊運動員中選拔一人參加射擊比賽，在同等的條件下，教練給甲、乙兩名運動員安排了一次射擊測驗，每人打10發(fā)子彈．表2是甲、乙兩人各自的射擊情況記錄.

其中，乙的情況記錄中射中9環(huán)、10環(huán)的子彈數(shù)被墨水污染，看不清楚.但是教練記得乙射中9環(huán)、10環(huán)的子彈數(shù)均不為0．

（1）求甲運動員在這次測驗中的平均成績.

（2）誰的射擊水平較高？請通過計算說明理由．

分析：本題（2）需要對乙射中9環(huán)、10環(huán)子彈數(shù)的情況進行討論．在各種情況下，先比較平均數(shù)，平均數(shù)大的射擊成績好；若平均數(shù)相同了，再比較方差的大小，方差越小，說明射擊成績越穩(wěn)定，成績也較好．

解：（1）7環(huán)．

（2）①若乙射中9環(huán)的子彈數(shù)為1，則射中10環(huán)的子彈數(shù)為2．這時，乙的平均成績是（5×3+6×1+7×3+9×1+10×2）÷10=7.1（環(huán)）．

∴乙的射擊水平比甲的射擊水平高．

②若乙射中9環(huán)的子彈數(shù)為2，則射中10環(huán)的子彈數(shù)為1．這時，乙的平均成績是（5×3+6×1+7×3+9×2+10×1）÷10=7（環(huán)）．

此時，甲、乙兩人平均成績是相同的.需要進一步比較兩人成績的穩(wěn)定性．

甲在這次測驗中的方差是：

[s][2][甲]=［4×（5-7）2+1×（6-7）2+2×（8-7）2+2×（9-7）2+1×（10-7）2］÷10=3.6.

乙在這次測驗中的方差是：

[s][2][乙]=［3×（5-7）2+1×（6-7）2+3×（7-7）2+2×（9-7）2+1×（10-7）2］÷10=3．

∴[s][2][甲]>[s][2][乙]，即在這次測驗中乙的成績比甲的成績更穩(wěn)定.

∴乙的射擊水平比甲的射擊水平高．

綜上所述，乙的射擊水平更高．

點評：在比較幾組成績的優(yōu)劣時，一般先看平均數(shù)，如果平均數(shù)相同，再考慮其他統(tǒng)計量．

[四、樣本估計總體的思想]

用樣本估計總體是統(tǒng)計學的基本思想.運用這種思想解題要注意兩點：（1）抽取的樣本要有普遍性，它的特征要能夠代表總體的特征；（2）要善于運用統(tǒng)計學知識分析出樣本的特征，并運用這個特征合理地估計總體．

例4沿黃河某地區(qū)為積極響應和支持“保護母親河”的行動，建造了長為100 km，寬為0.5 km的防護林．

有關部門為統(tǒng)計這一防護林樹木的數(shù)量，從中選出10塊區(qū)域（每塊區(qū)域長為1 km，寬為0.5 km）進行統(tǒng)計.這10塊區(qū)域的樹木數(shù)量如下（單位：棵）：

65 100 63 200 64 600 64 700 67 300

63 300 65 100 66 600 62 800 65 500

請根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算這一防護林約有多少棵樹.

分析：先求出這10塊區(qū)域樹木數(shù)量的平均數(shù)，然后用這個平均數(shù)來估計這一防護林樹木的總數(shù)．

解：計算可得，這10塊區(qū)域樹木數(shù)量的平均數(shù)為=64 820．

所以，可以估計這一防護林共約有樹木64 820×100=6 482 000（棵）．