高會靜

圖形旋轉(zhuǎn)與生活中圖案設(shè)計密切相關(guān)，有較高的應(yīng)用價值.圖形旋轉(zhuǎn)問題在中考試卷中占有一定的比例，常以填空、選擇、作圖、解答、探究等形式出現(xiàn).本文結(jié)合例題幫助同學(xué)們認(rèn)識旋轉(zhuǎn)的基本題型和解法.

一、概念題

例1 如圖1，△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)40°后，到了△AB′C′的位置，若∠B=35°，∠C=60°，則∠B′AC=______.

解析： 本題中的旋轉(zhuǎn)角是∠BAB′和∠CAC′，都為40°.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得∠BAC=85°，所以∠B′AC=85°－40°=45°.

二、作圖題

例2 如圖2，Rt△ABC的邊長分別為a，b，c，將這個三角形繞點O按順時針方向連續(xù)旋轉(zhuǎn)三次，每次都旋轉(zhuǎn)90°.

（1） 作出每次旋轉(zhuǎn)后的三角形.

（2） 從所得圖形中，你能推導(dǎo)出勾股定理嗎？

解析： （1） 作出旋轉(zhuǎn)后的三角形的關(guān)鍵是作出每次旋轉(zhuǎn)后的三個對應(yīng)點.以B點為例，連接OB，作OB′與OB的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，即OB⊥OB′.取OB′=OB，B′即B的第一個對應(yīng)點.其余點的對應(yīng)點作法類似.圖3即為Rt△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)三次后的圖形.

（2） 觀察所作圖形，可得4S△ABC = S大正方形 － S小正方形.即4×ab=c2-（a-b）2.整理可得a2+b2=c2.

三、解答題

例3 如圖4，點P是等邊△ABC內(nèi)的一點，∠BPC=150°，PB=2，PC=3，求PA的長.

解析： 通過旋轉(zhuǎn)作圖的輔助手段，將分散的元素集中起來.將△BAP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，使BA與BC重合，得△BCD，連接PD.

顯然BD=BP=2，PA=DC，△BPD是等邊三角形.

由∠BPD=60°，可得∠DPC=∠BPC-∠BPD=90°.

∴DC===. PA=DC=.

變式練習(xí)：若點P是等邊△ABC內(nèi)的一點，PA=，PB=2，PC=3，能求出∠BPC的度數(shù)嗎？請你試一試.（答案：能，為150°）

四、探究題

例4 如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P0的坐標(biāo)為（1，0），將線段OP0按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長度延長為OP0的2倍，得線段OP1；又將線段OP1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度延長為OP1的2倍，得線段OP2 . 如此繼續(xù)下去，得到線段OP3，OP4，…，OPn（n為正整數(shù)）.

（1） 求點P6的坐標(biāo).

（2） 求△P5OP6的面積.

（3） 我們規(guī)定：把點Pn（xn，yn）（n=0，1，2，…）的橫坐標(biāo)xn、縱坐標(biāo)yn分別取絕對值后，得到新的坐標(biāo)稱之為“絕對坐標(biāo)”.根據(jù)圖中點Pn的分布規(guī)律，猜想點Pn的絕對坐標(biāo)，并寫出來.

解析： （1） 由題意知，OP1=2OP0=2，OP2=2OP1=4=22，OP3=2OP2=23，…，OP6=26=64.旋轉(zhuǎn)1次為45°，旋轉(zhuǎn)6次為45°×6=270°，所以點P6在y軸負(fù)半軸上，坐標(biāo)為（0，-64）.

（2） 顯然△P5OP6∽△P0OP1.設(shè)△P5OP6和△P0OP1的面積分別為S6，S1，所以S6 ∶ S1=642 ∶ 22=1 024 ∶ 1. 所以S6 =1 024×=512.

（3） 由題意知，點Pn可能有8種不同情況的位置，即在x軸的正、負(fù)半軸上，在y軸的正、負(fù)半軸上，各象限的平分線上.點Pn的絕對坐標(biāo)都是非負(fù)數(shù)，所以點Pn的坐標(biāo)分為三類情況：

① 當(dāng)n=8k或n=8k+4（其中k為自然數(shù)）時，點Pn落在x軸上，此時，點Pn的絕對坐標(biāo)是（2n，0）；

② 當(dāng)n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7（其中k為自然數(shù)）時，點Pn落在各象限的平分線上，此時點Pn的絕對坐標(biāo)是·2n，·2n；

③ 當(dāng)n=8k+2或n=8k+6（其中k為自然數(shù)）時，點Pn落在y軸上，此時，點Pn的絕對坐標(biāo)是（0，2n）.

練習(xí)題

1. 在圖6中，將方格紙中的圖形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到的圖形是（）.

2. 如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO的頂點A，B，O的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，1），（0，0），有點列P1，P2，P3，…，相鄰兩點都關(guān)于這個三角形的一個頂點對稱，點P1與點P2關(guān)于點A對稱，點P2與點P3關(guān)于點B對稱，點P3與點P4關(guān)于點O對稱，對稱中心A，B，O，A，B，O…依次循環(huán).已知點P1的坐標(biāo)是（1，1），試寫出P2，P7，P100的坐標(biāo).

答案：

1. B 2. 規(guī)律為每6個點一循環(huán).故點P2（1，－1）；點P7（1，1）.點P100與P4相同，故坐標(biāo)是（1，－3）.