季冬青

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，我們常會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：教師總是一個(gè)勁的抱怨學(xué)生連課堂上做過(guò)的習(xí)題，在考試中仍然做不出來(lái)，真所謂：教師把知識(shí)“拋”得越快，學(xué)生忘得越快(馬明).因此筆者認(rèn)為衡量教學(xué)的標(biāo)志就是要看學(xué)生在課堂上理解了多少，正如文［1］中指出的“教得好=一定學(xué)得好”，而規(guī)范性恰是衡量課堂教學(xué)的一個(gè)指標(biāo).美國(guó)課程專家Grant Wiggins & Jay Mctighe 在著作《Understanding by Design》圍繞“課程的逆向設(shè)計(jì)”展開(kāi)研究，為課堂規(guī)范性實(shí)踐提供了諸多具有實(shí)踐性的課題［2］.美國(guó)國(guó)家研究協(xié)會(huì)在為期兩年的高中學(xué)生研修計(jì)劃中提出了七個(gè)有效促進(jìn)學(xué)生理解性學(xué)習(xí)的課堂規(guī)范性操作的基本原則.

而Fennema和Sowder、Carpenter在《Creating Classroom that Promote Understanding》的研究論文中有一方面就是要“建立相關(guān)的課堂規(guī)范性實(shí)踐，這種規(guī)范包括兩種：把理解作為學(xué)數(shù)學(xué)和做數(shù)學(xué)的主要特征；要學(xué)生詳述問(wèn)題解決和思維過(guò)程”.文［3］中指出學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解除了要有一定的心理基礎(chǔ)之外，還必須選擇和調(diào)動(dòng)起相稱的認(rèn)知圖式，而只有規(guī)范性教學(xué)方能使得學(xué)生合理建構(gòu)知識(shí).在文［4］中，建構(gòu)主義理論認(rèn)為教師的一項(xiàng)重要的工作就是要從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，規(guī)范我們的課堂教學(xué)行為，讓學(xué)生通過(guò)其主動(dòng)參與建構(gòu)起新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

所以，筆者認(rèn)為，為了促進(jìn)在課堂上學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，完全有必要讓我們的教學(xué)具有規(guī)范性，本文就課堂規(guī)范性實(shí)踐，主要談下面三個(gè)方面的教學(xué)嘗試.

1 教師合理搭建腳手架，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解

教師要以大多數(shù)學(xué)生“跳一跳，能拿到”的水平為教學(xué)起點(diǎn)，將教學(xué)目標(biāo)按由易到難，由水平要求到能力要求，分解為若干層次逐步教學(xué)，合理搭建腳手架，降低學(xué)生的失敗感，使他們既認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的難度，又可以在動(dòng)手解決問(wèn)題的過(guò)程中，嘗到成功的喜悅，樹(shù)立學(xué)習(xí)的信心.

例如筆者在復(fù)習(xí)數(shù)列{an}的通項(xiàng)與函數(shù)之間的關(guān)系時(shí)，作了設(shè)計(jì)如下：

(1)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=2n-1(n∈N*)，試在坐標(biāo)系中作出其圖像，并說(shuō)明這個(gè)數(shù)列的單調(diào)性；

(2)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=1n-72(n∈N+*)，問(wèn)數(shù)列中有無(wú)最大項(xiàng)，最小項(xiàng)?

(3)設(shè)遞增數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=n2+λn(n∈N*)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；

(4)某工廠2007年生產(chǎn)利潤(rùn)逐月增加，且每月增加的利潤(rùn)相同，但由于廠方正在改造建設(shè)，1月份投入建設(shè)資金恰好與該月的利潤(rùn)相等，隨著投入資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月份投入建設(shè)資金又恰好與12月的生產(chǎn)利潤(rùn)相同，則該廠2007年全年總利潤(rùn)M與全年總投入N的大小關(guān)系如何?

2 教師注重培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的能力，通過(guò)解題教學(xué)促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解

南京師范大學(xué)的喻平教授在其博士論文《數(shù)學(xué)問(wèn)題解決認(rèn)知模式及教學(xué)理論研究》中，提出了“CPFS結(jié)構(gòu)理論”模型，重點(diǎn)探究了“數(shù)學(xué)解題遷移研究”，G·玻利亞和羅增儒教授在其各自的著作中通過(guò)詳實(shí)的例子揭示了解題對(duì)于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解有巨大的推動(dòng)作用，而文［7］中關(guān)于“變式教學(xué)”研究更是從一個(gè)時(shí)代的高度解釋了華人在數(shù)學(xué)上取得優(yōu)異成績(jī)的原因所在.故此，筆者在高中數(shù)學(xué)課堂中，針對(duì)解題教學(xué)作為促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解的有效途徑之一，進(jìn)行了以下兩個(gè)方面的嘗試.

2.1 主題訓(xùn)練

所謂“主題訓(xùn)練”就是圍繞一個(gè)數(shù)學(xué)主題而進(jìn)行的解題訓(xùn)練，比如以“等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn”這節(jié)習(xí)題課為例，筆者圍繞這一主題展開(kāi)教學(xué).

題目 已知{an}為等差數(shù)列，Sn=m,Sm=n(m≠n,m,n∈N*)，求Sm+n.

結(jié)合所學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生圍繞Sn給出了五種常用的方法：

解法一：(方程思想)

m=na1+n(n-1)d2

n=ma1+m(m-1)d2解得a1,d代入Sm+n=(m+n)a1+(m+n)(m+n-1)d2可求.

解法二：(整體代換)在上述聯(lián)立方程中，兩式作差得出a1+m+n-12d=-1，再整體代入Sm+n可求.

解法三：(巧用通項(xiàng))不妨設(shè)m>n,則Sm-Sn=an+1+an+2+…+am-1+am=n-m=(m-n)(an+1+am)2,則a1+am+n=an+1+am=2(n-m)m-n=-2,故Sm+n=(m+n)(a1+am+n)2=-(m+n).

解法四：(活用性質(zhì))Am2+Bm=n

An2+Bn=m

A(n+m)+B=-1Sm+n=(m+n)［A(m+n)+B］=-(m+n).

解法五：(數(shù)形結(jié)合)根據(jù)(n,Snn),(m,Smm)，(m+n,Sm+nm+n)三點(diǎn)共線求解.

通過(guò)這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，可以讓學(xué)生的知識(shí)由點(diǎn)到面有機(jī)整合，從而促進(jìn)他們對(duì)前n項(xiàng)和Sn的理解.

2.2 變式教學(xué)

例如復(fù)習(xí)拋物線時(shí)，采用了六個(gè)變式，深化了學(xué)生對(duì)“頂點(diǎn)弦問(wèn)題”的理解.

題目 設(shè)A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，

(1)求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；

(2)求證：直線AB經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)；

(2)求弦AB的中點(diǎn)軌跡方程；

(4)求△AOB面積的最小值.

變式1 如何求頂點(diǎn)O在直線AB上的射影D的軌跡方程.

變式2 如改為以O(shè)A，OB為直徑作圓，求兩圓異于原點(diǎn)的另一交點(diǎn)M的軌跡.

變式3 設(shè)AB是拋物線y2=2px(p>0)過(guò)焦點(diǎn)的弦，O是拋物線頂點(diǎn)，

(1)證明∠AOB是鈍角；

(2)證明p∈R時(shí)，所有拋物線的∠AOB的最大值都相等.

變式4 設(shè)△AOB為拋物線y2=2px(p>0)的內(nèi)接三角形(指其各頂點(diǎn)都在拋物

線上)，問(wèn)直線AB在x軸上的截距在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，頂角∠AOB為銳角?

變式5 設(shè)A、B是拋物線y2=2px(p>0)上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(原點(diǎn)除外)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA，OB對(duì)x軸的傾角分別為α，β，且滿足α+β=135°，作OP⊥AB，求垂足P的軌跡方程.

變式6 已知兩條拋物線y=a1x2(a1>0)與y=a2x2(a2>0)，經(jīng)過(guò)原

點(diǎn)O引與這兩條拋物線都相交的直線OA2A1，OB2B1，OC2C1，與這兩條拋物線的交點(diǎn)分別為A1，A2，B1，B2，C1，C2.

(1)求證：△A1B1C1∽△A2B2C2；

(2)求上述兩三角形面積之比.

3 教師要善于創(chuàng)造機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在錯(cuò)誤辨析中加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解

李善良先生在其博士論文《現(xiàn)代認(rèn)知觀下的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)與教學(xué)研究》中專門(mén)深入研究了“數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤分析”，他指出，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中常見(jiàn)錯(cuò)誤有：過(guò)程性錯(cuò)誤和“合理性”錯(cuò)誤.文［8］中對(duì)學(xué)生大腦里的概念表征做了歸納，分析了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中錯(cuò)誤的認(rèn)知心理學(xué)原因以及錯(cuò)誤的類型，提出數(shù)學(xué)教師要積極看待學(xué)生的錯(cuò)誤，探詢學(xué)生理解概念時(shí)的視角和認(rèn)知方式，通過(guò)學(xué)生與他人或教師的互動(dòng)，以及學(xué)生對(duì)已有表征進(jìn)行精致化加工和改造——從而達(dá)到正確建構(gòu)概念的目的.所以，筆者認(rèn)為，任何一個(gè)學(xué)生即使是一個(gè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有困難的學(xué)生，也可以在他的內(nèi)部知識(shí)建構(gòu)中看到一定的進(jìn)步，應(yīng)該給予鼓勵(lì)和支持.故筆者創(chuàng)造機(jī)會(huì)，讓學(xué)生大膽發(fā)言，通過(guò)對(duì)話，表述自己的思維過(guò)程，讓他們?cè)谙嗷ソ涣髦姓J(rèn)識(shí)錯(cuò)誤，改正錯(cuò)誤，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解.

題目：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，則函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖像關(guān)于().

A.直線y=0對(duì)稱 B.直線x=0對(duì)稱

C.直線y=1對(duì)稱 D.直線x=1對(duì)稱

以下是實(shí)際課堂教學(xué)情景：

首先，筆者問(wèn)一個(gè)選B的學(xué)生甲，他說(shuō)：我看x-1和1-x是相反數(shù)，那么就是自變量取相反數(shù)的時(shí)候，函數(shù)值相等，所以為偶函數(shù)，而偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，y軸的方程就是x=0，因此選B.女同學(xué)乙的解釋是：根據(jù)結(jié)論：若f(a+x)=f(b-x),x∈R恒成立，則y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a+b2成軸對(duì)稱圖形，那么就是關(guān)于x=(x-1)+(1-x)2=0對(duì)稱.

接著，筆者作啟發(fā)：能否借助特殊的函數(shù)來(lái)考慮，有幾個(gè)同學(xué)想到了二次函數(shù)，他們說(shuō)：用f(x)=x2，則f(x-1)=(x-1)2,f(1-x)=(x-1)2，顯然兩者的圖像重合，關(guān)于直線x=1對(duì)稱，只有D正確.由此幾個(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，乙女生的錯(cuò)誤在于她用了結(jié)論，而本題不能套用這結(jié)論的!因?yàn)樯鲜鏊玫慕Y(jié)論的假設(shè)對(duì)象是對(duì)一個(gè)函數(shù)而言，而題中y=f(x-1)與y=f(1-x)顯然不一定是同一函數(shù)，而如果改為：函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x),x∈R的圖像關(guān)于直線x=12(a-b)對(duì)稱，則無(wú)疑就正確了.

課講到這里，筆者見(jiàn)有兩個(gè)女生一邊在紙上畫(huà)著什么，一邊在小聲嘀咕什么，于是就叫起其中一個(gè)女生，她臉漲得通紅，小心翼翼地說(shuō)：能否利用圖像平移來(lái)做?于是筆者問(wèn)她如何考慮，她說(shuō)：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)與y=f(-x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，而y=f(x-1)就是把y=f(x)的圖像向右移一個(gè)單位得到，而y=f(1-x)就是把y=f(-x)的圖像向左平移一個(gè)單位得到的，所以函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖像還是關(guān)于y軸對(duì)稱.筆者一看，此女生對(duì)函數(shù)圖像平移中的“左加右減”的四字訣印象頗深，但是其中犯了一個(gè)錯(cuò)誤，應(yīng)該把y=f(1-x)表達(dá)式改寫(xiě)成y=f(1-x)=f［-(x-1)］，因?yàn)椤白蠹佑覝p”的四字訣是從移軸公式x′=x-hy′=y-k得出的，而變換公式中僅對(duì)x,y作用，其前面系數(shù)為1，所以單純叫學(xué)生記住“左加右減”的四字訣是不夠的，在練習(xí)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)函數(shù)表達(dá)式的改寫(xiě)問(wèn)題.這時(shí)有個(gè)學(xué)生站起來(lái)說(shuō)：用換元法也可以的，令t=x-1，則原來(lái)兩函數(shù)解析式就可以表示為y=f(t)與y=f(-t)，那就是在新坐標(biāo)系中關(guān)于t=0對(duì)稱，即在原坐標(biāo)系中關(guān)于直線x=1對(duì)稱.最后，筆者表?yè)P(yáng)了他們大膽發(fā)言的勇氣，隨即引導(dǎo)學(xué)生完成本道題的證明，本節(jié)習(xí)題講解課上，通過(guò)這樣的分析過(guò)程，使得學(xué)生對(duì)有關(guān)函數(shù)圖像的相關(guān)知識(shí)就有了深入的理解.

高中新課程標(biāo)準(zhǔn)［9］實(shí)施以來(lái)，教師的職業(yè)發(fā)展面臨巨大的挑戰(zhàn)，同時(shí)也蘊(yùn)藏著更多的機(jī)遇，正如文［3］［10］所講，我們教師只有不斷地學(xué)習(xí)，更新原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)［11］，提高教學(xué)能力，采用行動(dòng)研究的方法，規(guī)范我們的課堂這一教學(xué)主陣地，才能使我們的教育事業(yè)生機(jī)蓬勃.教師的任務(wù)，不僅僅是讓學(xué)生從外部欣賞數(shù)學(xué)家們創(chuàng)造的成果，接受它們的邏輯與意義，而且要讓學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)［12］，去理解數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和形成的內(nèi)部動(dòng)態(tài)過(guò)程，弄清楚其生長(zhǎng)的動(dòng)力、原因和方法，把握數(shù)學(xué)的精神與實(shí)質(zhì).另外學(xué)生雖然不是數(shù)學(xué)家，但是他們可以建構(gòu)自己眼中的數(shù)學(xué)，所以數(shù)學(xué)課堂或許應(yīng)該看作是動(dòng)態(tài)的、開(kāi)放的甚至允許學(xué)生“犯錯(cuò)”的數(shù)學(xué)活動(dòng)的場(chǎng)所［3］，教師應(yīng)該讓學(xué)生根據(jù)自己的個(gè)性和體驗(yàn)來(lái)理解數(shù)學(xué)，規(guī)范自己的教學(xué)，力爭(zhēng)讓不同的學(xué)生發(fā)揮主體性，以期建構(gòu)不同的數(shù)學(xué)，也許這樣更能體現(xiàn)新課程的理念.

參考文獻(xiàn)

［1］馬復(fù).設(shè)計(jì)合理的數(shù)學(xué)教學(xué).高等教育出版社，2003，8.

［2］呂林海.數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)與教學(xué)研究.華東師范大學(xué)2005年博士論文.

［3］李士钅奇.PME：數(shù)學(xué)教育心理.華東師范大學(xué)出版社，2001，6.

［4］袁振國(guó)主編.當(dāng)代教育學(xué).教育科學(xué)出版社，2004年修訂版.

［5］G·玻利亞.怎樣解題.科學(xué)出版社，1984.

［6］羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論.陜西師范大學(xué)出版社，1997，6.

［7］范良火.華人如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)(中文版).江蘇教育出版社，2005，7.

［8］呂林海.錯(cuò)誤分析與數(shù)學(xué)理解：基于心智表征的分析.全球教育展望.2004，11.

［9］教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)).人民教育出版社.，2003，4.

［10］王林全、劉美倫、張安慶主編.高中數(shù)學(xué)新課程實(shí)驗(yàn)與探索.高等教育出版社，2004，10.

［11］鄭毓信、梁貫成.認(rèn)知科學(xué)建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育.上海教育出版社，2002，12.

［12］唐瑞芬主編.數(shù)學(xué)教學(xué)理論選講.華東師范大學(xué)出版社，2001，1.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文