胡樂丹

眾所周知，數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展總是在提出問題和解決問題的過程中進行的.美國數(shù)學家哈爾莫斯(玃.R.Halmos)認為，問題是數(shù)學的心臟，數(shù)學的真正的組成部分是問題和解.著名數(shù)學家及數(shù)學教育家喬治?波利亞(獹.Polya)也強調(diào)指出：“中學數(shù)學教學首要的任務(wù)就是加強解題訓(xùn)練，掌握數(shù)學就是意味著善于解題”.與之對應(yīng)的《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》也指出：“數(shù)學必須培養(yǎng)和提高學生分析問題、解決問題的能力”.因此解題研究便成為高中數(shù)學教育研究的熱點之一.筆者經(jīng)過長期研究發(fā)現(xiàn)，當解題者尋覓到適當?shù)慕忸}切入點后，并不能保證順利地解決此數(shù)學問題，只能說明解題者通過問題的閱讀和理解建構(gòu)起了最初的“問題空間”；然后隨著“問題空間”與來自外部和長時記憶的信息的“接觸”，它不斷發(fā)生新的變化，即變得更為豐富和更為精致；最后問題的解決就取決于解題者最終能否成功地建構(gòu)出關(guān)于所面臨問題的一個合適的內(nèi)在表征.因此可見解題者對解題信息與心理表征進行必要的調(diào)節(jié)，也即對解題的“調(diào)節(jié)點”進行分析和監(jiān)控，便顯得尤為重要.下面以學生的一道數(shù)學問題的部分解題記錄的呈現(xiàn)為例加以說明.

題目 已知正數(shù)a,b,c,a1,b1,c1,滿足條件a+a1=b+b1=c+c1=k,求證：ab1+bc1+ca1

一、解題“調(diào)節(jié)點”之一——相繼的“思維塊”的結(jié)合點，即活動的性質(zhì)發(fā)生改變的時刻

生1：“……，試了這么多方法就不能把所要證的不等式兩邊聯(lián)系起來呢?

這么多字母，太麻煩了，怎樣才能化繁為簡呢?我必須重新審視一下.……，代數(shù)方法困難，能不能轉(zhuǎn)換角度，用幾何方法來解決這一代數(shù)問題呢?題目中是否隱藏有幾何背景呢?如果我把ab1,bc1,ca1均看成三個矩形的面積呢?有了，k2可以看作邊長為k的正方形的面積，從中構(gòu)造出前面的這三個矩形!試一試.

構(gòu)造邊長為k的正方形ABCD(如圖1)，且令DF=a,DG=AH=b1,AG=BH=b,BE=c1,CE=c,CF=a1,并作出相應(yīng)的矩形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，由S〢BCD>SⅠ+SⅡ+SⅢ,就有了k2>ab1+bc1+ca1.真漂亮!老師你說呢?”

生2：“先設(shè)法把所求式子中的字母減少一些，利用已知條件代掉a1,b1,c1不就行了嗎?于是得到ab1+bc1+ca1=a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)=k(a+b+c)-(ab+bc+ac).然后怎么辦呢?上式右邊無論怎樣與k2也聯(lián)系不起來?!……，我失敗了!”

筆者認為，在解題分析中我們首先應(yīng)特別注意解題“調(diào)節(jié)點”之一——相繼的“思維塊”的結(jié)合點，即活動的性質(zhì)發(fā)生改變的時刻.如生1采取“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”的時刻：他認為代數(shù)方法遇到困難，而題目中的某些條件恰好與其本人已有的認知結(jié)構(gòu)發(fā)生聯(lián)系和碰撞，從而此刻“問題空間”向著成功的方向轉(zhuǎn)化.而生2在解題過程中題目信息與本人已有的相關(guān)知識脈絡(luò)之間沒有發(fā)生共鳴或彌合，進而導(dǎo)致解題失敗.

二、解題“調(diào)節(jié)點”之二——重要的新信息的出現(xiàn)或考慮采取新的解題途徑的可能性的時刻

生3：“已知條件的等式中沒有式子ab1+bc1+ca1，能不能通過某種方法找出背后隱藏的且包含這個式子的表達式呢?那么已知等式中的除k以外的其他三個式子相乘不就行了嗎!不行，這樣得到的式子太多了，竟然有八個

式子!

看來我如果不能簡化這些式子的話，那么只能另攀高枝了.先計算一下再說：

k3=(a+a1)(b+b1)(c+c1)=abc+a1bc+acb1+a1b1c+abc1+a1bc1+ab1c1+a1b1c1,

嗯，由初中講的分組分解法先提取公因式呢，于是有：

k3=(abc+a1b1c1)+ab1(c+c1)+ca1(b+b1)+bc1(a+a1),

好!我做出來了!由上式可知：k3>ab1k+bc1k+ca1k=k(ab1+bc1+ca1).

又由于k>0，所以k2>ab1+bc1+ca1.”

生4：“這道題最大的問題還是字母太多了，怎么才能減少未知數(shù)呢?嗯，我想起來了，減少未知數(shù)可用代入消元法加以解決.讓我觀察一下題目中的式子有什么特點?好象已知條件的式子中具有某種相似性，只要考慮一個式子就行了.已知a+a1=k，能不能變形一下?從而找出與已學知識的聯(lián)系.噢，這樣行了!由a+a1=2×k2，從而聯(lián)想到數(shù)列{a璶}為等差數(shù)列的一個充要條件是a璶+a﹏+2=2a﹏+1,所以可以這樣解：

∵a+a1=b+b1=c+c1=k,∴a,k2,a1構(gòu)成等差數(shù)列，故可設(shè)a=k2-x,a1=k2+x.其中|x|

∴ab1+bc1+ca1=(k2-x)(k2+y)+(k2-y)(k2+z)+(k2-z)(k2+x)

=34k2-(xy+yz+xz)=k2-(14k2+xy+yz+xz).

下面只要證14k2+xy+yz+xz>0，…，字母還是太多了，想了半天，我證不出來.”

筆者認為，在分析中我們還應(yīng)特別注意解題“調(diào)節(jié)點”之二——在解題過程中出現(xiàn)了一些重要的新信息或考慮采取新的解題途徑的可能性的時刻(盡管解題者在當時可能對此并沒有能夠清楚地認識到).如生3在解題過程中發(fā)現(xiàn)題中的八個式子可采取初中的相關(guān)知識加以解決時，充分利用此信息的功能從而導(dǎo)致解題成功；而生4在最后的14k2+xy+yz+xz>0的證明時，完全可以采取函數(shù)法加以解決，但對此解題途徑他當時并未充分認識到，從而導(dǎo)致解題活動未能圓滿完成.

三、解題“調(diào)節(jié)點”之三——尚未形成“災(zāi)難性”的后果，但已出現(xiàn)了錯誤“跡象”的時刻

生5：“已知條件好像比較復(fù)雜，難以利用，能不能變形一下?……，好!可以這樣變形，由已知等式得：ak+a1k=bk+b1k=ck+c1k=1.這樣我通過結(jié)構(gòu)類比馬上聯(lián)想到三角代換法，即可設(shè)a=k玸in2α,b=k玸in2β,c=k玸in2γ,其中α，β，γ均為銳角，…，則

ab1+bc1+ca1=k2［玸in2α(1-玸in2β)+玸in2β(1-玸in2γ)+玸in2γ(1-玸in2α)］

=k2［(玸in2α+玸in2β+玸in2γ)-(玸in2α玸in2β+玸in2β玸in2γ+玸in2γ玸in2α)］.

好象變得越來越繁雜，無法縮短與所證結(jié)論的差距!在此思維斷線了!”

生6：“思索了這么長時間還沒有頭緒!我記得老師曾說過：當沒有思路時，要重回條件進行分析，看樣子只能把條件再變形一下了.把k除過去，化成ak+a1k=bk+b1k=ck+c1k=1.這好像與剛復(fù)習過的對立事件的概率公式有點想像!顯然0

=(ak+bk+ck)-(abk2+bck2+cak2)+abck3,…，這太復(fù)雜了，與結(jié)果相差太大，我沒法了!”

筆者認為，在分析中我們也應(yīng)特別注意解題“調(diào)節(jié)點”之三——尚未形成“災(zāi)難性”的后果，但已出現(xiàn)了錯誤“跡象”的時刻.這時應(yīng)當引起“反省”以作出必要的調(diào)整，否則就會導(dǎo)致失敗.如生5在解題過程中采取了正確的解題切入點，但最后并沒有利用同角的正余弦平方和為1的公式進行化簡，然后再利用有效的放縮來解決問題，反而進行不恰當?shù)亟M合，導(dǎo)致解題出現(xiàn)思路斷檔；再如生6在解題時，最后一個表達式分組結(jié)合失當，又沒有及時反省，導(dǎo)致發(fā)出“這太復(fù)雜了”的感嘆，解題活動的結(jié)果可想而知.

由上可見，在解題過程中對“調(diào)節(jié)點”的分

析和監(jiān)控折射出解題者對解題信息與大腦中已有的知識脈絡(luò)之間相互轉(zhuǎn)換、溝通的能力，是解題過程中的又一關(guān)鍵點所在.總的來說，所謂的解題“調(diào)節(jié)點”是指這樣的時刻：此時解題者已經(jīng)或者應(yīng)當從“元認知”的高度去采取行動.而數(shù)學解題中的“元認知”是指解題者對于自身所從事的解題活動(包括解題策略的選擇、整個過程的組織、目前所從事的工作在整個解題過程中的作用等)的自我意識、自我分析(包括評估)和自我調(diào)整.為了保證所從事的解題活動能夠獲得成功，我們不僅應(yīng)當首先對解題活動作出整體性的計劃，而且應(yīng)當根據(jù)解題的進展情況保持清醒的自我意識，及時分析與監(jiān)控解題過程中的“調(diào)節(jié)點”，并且通過自我評價及時作出必要的調(diào)整，最后通過反思達到解題活動的圓滿成功.

參考文獻

［1］鄭毓信、梁貫成編著.認知科學、建構(gòu)主義與數(shù)學教育［玀］.上海：上海教育出版社，2002

［2］普通高中數(shù)學課程標準(實驗)［玀］.北京：人民教育出版社，2003，4

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”