Guy Metivier

ParaMDifferential Calculus

and Applications to the

Cauchy Problem for

Nonlinear Systems

2008, 135pp.

Paperback

ISBN:9788876423291

Edizioni Della Normale

G.梅梯維埃著

非線性偏微分方程組是當(dāng)前數(shù)學(xué)分析研究的核心，它有著許多重要的實(shí)際應(yīng)用，例如量子物理學(xué)中的非線性薛定諤方程。眾所周知，非線性數(shù)學(xué)比線性數(shù)學(xué)難度要大的多，因此，從20世紀(jì)后半葉，數(shù)學(xué)家通過(guò)各種方法企圖對(duì)非線性問題取得突破。本書介紹的微局部分析就是日本數(shù)學(xué)家佐藤翰夫在1958年開創(chuàng)的，50年來(lái)成為數(shù)學(xué)的一門分支和研究非線性問題的有效工具。

本書是對(duì)這個(gè)工具的一個(gè)初等引論，它顯示如何用擬似微分演算來(lái)證明能量估計(jì)和約化方程組，特別證明非線性偏微分方程的柯西問題的適定性。著者指出，擬似演算的方法也能解決本書沒有涉及的橢圓型方程以及奇異性(奇點(diǎn))傳播等關(guān)鍵問題，只是那些問題更為專門，很難在如此小的篇幅內(nèi)解釋清楚。

本書分為三部分，共8章。第一部分是關(guān)于演化方程的導(dǎo)論，含第1~3章。1.符號(hào)和例子，特別舉出氣體動(dòng)力學(xué)、Maxwell方程組、磁流體力學(xué)和彈性理論中的方程；2.常系數(shù)方程組，F(xiàn)ourier綜合、介紹Fourier分析這種精確方法；3.對(duì)稱化子方法，這也是經(jīng)典方法，尤其適用于復(fù)系數(shù)情形。第二部分?jǐn)M似微分演算，含第4~6章，這部分進(jìn)入本書主題，即1979年由J.睲.Bony發(fā)明的擬似微分演算。4.偽微分算子(—譯擬策分算子)。這一部分理論現(xiàn)在也是經(jīng)典的，但處理方法是用Littlewood瞤aley的調(diào)和分析理論；5.擬似微分演算；6.符號(hào)演算，這兩章是本書的主題，目的是使非線性表示近似的線性化。第三部分應(yīng)用，含第7~8章。7.非線性雙曲型方程組；8.薛定諤方程組。

本書簡(jiǎn)明扼要，論述十分清晰。可供研究生、大學(xué)教師、研究人員學(xué)習(xí)參考。

胡作玄，研究員

(中國(guó)科學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)研究所)

Hu Zuoxuan, Professor

(Institute of Systems Science,CSA)