李軍雄　王凌燕

摘要:離散數(shù)學(xué)作為計算機專業(yè)基礎(chǔ)理論的核心課程，對計算機的發(fā)展和計算機的研究起著重要的作用。離散數(shù)學(xué)是一門學(xué)生與教師普遍感到教與學(xué)都較困難的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支，作者根據(jù)幾年的教學(xué)經(jīng)驗和高職學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的問題，對離散數(shù)學(xué)的教學(xué)作了一些探討。

關(guān)鍵詞:離散數(shù)學(xué)；入門教學(xué)；改革

隨著市場經(jīng)濟的建立和發(fā)展，對人才的需求打破了以前按專業(yè)分配的模式，畢業(yè)生由統(tǒng)一分配向雙向選擇自謀職業(yè)轉(zhuǎn)變。要使他們在競爭激烈的人才市場中站穩(wěn)腳跟，光有基礎(chǔ)知識不行，光有某一專業(yè)能力也不行，還必須要有較強的應(yīng)變能力，這樣才能與人才市場的需求迅速接軌。這種應(yīng)變能力，是素質(zhì)的具體表現(xiàn)，就是在已有知識的基礎(chǔ)上，吸收和創(chuàng)造出有價值的新思想、新理論、新方法和新技術(shù)。因此，教育必須改革以傳授已有知識為主的局面，樹立以培養(yǎng)創(chuàng)造性為核心的素質(zhì)教育觀。應(yīng)當(dāng)注意的是，數(shù)學(xué)素質(zhì)是人才全面素質(zhì)的一個重要方面。數(shù)學(xué)素質(zhì)高，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新方法極為有利，不能把數(shù)學(xué)課單純地看成是基礎(chǔ)課，應(yīng)當(dāng)看成是培養(yǎng)人才素質(zhì)的專門課程，必須保證為培養(yǎng)基本數(shù)學(xué)素質(zhì)所需要的基本內(nèi)容，把對學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)納入對人才素質(zhì)培養(yǎng)模式的總體框架之中，服務(wù)于整體的需要。

離散數(shù)學(xué)作為計算機科學(xué)中基礎(chǔ)理論的核心課程，確實有一定的難度。計算機科學(xué)在其研究過程中需要借助于離散數(shù)學(xué)這個工具，離散數(shù)學(xué)對于計算機的發(fā)展和計算機的研究具有重要的作用。而離散數(shù)學(xué)是一門教與學(xué)都較困難的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支，它是研究離散對象之間關(guān)系的科學(xué)。該課程的特點是內(nèi)容多、概念多、抽象化。學(xué)生對知識與知識之間的聯(lián)系，如何將知識正確應(yīng)用于解決實際問題，經(jīng)常把握不好，仍然需要教師給予指導(dǎo)。我們應(yīng)該使學(xué)生在掌握知識的同時提高分析問題和解決問題的能力，實現(xiàn)學(xué)習(xí)成果的轉(zhuǎn)化。

思維方式

離散數(shù)學(xué)成為一門數(shù)學(xué)學(xué)科的時間并不長，但它已經(jīng)成了計算機科學(xué)系統(tǒng)理論中不可缺少的核心課程和先行課程。它不僅在知識上為計算機專業(yè)基礎(chǔ)課（編譯原理、數(shù)字電路等課程）做準(zhǔn)備，同時在思維方式——抽象性思維方面為學(xué)生打開了一道新的門。教師除了要教給學(xué)生數(shù)學(xué)工具外，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造能力。該課程就是要培養(yǎng)學(xué)生的分析問題、解決問題的能力以及抽象思維能力。這就要求教師在講課時條理非常清晰，并且告訴學(xué)生你的思維方式、分析問題的過程。

課后習(xí)題

每當(dāng)講解完概念、定理和方法后，應(yīng)及時找一些課外習(xí)題講解，并讓學(xué)生練習(xí)，達到鞏固知識的效果。因為一個好的示例不僅可以打開思想，而且對理解一種數(shù)學(xué)方法，理解理論的含意，能起到促進的效果。需要注意的是必須找課本以外的練習(xí)題。因為大學(xué)生具有自學(xué)能力，若僅僅是講解課本上的例題，學(xué)生認為沒有新意，他們看書就完全可以了，這樣不能吸引學(xué)生的注意力。用課外的習(xí)題就不一樣，因為書本上沒有，學(xué)生就會仔細認真地去聽，這樣才有好的教學(xué)效果。要精選習(xí)題，多選與計算機科學(xué)直接相關(guān)的習(xí)題(例如編碼、程序設(shè)計、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等)，多選鞏固概念、理解概念的習(xí)題，多選應(yīng)用型的習(xí)題、證明題，盡可能少講，以加強學(xué)生邏輯分析的能力。

強調(diào)應(yīng)用

數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)素養(yǎng)對于工科學(xué)生的應(yīng)用能力和進一步的開拓創(chuàng)新能力有很大的影響，有些時候甚至有決定性的影響。這一點，人們在理論上較容易接受，在實踐上卻未必認同。對于應(yīng)用型的工科學(xué)生，他們一般更注意一種技能的獲得。而對數(shù)學(xué)，對在無形中增長他們的判斷能力和抽象思維能力，增長他們透過感性表象洞察隱蔽本質(zhì)的能力，增長他們的條理性和邏輯性的數(shù)學(xué)，卻難于產(chǎn)生熱情。而愈無興趣就愈覺枯燥，愈覺困難。這種負反饋在不少學(xué)生中存在。對于更為抽象的離散數(shù)學(xué)，這個問題會更加突出。

作者在教學(xué)過程中遇到過這樣的情景，學(xué)生說學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)這樣的理論課程沒有用處，所以沒有興趣，不想好好學(xué)。這是現(xiàn)在高職學(xué)生對于理論課程的一種普遍看法。其實我們都知道理論很重要，特別是數(shù)學(xué)知識很重要，但是學(xué)生沒有這樣的意識，為什么？這與許多教師在講課時沒有及時將所講內(nèi)容與現(xiàn)實應(yīng)用聯(lián)系起來，以至于讓學(xué)生產(chǎn)生錯誤的認識是分不開的。所以要求教師在講課時一定要清楚地讓學(xué)生意識到自己所學(xué)的知識是非常有用的，教師應(yīng)該將知識和實際聯(lián)系起來（我校正在實施的“六位一體”課程能力目標(biāo)教學(xué)改革）。針對計算機專業(yè)的學(xué)生這一特定的對象，應(yīng)著重闡明概念與定理所涵蓋的現(xiàn)實對象或現(xiàn)實模型，應(yīng)盡量多介紹離散數(shù)學(xué)在計算機領(lǐng)域的應(yīng)用。使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的巨大應(yīng)用，并學(xué)會一些應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法。例如“一筆畫”的問題。這是每一個學(xué)生都比較感興趣的話題，我們從小就接觸過這樣的問題，有些圖形可以一筆畫成，有些則不可以，為什么？從這個角度入手容易引起學(xué)生的好奇心，接著再講解歐拉圖的內(nèi)容就能收到很好的教學(xué)效果。

改變學(xué)生對離散數(shù)學(xué)的消極心態(tài)，調(diào)動學(xué)生的積極性，使他們感到離散數(shù)學(xué)的有用和有趣，自覺主動地去學(xué)習(xí)，這是學(xué)生不僅獲得知識而且增長能力的前提。是完成教學(xué)要求的基本保證，也是教學(xué)改革的重要內(nèi)容。

第一印象會長久鮮明地留在學(xué)生的頭腦中，開始的教學(xué)不宜大量講述抽象的概念和邏輯推演，而要對離散數(shù)學(xué)的歷史、現(xiàn)狀、應(yīng)用作較生動的講解。在各章節(jié)的開始，最好有主題介紹。對離散數(shù)學(xué)中的一些富于歷史趣味的故事或富于啟發(fā)性的問題應(yīng)加以介紹。比如哥尼斯堡七橋問題，郵遞員問題，一筆畫問題，周游世界游戲問題等。有關(guān)的介紹不必全面和深入，而是應(yīng)側(cè)重講解它們的意境，側(cè)重講解它們的趣味性和啟發(fā)性，這些介紹宜分散到相關(guān)章節(jié)去做。接下去，應(yīng)向?qū)W生提出一些富于思考性的問題，這些問題或與他們的專業(yè)有關(guān)，或與他們已有的知識有關(guān)，或出于他們的意外，或饒有趣味。這些問題使他們看來似能解決而又不能解決，這樣就能啟動學(xué)生思維的積極性。

改進教學(xué)法

不同內(nèi)容的講授，方法可以不同。有些概念可以從多個角度進行講解。例如子圖和生成子圖的概念。子圖和生成子圖的定義如下:

1.圖G=與G′=間如果有V′≦V及E′≦E，則稱G′是G的子圖。

2.如果G′是G的子圖，并且V= V′（即子圖G′包含G的所有節(jié)點），則稱該子圖G′為G的生成子圖。

分析上述定義后，也可理解為:

在圖G中刪去一些邊或頂點后所得的圖稱為圖G的子圖。

在圖G中刪去一些邊后所得的圖稱為圖G的生成子圖。

傳統(tǒng)的教學(xué)思想過分重視演繹法，演繹法雖然有利于學(xué)習(xí)已有的知識，但它注重繁瑣的理論證明和局部的解題技巧，學(xué)生只能得到一些基本理論，而不能指導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，去創(chuàng)新。因此，在教學(xué)改革中，要讓學(xué)生通過對各種現(xiàn)象的觀察、分析，在演繹的基礎(chǔ)上進行示例、類比、歸納，去發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題。

近二十年來，由于計算機專業(yè)的興起，“離散數(shù)學(xué)”這門課也隨之開設(shè)。應(yīng)當(dāng)承認，該課程較為抽象，學(xué)與教兩方面均存在一定的難度，正因為這個難度，使其成為一門培養(yǎng)素質(zhì)與創(chuàng)造能力的好課程，通過有效的知識傳授可

以達到培養(yǎng)素質(zhì)的目的。

掌握知識框架

要想讓學(xué)生從總體上把該課的結(jié)構(gòu)、各部分內(nèi)容之間的關(guān)系搞清楚，就要在每一章結(jié)束后，對本章的內(nèi)容進行總結(jié)整理，讓學(xué)生的腦海中有一個知識框架，幫助學(xué)生有一個清楚的知識體系。

多媒體課件的使用使用CAI，習(xí)題庫的建立對計算機專業(yè)教學(xué)而言，更應(yīng)早日提上日程。盡管離散數(shù)學(xué)CAI的編制有較大難度，但可由淺入深，由簡到繁，逐步編制和使用。根據(jù)教材知識體系，把內(nèi)容劃分成集合論、數(shù)理邏輯、圖論三個單元，編制各單元的輔導(dǎo)教學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系的文字教案或電子教案。

使用多樣形式的教學(xué)方法講清知識體系的內(nèi)涵和外延，設(shè)計符合學(xué)生學(xué)習(xí)特點的多媒體教材，盡量將抽象的知識形象化，達到幫助學(xué)生理解和掌握知識的目的。

講清楚內(nèi)容對于有難度的內(nèi)容，書本上書寫不充分的內(nèi)容或者學(xué)生看不懂的內(nèi)容，在講課過程中，一定要仔細地分析講解，使復(fù)雜的問題簡單化、抽象的問題形象化，從而達到較好的教學(xué)效果。

講課速度教師一定要做好課前的教學(xué)設(shè)計，精心安排每次課的教學(xué)內(nèi)容，爭取整個教學(xué)過程都達到最佳效果。主講課雖然以教師講為主，但也要避免傳統(tǒng)的“填鴨式”的滿堂灌教學(xué)方式，要注意調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。對主講課的教學(xué)，教師要認真把握好速度、進度，切實注重教學(xué)效果，質(zhì)量是根本，學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握是目的。講課時速度適中，難的內(nèi)容多講、慢講，不能只求速度而不管學(xué)生的接受能力;簡單的內(nèi)容快講、少講，也可以讓學(xué)生自學(xué)。特別應(yīng)強調(diào)說明的是，自學(xué)能力強是素質(zhì)高的一個表現(xiàn)，因為畢業(yè)后學(xué)生為了適應(yīng)工作的需要，要吸收許多新的知識，這個時候主要靠自學(xué)。在教學(xué)中，有意識地指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)某些章節(jié)是有益的。精心組織教學(xué)。需要教師更加充分備課，更加精心組織每次教學(xué)。讓學(xué)生自學(xué)的某些章節(jié)，不是放任不管，而是需要精心策劃。勞力且勞心，付出的應(yīng)該更多。培養(yǎng)學(xué)生的素質(zhì)，需要高素質(zhì)的教師，需要教師努力提高自身的素質(zhì)。要使學(xué)生具有創(chuàng)造性，教師在教學(xué)中就應(yīng)有創(chuàng)造性。這些都需要對所教的課程反復(fù)鉆研體會。

參考文獻：

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[3]劉樹利，王家玉.計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

作者簡介：

李軍雄（1967—），男，湖南郴州人，郴州職業(yè)技術(shù)學(xué)院計算機系副教授，研究方向為職業(yè)教育課程教學(xué)及學(xué)生管理。

王凌燕（1978—），女，湖南郴州人，郴州職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師。

（本文責(zé)任編輯：宋開峰）