姚恩營　周玉國　孫國棟　林　波

摘要：運用Mallat算法和Daubechies小波分解技術(shù)，把時間序列分解為比原始時間序列更單一的細(xì)節(jié)部分和概貌部分，然后把分解后的細(xì)節(jié)部分和概貌部分重構(gòu)回原尺度，對重構(gòu)后的各個時間序列用傳統(tǒng)時間序列模型進(jìn)行預(yù)測，由此建立高階AR模型，最后累加各個時間序列預(yù)測結(jié)果得到原始時間序列的預(yù)測結(jié)果。通過對某地區(qū)工業(yè)總產(chǎn)值數(shù)據(jù)的分析和驗證，表明AR-wavelets模型與傳統(tǒng)單一模型相比可大大提高精度。

關(guān)鍵詞：多分辨率分析；Mallat算法；Daubechies小波；ARMA(P，Q)模型；時間序列分析

0引言

傳統(tǒng)的預(yù)測方法如自回歸模型(AR)，滑動平均模型(MA)，自回歸滑動平均模型(ARMA)是在時間序列平穩(wěn)的假設(shè)下，建立線性模型，然后采用模型外推的方法預(yù)測未來值。因此，這些方法只適用于平穩(wěn)時間序列的預(yù)測。但現(xiàn)實生活中的時間序列數(shù)據(jù)往往是高度非平穩(wěn)的，傳統(tǒng)的時間序列預(yù)測方法無法取得高精度的預(yù)測結(jié)果。

小波分解與重構(gòu)實質(zhì)上是通過不同的帶通濾波器將含有綜合信息的一組原始信號V(k)分解成了N＋I(xiàn)組特征不同的時間序列信號。其中一組近似信號反映了該時間序列內(nèi)在的變換趨勢，而N組細(xì)節(jié)信號反映的是隨機(jī)擾動帶來的影響，二者的規(guī)律是不同的，對特征不同的信號選擇不同的參數(shù)進(jìn)行預(yù)測，這樣分別預(yù)測的結(jié)果再合成，效果會比整體做預(yù)測的精度高。

1預(yù)測原理

1.1小波分解與重構(gòu)預(yù)測原理簡介

小波分解與重構(gòu)原理及預(yù)測過程可用圖1描述。

若V₀代表原始信號的集合，把第i組截止到采樣周期為止得到的原始時間序列信號記為V^o_i(K)，上標(biāo)表示分解尺度。這里把原始信號視為。尺度上的信號，顯然有V^o_i(k)∈V_o。對V^o_i(k)進(jìn)行分解，利用小波分解公式N尺度分解，得到一組基本時間序列信號V^N_i(k)和N組干擾信號ω^j_i(k)，(j＝1,2,…,N)。對分解得到的N＋1組時間序列信號分別單獨用Mallat算法重構(gòu)到原尺度上，得到N＋I(xiàn)組在原始尺度上的經(jīng)過分解重構(gòu)處理的時間序列序號V^N_i(k)和ω^j_i(k)，j＝1,2,…,N)。然后再分別對每一組時間序列信號用ARMA模型進(jìn)行預(yù)測，得到N＋1個預(yù)測值V^N_i(k)和ω^j_i(k)，(j＝1,2,…,N)。最后依據(jù)式(1)就得到預(yù)測結(jié)果。

1.2對分解后的時間序列信號進(jìn)行ARMA模型預(yù)測

小波分析工具可以使時間序列數(shù)據(jù)信號變得平滑，但這并不意味著分解后的概貌信號和細(xì)節(jié)信號變得平穩(wěn)，因此還需要對分解后的信號進(jìn)行分析。為此，首先要對數(shù)據(jù)進(jìn)行初步的整理和必要的檢驗，這些工作稱之為預(yù)處理。

(1)測量數(shù)據(jù)的均值、方差和概率直方圖分析

測量數(shù)據(jù)的均值、方差和概率直方圖分析可以直接調(diào)用MATLAB函數(shù)：mean.m、vaLm、histfit.m。

(2)提取趨勢項

在Matlab中提供了提取趨勢項的函數(shù)detrend.m和dtrend.m。使用它們可以方便地提取趨勢項。

(3)分解后時間序列平穩(wěn)化方法

一般來說，時間序列的不平穩(wěn)表現(xiàn)在以下幾個方面：均值不平穩(wěn)、方差不平穩(wěn)、或均值、方差都不平穩(wěn)?？梢圆扇∫韵麓胧┦箷r間序列平穩(wěn)化。

A．方差平穩(wěn)化

一般的，為了使方差平穩(wěn)化可以用指數(shù)變換。見(2)式。式中，s(λ)稱為殘差平方和，μ是相對應(yīng)的樣本均值。在指數(shù)變換中的λ可以作為模型參數(shù)由觀測序列去估計。使殘差平方和最小的λ相對應(yīng)的變換即所需要的變換。見表1。

B.均值平穩(wěn)化

非平穩(wěn)時間序列可以通過對原始序列取適當(dāng)階數(shù)差分而化為平穩(wěn)序列。一般的時間序列差分兩次就可以轉(zhuǎn)化成平穩(wěn)時間序列。考慮到原始時間序列差分后可能產(chǎn)生負(fù)數(shù)，方差平穩(wěn)化操作必須在均值平穩(wěn)化操作之前。

(4)模型類型和階次辨識

Matlab中提供了自相關(guān)函數(shù)autocoorr()和偏相關(guān)函數(shù)parcorr()。自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)用于時間序列的模型識別，其準(zhǔn)則是：如果時間序列的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，而偏相關(guān)函數(shù)是截尾的，那么這個時間序列符合AR(P)模型；如果時間序列的自相關(guān)函數(shù)是截尾的，而偏相關(guān)函數(shù)是拖尾的，那么這個時間序列符合MA(Q)模型；如果自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，那么這個時間序列符合ARMA(P,Q)模型。關(guān)于階次，本文中是利用樣本自相關(guān)函數(shù)和樣本偏相關(guān)函數(shù)來推斷的。

2實驗

2.1基本資料

分析序列采用某地區(qū)1998-2007年生產(chǎn)總產(chǎn)值(單位：萬元)的月度資料，共有120個數(shù)據(jù)，圖2是這120個數(shù)據(jù)的折線圖。我們對1998-2006年數(shù)據(jù)建模，2007年的數(shù)據(jù)留做檢驗?zāi)Ｐ汀?/p>

從圖2可以看出時間序列具有明顯的增長趨勢，并且含有周期為12個月的季節(jié)波動，即序列是非平穩(wěn)的。

2.2原始時間序列的分解與重構(gòu)

本文對1998-2006年數(shù)據(jù)利用Daubechies小波系N＝3,即db3作為尺度函數(shù)進(jìn)行多尺度分析。為了便于比較，將分解得到的各個尺度上的概貌信號、細(xì)節(jié)信號分別重構(gòu)回原尺度。圖3是分解后各尺度上的近似信號的重構(gòu)結(jié)果。

2.2.1概貌信號的特征分析

從前期工作的成果中已經(jīng)知道原始信號具有年度周期特征。即具有12個月的周期特征。概貌信號，去除了干擾信號，繼承了原始信號的主要特征和趨勢，那么理論上概貌信號應(yīng)該和原始信號有同樣的周期特征。

從圖3中看出重構(gòu)后的概貌信號是不平穩(wěn)的。根據(jù)前面介紹，對序列進(jìn)行方差變換和零均值變換，并進(jìn)行T_a3＝II或T_a3＝12的季節(jié)差分。然后再看平穩(wěn)化的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)。如圖4、圖5所示。

在進(jìn)行季節(jié)差分時，根據(jù)T_a3＝II時和T_a3＝12時的自相關(guān)函數(shù)圖像和偏相關(guān)函數(shù)圖像判斷，T_a3＝12時能很好地反映時間序列的信息。圖4和圖5就是T_a3＝12時的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)圖像。由此可以確定平穩(wěn)化后的概貌信號符合ARMA模型。有限階的ARMA(P,Q)序列可以轉(zhuǎn)化為無限階的AR(P)序列。因此可以用高階AR(P)模型代替ARMA(P,Q)。

2.2.2細(xì)節(jié)信號的特征分析

細(xì)節(jié)信號可以被看作干擾信號，但是低頻干擾信號也有可

能會受到與原始信號同樣的周期性因素影響。對于第三層細(xì)節(jié)分量d3，是所有細(xì)節(jié)分量中頻率最低的，也是各細(xì)節(jié)分量中噪聲成分最少的，它最可能和概貌信號有同樣的時序特征。為了判斷細(xì)節(jié)信號的時序特征，本文首先計算將細(xì)節(jié)分量在原尺度上重構(gòu)后的原序列的自相關(guān)系數(shù)，零均值化后的細(xì)節(jié)信號d3的自相關(guān)函數(shù)如圖6所示。

由圖6可以看出，未考慮周期性而使用原分量重構(gòu)序列計算的自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)明顯的周期性，周期T_a3和T_a3相等，即T_a3＝12。我們把該序列按照時段化分為12個子時間序列，考察不同年同月的子時間序列的自相關(guān)系數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)緩慢下降趨勢。這個特征表明該子序列屬于不穩(wěn)定序列，且屬高階AR，階數(shù)p≥2模型，可以使用高階AR模型進(jìn)行預(yù)測。

同理，可對第二層細(xì)節(jié)信號d2和第一層細(xì)節(jié)信號d1進(jìn)行如上分析，建立高階AR模型。

2.2.3子時間序列AR模型曲建立

各分量均使用高階AR模型逼近，因此首先要確定模型階數(shù)，不同的分量子序列分別用不同階數(shù)的AR模型。高階AR模型的關(guān)鍵問題是參數(shù)的確定(未知參數(shù)個數(shù)的控制就顯得很重要)。本文利用遞推最小二乘方法確定模型的參數(shù)，且使用常用的AIC(Akaike Information Criterion)方法確定模型的階數(shù)。AIC的準(zhǔn)則的一般形式見(4)式：(4)式中，，N為樣本大小，L為預(yù)先給定的模型最高階數(shù)。當(dāng)準(zhǔn)則函數(shù)取最小值時的模型為適用模型。

2.3序列預(yù)測

適用AIC確定概貌信號和細(xì)節(jié)信號的最佳回歸階數(shù)的時間序列，可以利用已有的ARMA方法或All、MA方法進(jìn)行建模和預(yù)測，最后再將各序列的預(yù)測結(jié)果合成為對原始信號的預(yù)測結(jié)果。這一建模預(yù)測過程是先重構(gòu)后預(yù)測的方法。

與確定分解尺度相似，將V^N_k和W^j_k(j＝1,2,…,N)N＋1個序列單獨重構(gòu)到原尺度上，得到N＋1個在原始尺度上的時間序列V^N_k和W^j_k(j＝1,2,…,N)，這N＋1個時間序列具有相同的樣本數(shù)。它們的代數(shù)和等于原信號，見(5)式。即可以在原尺度上對N＋1個重構(gòu)后的時間序列分別進(jìn)行建模，得到模型(6)、(7)：

3結(jié)束語

利用上述(6)，(7)模型進(jìn)行預(yù)測，并將預(yù)測結(jié)果累加，就得到了原信號的預(yù)測結(jié)果。表2即預(yù)測的結(jié)果。我們可以看到誤差均在5％內(nèi)，可以說預(yù)測的效果比較好。