韓冬冬，謝新宇，竇巖嵩

（1.河南省電力勘測設計院土建室，鄭州 450007；2.浙江大學軟弱土與環(huán)境土工教育部重點實驗室，杭州 310027 3.浙江理工大學建筑工程學院，杭州 310018；4.中國建筑股份有限公司建筑事業(yè)部，北京 100037）

考慮土體重度的條形基礎極限承載力半經驗理論解

韓冬冬1，2，謝新宇2，3，竇巖嵩4

（1.河南省電力勘測設計院土建室，鄭州 450007；2.浙江大學軟弱土與環(huán)境土工教育部重點實驗室，杭州 310027 3.浙江理工大學建筑工程學院，杭州 310018；4.中國建筑股份有限公司建筑事業(yè)部，北京 100037）

假定土體重度對滑移線場沒有影響，利用滑移線方法推導了考慮土體重度的條形基礎極限承載力公式，公式中地基承載力系數Nq，Nc和Nγ互不影響且Nq，Nc與已有結果相同。利用上限定理構造了滑移線場對應的速度場，求得了該速度場的上限解。結果表明滑移線解與上限解相同，這就證明了滑移線解是上限解答。將地基承載力系數Nγ同已有的其它成果進行了對比，并分析了此方法的誤差來源，同時給出了修正公式。

滑移線；上限；條形基礎；承載力

1 概 述

條形基礎極限承載力的求解是一個古老的課題，目前求解極限承載力的方法有3種：極限平衡法、滑移線法和極限分析法。極限平衡法首先假定極限狀態(tài)下土體的破裂面形狀，然后根據力和力矩的平衡來求解極限承載力，Terzaghi［1］和Meyerhof［2］的方法均屬于此類方法，該解答只是一種近似解；滑移線方法［3］對無重土的解已被證明為精確解，但對于有重土的解答其精確性還有待證明；極限分析法［4］以變分原理為基礎，其理論嚴密，但對有重土極限承載力的解答僅能給出一定范圍，且限于數值解答。

盡管近年來對有重土極限承載力的研究取得了一系列進展，但條形基礎極限承載力的解答都還處于半經驗階段。對地基承載力系數Nc和Nq，各學者的認識比較統(tǒng)一，但各學者對地基承載力系數的解答則差別較大。因此，有重土極限承載力的解答有待進一步研究。

本文主要利用滑移線方法求解有重土的極限承載力，鑒于考慮土體重度后，極限承載力公式不能認為是土的粘聚力c、地面超載q和土體重度γ這3種因素的簡單疊加，這一點已被多次證實［4～7］。但目前還沒有學者給出土體重度對極限承載力影響的定量研究，因此，要考慮土體重度對滑移線的影響是困難的。為了求解的方便，本文假定土體重度對滑移線形狀沒有影響，在該前提下推導極限承載力的解析表達式。

2 極限承載力的滑移線解

2.1 土體內部任一點的滑移線方程

極限狀態(tài)時土體內部任一點的兩族滑移線如圖1所示，若選取圖1所示的坐標系，則根據塑性力學滑移線理論，滿足Mohr-Coulomb屈服準則的土體內部任意一點的第Ⅰ族滑移線方程如下：

2.2 各區(qū)域的應力方程及邊界條件

極限狀態(tài)時滑移線網如圖2所示，圖中ABCD和MNPQ均屬于第Ⅰ族滑移線，與其相交的為第Ⅱ族滑移線。兩族滑移線將滑動面ABCD以上的土體分為3個區(qū)域：主動區(qū)OAB、剪切過渡區(qū)（對數螺旋線區(qū)）OBC和被動區(qū)OCD，這3個區(qū)域的第Ⅰ族滑移線均滿足方程組（1），但3個區(qū)域的應力特征和邊界條件有所不同，接下來對各區(qū)域滿足的應力方程和邊界條件進行分析。

圖1 土中任一點主應力與滑移線關系圖Fig.1 The relationship of principal stresses and slip lines of arbitrary point in soil

圖2 條形基礎極限狀態(tài)下的滑移線場Fig.2 The slip-line field of strip footing in limit equilibrium

假定土體重度對滑移線形狀沒有影響，則滑移線場同無重土的滑移線場相同，此時主動區(qū)OAB為均勻場，η＝π／2，代入公式（1）中的第二式，并積分可得到

式中C1為積分常數。

過渡區(qū)OBC中，第Ⅰ族滑移線為對數螺旋線，其坐標滿足

寫成直角坐標形式為

對上式微分，代入公式（1），并積分可得到

式中：C2為積分常數

2

被動區(qū)OCD也為均勻場，η＝0，其應力公式為

式中C3為積分常數。

對于Mohr-Coulomb材料，圖2坐標下的特征應力σ與y方向應力σy滿足下式：

邊界OD上，σy＝q，η＝0，此時

2.3 極限承載力的求解

設OM長度為a，對于任一條第Ⅰ族滑移線MNPQ，M點同時滿足公式（2）和（8），N點同時滿足公式（2）和（5），P點同時滿足公式（5）和（6），Q點同時滿足公式（6）和（9），將M、N、P和Q點分別代入上述公式，并結合它們的坐標可以解得地基極限承載力公式的表達式如下：

式中：

其中，

公式（10）至（13）是基礎底部每一點的極限承載力公式，從中我們可以看出：若假定地基土重度對滑移線的形狀沒有影響，則地基承載力系數Nq，Nc和Nγ是相互獨立的3個參數，且極限承載力沿基礎底面呈線性分布，因此可以用基礎中心處的承載力代表極限承載力的平均值，即將公式（14）中a換成B／2即可。這樣極限承載力公式的解答就是土的黏聚力c、地面超載q和土體重度γ這3種因素的疊加。

上述極限承載力公式與Terzaghi［1］得到的解答形式相同，且承載力系數Nq，Nc與Prandtl-Reissner課題的解答相同。Chen［4］、Soubra［7］和陳祖煜［5］等學者指出，考慮土體重度后，極限承載力的解答要比3種因素疊加的結果大，將極限承載力公式寫成3種因素疊加的形式會引起一定的誤差，但這個誤差一般在10%以內，因此是可以接受的。

Chen［4］指出，基礎承載力的滑移線解不一定是真實解，也不知道是否是上限解或下限解。如果上述滑移線場對應速度場的上限解與滑移線解相同，則說明公式（13）是上限解。

3 對應速度場的上限解

圖2對應的速度場如圖3所示，圖3對應的上限定理公式可以表示為

式中：W為速度場內的能量耗散，包括AB（OB）上的能量耗散、變形楔體ABC＇（OBC）內部和邊界BC＇（BC）上的能量耗散以及C＇D＇（CD）上的能量耗散；Wg，Wq和Wpu分別為土體重力的功率、地面超載的功率q及極限荷載Pu的功率。它們的表達式分別如下：

圖3 圖2滑移線場對應的速度場Fig.3 Velocity field realated to the slip-line field of Fig.2

將公式（14）至（18）聯立，解得極限承載力的上限

式中：

公式（19）至（22）與公式（10）至（13）的表達式完全相同，這說明本文的滑移線解是上限解。

4 計算結果對比分析

4.1 極限承載力系數Nγ的結果對比

極限承載力系數Nq和Nc可用公式（11）和（12）求解，這一點各學者的認識較為一致，但對于Nγ，不同學者給出的建議值差別較大。取土的內摩擦角φ分別等于0°，2°，…，30°，本文方法及其他學者的建議值如表1所示。

表1 地基承載力系數Nγ與已有成果的對比Table 1 Comparison of bearing capacity factor NγValues with those obtained by othermethods

表1中韓冬冬等［8］是根據滑移線的數值解得到的結果，采用滑移線理論計算時假定基礎底面是光滑的；Terzaghi＆Peck［9］是根據極限平衡法得到的光滑基礎的結果；Taylor［10］計算地基承載力時將土體重度等效為換算黏聚力，根據換算黏聚力得到了地基承載力系數Nγ；Meyerhof考慮了地基埋深以上土的抗剪強度影響，表1中Meyerhof［2］是根據Meyerhof建議的半經驗公式得到的Nγ；Vesic［11］是在基礎光滑的假定下得到的Nγ解；Chen［4］是利用上限解得到的半經驗公式的計算結果；Bolton＆Lau［12］是對粗糙基礎提出的半經驗公式。

從表中看以看出，本文方法的解與Taylor［10］的計算結果接近，但是比多數學者的建議值大，甚至比有些結果大很多。這是2個因素造成的：

（1）多數學者給出的Nγ的半經驗公式都偏于安全，比他們計算分析得到的Nγ要小。如Meyerhof的半經驗公式與無埋深基礎的Nγ結果接近；當φ＝30°時，由Bolton＆Lau建議的半經驗公式得到的Nγ值為17.40，而其原始的計算結果為23.6。各學者計算Nγ時都給出了相對保守的計算公式，這是本文Nγ解比一些學者的建議公式計算結果大很多的原因。

（2）假定地基土重度對滑移線沒有影響所帶來的誤差。Terzaghi在1943年的土力學專著中指出了土體重度對剪切滑動面的影響，韓冬冬等根據滑移線數值計算結果對這一問題進行了研究，并得出結論：有重土的滑移線區(qū)域比無重土的滑移線區(qū)域要小［8］。因此，若不考慮土體重度對滑移線形狀和區(qū)域的影響，則假定的滑移線區(qū)域比實際的滑移線區(qū)域要大，那么計算結果自然也是偏大的。

另需說明的一點是：雖然Meyerhof等一些學者認為基底粗糙度對極限承載力的結果影響很大，完全光滑基礎的承載力可能只有完全粗糙基礎的一半，但一些大型光滑基礎的試驗結果表明：完全光滑基礎和完全粗糙基礎的承載力結果相差不大，控制地基破壞的因素是整體剪切破壞，對于有剛度基礎，Hill破壞模式是不可能出現的［13］。鑒于基礎粗糙度對極限承載力的結果影響有限，作者認為本文的計算公式適用于條形基礎整體剪切破壞的情況，基底粗糙度對計算結果的影響可以忽略。

4.2 極限承載力系數Nγ的結果對比

公式（13）計算地基極限承載力時假定土體重度對極限承載力沒有影響，這是本文計算結果的一個誤差來源，為了減小這個誤差，引入關于φ的函數對公式（13）進行修正，作者的建議公式為

式中：Nγm為修正后的地基承載力系數；Nγ為利用公式（13）計算得到的結果。

公式（23）的計算結果也列在了表1中，從修正的計算結果可以看出，修正結果與韓冬冬［8］及Chen［4］的計算結果接近。需要指出的是，公式（23）的修正系數是作者分析了其它計算結果后做的對比修正，修正時主要考慮了地基土重度對滑移線沒有影響這一假定所帶來的誤差。土的內摩擦角較小時該誤差較小，隨著土的內摩擦角增大，這一假定所帶來的誤差也越來越顯著，因此作者增加了cosφ這一修正項，這樣修正系數比較簡單，而且與滑移線方法的數值計算結果吻合的比較好。

盡管如此，公式（23）仍是一個半經驗公式，公式中的修正系數還可以取成別的形式，對公式（13）如何進行修正還值得進一步研究。

5 結 論

（1）若假定土體重度對滑移線形狀沒有影響，則可根據滑移線理論和邊界條件計算得到有重土極限承載力的解析公式。該表達式中地基承載力系數Nq，Nc和Nγ是相互獨立的3個參數，且Nq和Nc與Prandtl-Reissner課題的解答一致。

（2）本文滑移線場對應速度場的上限解與滑移線方法得到的解答完全相同，這證明本文的滑移線解是上限解。

（3）將滑移線解答得到的極限承載力系數與其他學者的結果進行對比后發(fā)現，本文的結果比其它解偏大，其原因一方面在于各學者對Nγ計算時采取了偏于安全的簡化公式，另一方面是因為假定土體重度對滑移線沒有影響會對計算結果產生一定的誤差，而且是偏大的誤差。

（4）對地基承載力系數進行了修正，給出了Nγ的半經驗公式，修正后的Nγ值與韓冬冬［8］及Chen［4］的計算結果接近。

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（編輯：曾小漢）

Sem i-em pirical Solution on Bearing Capacity of Strip Footing Considering Unit Weight of Soil

HAN Dong-dong1，2，XIE Xin-yu2，3，DOU Yan-song4
（1.Department of Civil-Engineering，Henan Electric Power Survey＆Design Institute，Zhengzhou 450007，China；2.MOE Key Laboratory of Soft Soils and Geoenvironmental Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China；3.College of Civil Engineering and Architecture，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China 4.Building Construction Operations，China State Construction Engr.Corp.Ltd，Beijing 100037，China）

Assuming the unitweight of soil has no influence on the slip-line field，the formula of bearing capacity of strip footing is got by slip-line method，in which the three bearing capacity factors Nq，Ncand Nγdon’t effect each other and Nq，Ncare the same as the published results.The upper-bound solution to bearing capacity of strip footing is deduced in the corresponding velocity field of strip footing to the slip-line field，which is the same aswhat is gotusing slip-linemethod.The slip-line result is accordingly proved to be the upper-bound solution.The bearing capacity factor Nγis compared to those by other methods.The reasons that lead to the error by presentmethod are analyzed and amodified formula is proposed.

slip line；upper-bound；strip footing；bearing capacity

TV471.12

A

1001-5485（2009）08-0054-05

2008-11-03；

2008-12-23

韓冬冬（1983-），男，河南沈丘人，工學碩士，從事土力學研究及結構設計工作，（電話）0371-67163572（電子信箱）hdd-5217＠163.com。