孔新偉

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，學(xué)生要“豐富對現(xiàn)實(shí)空間及圖形的認(rèn)識(shí)，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維”?？臻g觀念作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容在課程標(biāo)準(zhǔn)中被明確地提出，足以說明讓學(xué)生建立空間觀念，是新理念下數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是學(xué)生應(yīng)具備的一種基本數(shù)學(xué)素質(zhì)。

日常生活中即使是學(xué)齡前兒童，也在逐步地培養(yǎng)前、后、左、右、上、下、大、小等空間意識(shí)。那么，對小學(xué)生來說，培養(yǎng)空間觀念是否手到擒來呢?答案當(dāng)然是否定的。以下是幾道學(xué)生習(xí)題：

①小紅身高140()；課桌桌面40()。

(學(xué)生出現(xiàn)小紅身高140米，課桌桌面40平方厘米或40平方米的錯(cuò)誤)

②1.5公頃=()平方米。

(學(xué)生有的填1500，有的填150)

顯然，這些錯(cuò)誤答案的出現(xiàn)是學(xué)生頭腦中沒有很好地建立起長度單位和面積單位的緣故，這里面有一個(gè)關(guān)鍵性因素——學(xué)生缺乏空間觀念。

何謂“空間觀念”?《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》認(rèn)為：空間觀念主要表現(xiàn)為“能由實(shí)物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物的形狀，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化”?？臻g觀念的發(fā)展是一個(gè)包括觀察、想象、比較、綜合、抽象分析，不斷由低到高向前發(fā)展的認(rèn)識(shí)客觀事物的過程。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，怎樣有效地促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展呢?具體的途徑和方法有很多，筆者認(rèn)為小學(xué)階段學(xué)生的思維特點(diǎn)是以形象思維為主，逐步向抽象思維過渡，所以培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的關(guān)鍵點(diǎn)是引領(lǐng)學(xué)生在“形象”與“抽象”之間反復(fù)跳轉(zhuǎn)，讓其在螺旋式跳轉(zhuǎn)中逐步建構(gòu)起對空間與平面相互關(guān)系的認(rèn)識(shí)。具體可分三步走：

一、形象→表象：空間觀念發(fā)展的“經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備”階段

學(xué)生的空間知識(shí)來自豐富的現(xiàn)實(shí)原型，他們的空間觀念是在生活經(jīng)歷中與客觀環(huán)境不斷接觸時(shí)逐步形成和發(fā)展起來的。心理學(xué)研究表明，學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)時(shí)，要從具體事物的感知出發(fā)，獲得清晰、深刻的表象，再逐步抽象出幾何形體的特征，以形成正確的概念?？梢姡瑑?chǔ)備學(xué)生的現(xiàn)實(shí)原型表象是發(fā)展學(xué)生空間觀念的前提條件。那么，教學(xué)中怎樣創(chuàng)造條件促使學(xué)生由“形象”向“表象”過渡呢?教師可以讓學(xué)生對生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行回憶，充分利用學(xué)生的視覺、聽覺、觸覺等多種感覺器官，通過看一看、摸一摸、量一量、比一比、想一想、畫一畫、折一折、擺一擺、剪一剪等實(shí)踐活動(dòng)，促使“實(shí)物表象一模型表象一圖形表象”逐級(jí)提升，從而以豐富的表象作為建立空間觀念的堅(jiān)實(shí)載體。下面介紹兩種具體做法：

1、在想象中“畫”出表象。例如，教學(xué)“長方體的認(rèn)識(shí)”，教師首先引導(dǎo)學(xué)生回憶生活中哪些物體的形狀是長方體的，學(xué)生舉出了粉筆盒、牙膏盒、電冰箱、電視機(jī)柜等等，教師引導(dǎo)學(xué)生閉上眼睛想象：這些長方體物體的形狀是怎樣的，它們有什么共同的地方?(同桌互相說一說)通過這些活動(dòng)建立學(xué)生的實(shí)物表象。在此基礎(chǔ)上，教師給學(xué)生提供長方體模型學(xué)具，讓學(xué)生進(jìn)行看一看、摸一摸、數(shù)一數(shù)、拆一拆等操作活動(dòng)，建立起模型表象。然后，再次讓學(xué)生閉上眼睛想象：通過剛才的操作活動(dòng)，你覺得長方體應(yīng)該是一種怎樣的形狀?最后讓學(xué)生看著模型，將想象的結(jié)果用簡單的圖表示出來(學(xué)生畫得是否標(biāo)準(zhǔn)并不重要，重要的是將自己想象的結(jié)果真實(shí)地呈現(xiàn)出來)，并說一說在畫的時(shí)候要注意什么。通過畫形象圖，促進(jìn)學(xué)生的空間想象由“形象”向“表象”躍進(jìn)，最終使學(xué)生形成較為準(zhǔn)確、清晰的圖形表象。

2、在操作中“擺”出表象。心理學(xué)家皮亞杰說：“知識(shí)來源于動(dòng)作?！毙W(xué)生的表象形成經(jīng)常是從動(dòng)作開始的，動(dòng)手操作很容易激起他們的好奇心和求知欲。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何知識(shí)時(shí)，要從具體事物的感知出發(fā)，通過操作活動(dòng)，促使空間表象的形成。如，教學(xué)“長方形的周長”時(shí)，給學(xué)生提供許多小棒，讓他們用小棒擺一些長方形，然后用手摸一摸長方形的周長，并說說這些長方形的周長有什么共同的地方。學(xué)生在擺、摸、說的過程中逐步形成了長方形周長的表象，即長方形的周長就是圍它一周的4根小棒長度的和，從而為探索長方形周長的計(jì)算方法奠定良好的表象基礎(chǔ)。

二、表象→抽象：空間觀念發(fā)展的“理性分析”階段

當(dāng)學(xué)生具備了一定的表象經(jīng)驗(yàn)之后，要不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生將形成的表象進(jìn)行提煉、概括，即透過表面的現(xiàn)象找出事物的本質(zhì)特征，因?yàn)閷W(xué)生只有充分認(rèn)識(shí)了空間與圖形的本質(zhì)特征后，才能真正運(yùn)用空間表象進(jìn)行一系列思考活動(dòng)，解決空間與圖形領(lǐng)域的問題，從而形成含有理性成分的空間觀念。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也指出了空間觀念在分析和抽象層次上的表現(xiàn)，如“能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形”“能描述實(shí)物或幾何圖形的運(yùn)動(dòng)和變化”“能采用適當(dāng)?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的相互關(guān)系”等等，這些都是在學(xué)生具備一定的空間表象基礎(chǔ)上，提出根據(jù)圖形的本質(zhì)特征對圖形關(guān)系進(jìn)行的分析與操作。那么，在教學(xué)中怎樣引導(dǎo)學(xué)生對空間表象進(jìn)行邏輯推理和抽象概括，從而發(fā)現(xiàn)空間與圖形的本質(zhì)特征?可以采取如下一些策略：

1、觀察——比較。給學(xué)生提供具體材料，讓學(xué)生通過觀察比較，發(fā)現(xiàn)空間與圖形的規(guī)律性特征。如教學(xué)“觀察物體”一課，指名不同學(xué)生用數(shù)碼相機(jī)為一個(gè)同學(xué)進(jìn)行不同方位的拍照，并把這些照片展示出來，讓學(xué)生仔細(xì)觀察，通過比較，猜一猜每張照片是小攝像師站在哪個(gè)方位拍的。然后進(jìn)行親自的本位、換位觀察學(xué)具，通過交流比較后得出：同一件事物，觀察的角度不同，所得的結(jié)果也就各不相同。

2、操作——感悟。給學(xué)生提供豐富的動(dòng)手材料，讓他們通過操作去感悟空間與圖形的特征，獲得親身體驗(yàn)。如上“圓的認(rèn)識(shí)”時(shí)，給學(xué)生提供圓形紙片，學(xué)生通過折紙感悟到：圓的半徑有無數(shù)條，長度都相等，直徑也有無數(shù)條，長度也都相等，在同一個(gè)圓里，直徑是半徑的2倍，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了圓是軸對稱圖形，兩次對折后可以找到圓心，等等，所有這些內(nèi)在規(guī)律都可以通過操作圓形紙片得到證明。

3、猜想——驗(yàn)證。鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)已有的表象經(jīng)驗(yàn)，對空間與圖形的本質(zhì)特征進(jìn)行大膽假設(shè)，引領(lǐng)他們進(jìn)行猜想和驗(yàn)證的探究活動(dòng)。如學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積計(jì)算”，教師先讓學(xué)生大膽猜想平行四邊形的面積計(jì)算方法，不少學(xué)生受長方形的負(fù)遷移影響，認(rèn)為平行四邊形的面積也是“兩邊相乘”。教師將錯(cuò)就錯(cuò)，引導(dǎo)學(xué)生展開驗(yàn)證活動(dòng)，出示左圖，學(xué)生通過探究，發(fā)現(xiàn)“a×b”是長方形的面積，它大于平行四邊形的面積，而算平行四邊形的面積，要將長方形外的小直角三角形平移進(jìn)來，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成小長方形來推導(dǎo)，從而得出“底×高”的結(jié)論。

4、試驗(yàn)——發(fā)現(xiàn)。為學(xué)生創(chuàng)設(shè)“試驗(yàn)”的情境，讓他們通過親自嘗試、篩選，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論。例如，前面舉過的例子“長方體的認(rèn)識(shí)”，當(dāng)學(xué)生具備了一定的長方體表象后，要引導(dǎo)學(xué)生對長方體的本質(zhì)特征展開探索：提供長方形(多于6個(gè))和小棒(多于12根并有接頭)，讓學(xué)生選擇所需部分，組裝成一個(gè)長方體。學(xué)生要根據(jù)已有的表象經(jīng)驗(yàn)，判斷出所需材料的數(shù)量，然后提出假設(shè)，確定試驗(yàn)的范圍，逐一

進(jìn)行試驗(yàn)，通過試驗(yàn)篩選，完成長方體的組裝，發(fā)現(xiàn)長方體“面、棱、頂點(diǎn)”方面的內(nèi)在特征。

三、抽象→形象：空間觀念發(fā)展的“檢驗(yàn)應(yīng)用”階段

當(dāng)學(xué)生經(jīng)過抽象概括獲得空間理性認(rèn)識(shí)后，接下去要將這些抽象概念具體化，一方面是檢驗(yàn)概念的外延范圍，另一方面是運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來解決一些實(shí)際問題，在實(shí)際應(yīng)用中進(jìn)一步鞏固和深化空間概念?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也進(jìn)一步指出，空間觀念的表現(xiàn)還包括“能運(yùn)用圖形形象地描述問題，利用直觀進(jìn)行思考”。該階段的“形象”和第一階段中所講的“形象”已有本質(zhì)的區(qū)別：第一階段中的“形象”是指利用學(xué)生頭腦中已有的“直觀經(jīng)驗(yàn)”，是零散、瑣碎的、模糊的；而此時(shí)的“形象”是學(xué)生已經(jīng)獲得理性認(rèn)識(shí)之后，將理性概念運(yùn)用到具體中去，尋找形象例子，以進(jìn)一步驗(yàn)證概念的正確性和范圍，并解決一些實(shí)際問題。

1、回歸生活，學(xué)以致用。例如，學(xué)習(xí)“圖形的認(rèn)識(shí)”，學(xué)生經(jīng)過猜想、操作驗(yàn)證后獲得了“三角形不容易變形，四邊形容易變形”這一理性認(rèn)識(shí)。為了檢驗(yàn)這個(gè)規(guī)律的普遍性，教師引領(lǐng)學(xué)生展開了一系列的活動(dòng)：首先拿出一把會(huì)搖動(dòng)的椅子讓學(xué)生坐一坐，問學(xué)生有什么感覺，學(xué)生說椅子壞了，坐不穩(wěn)，教師讓學(xué)生討論怎樣應(yīng)用三角形穩(wěn)定性的特征來修理這把椅子，并親自動(dòng)手把它修好，然后再次坐一坐檢驗(yàn)是否能坐穩(wěn)；教師還帶領(lǐng)學(xué)生到馬路旁、商店內(nèi)觀察，哪些地方用到三角形的穩(wěn)定性，哪些地方運(yùn)用到平行四邊形的不穩(wěn)定性。經(jīng)過這種實(shí)地的觀察、觸摸，學(xué)生對這些本質(zhì)特征確信不疑，并深深地體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

2、檢驗(yàn)外延，融會(huì)貫通。例如，學(xué)習(xí)了“圓的面積計(jì)算”后，有些學(xué)生發(fā)現(xiàn)在探索平面圖形面積計(jì)算公式時(shí)，總是把它轉(zhuǎn)化成一個(gè)已學(xué)過的圖形，再根據(jù)學(xué)過圖形的面積公式來推導(dǎo)出新圖形的面積公式。教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對以前學(xué)的知識(shí)進(jìn)行回顧反思，檢驗(yàn)這種方法是否普遍適用于平面圖形，學(xué)生回憶起平行四邊形、三角形、梯形等圖形的面積公式推導(dǎo)方法，發(fā)現(xiàn)確實(shí)如此，從而悟出了學(xué)習(xí)該類知識(shí)的思想方法。有些學(xué)生還通過形象思維，對這些公式之間的相互關(guān)系進(jìn)行了溝通：當(dāng)我們記住了梯形的面積公式，只要想象梯形的上底延長到與下底相等時(shí)，它的面積S=1/2×2a×h=ah，就是平行四邊形的面積公式：同樣道理，當(dāng)梯形的上底縮小為0時(shí)，它的面積S=1/2×(a+0)×h=1/2ah，就是三角形的面積公式。

總之，空間觀念是以學(xué)生豐富的空間經(jīng)驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn)，在活動(dòng)體驗(yàn)的過程中逐步建立、形成、強(qiáng)化和發(fā)展起來，它需要一個(gè)漫長的過程。只要我們堅(jiān)持沿著“形象一表象一抽象一形象”的軌跡，不斷地循環(huán)下去，學(xué)生的空間觀念就會(huì)從無到有、從少到多、從模糊到清晰，學(xué)生的空間想象力也會(huì)由弱到強(qiáng)、由低級(jí)到高級(jí)、由單一到復(fù)雜地不斷提升。