胡興藝(湖南省水文水資源勘測局水情處,長沙410007)

廣義線性水庫模型及其RC(阻容)網(wǎng)絡(luò)模擬

胡興藝
(湖南省水文水資源勘測局水情處,長沙410007)

在線性水庫模型的基礎(chǔ)上提出了廣義線性水庫模型這一概念。該模型根據(jù)電子與水分子的共同特征,利用數(shù)學(xué)和物理的方法推導(dǎo)出了線性水庫模型與RC(resistance capacitance)網(wǎng)絡(luò)模型的對稱性,揭示了廣義線性水庫模型的參數(shù)及其內(nèi)涵。一個(gè)較大的流域由許多小流域集合而成,一個(gè)小流域又由一些更小的集水單元組成。降落在流域上的雨水經(jīng)過產(chǎn)流機(jī)制的作用匯集到流域出口形成流域徑流。如果將每一個(gè)單元看成一個(gè)單一線性水庫,根據(jù)其地理數(shù)據(jù),無需歷史觀測資料我們就能方便地獲得復(fù)雜流域模型的參數(shù)值。實(shí)例證明了廣義線性水庫模型RC網(wǎng)絡(luò)模擬方法的正確性和可行性。

線性水庫;飽和徑流深;RC網(wǎng)絡(luò);模擬;電子;水分子

自然界中的水文現(xiàn)象是由眾多因素相互作用的復(fù)雜過程,水文現(xiàn)象雖然發(fā)生在地表范圍內(nèi),但與大氣圈、巖石圈、生物圈都有著十分密切的關(guān)系,屬于綜合性的自然現(xiàn)象,水文科學(xué)屬于地學(xué)范疇。迄今人們還不能對所有水文現(xiàn)象的有關(guān)要素進(jìn)行實(shí)際觀測,不能用嚴(yán)格的物理定律來描述水文現(xiàn)象各要素間的因果關(guān)系,還有許多問題未解決,嚴(yán)格的水文規(guī)律有待人們?nèi)フJ(rèn)識(shí)和探索。

隨著對現(xiàn)象及其各要素間因果關(guān)系認(rèn)識(shí)水平的逐步提高和研究的不斷深入,人們將復(fù)雜水文現(xiàn)象加以概化,既忽略次要的隨機(jī)的因素,保留主要因素和具有基本規(guī)律的部分,據(jù)此建立具有一定物理意義的數(shù)學(xué)物理模型并在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn),這種仿水文現(xiàn)象為水文模擬,它是對水文現(xiàn)象的種種數(shù)學(xué)、物理和邏輯的概化。水文模擬首先就是要開發(fā)研制一個(gè)模擬流域水文過程所建立的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),即水文模型。水文模型按照構(gòu)建的基礎(chǔ)分類有物理模型、概念性模型和黑箱子模型,按照離散程度分類有集總式模型和分布式模型。這些模型在進(jìn)行水文規(guī)律研究和解決生產(chǎn)實(shí)際問題中發(fā)揮了重要的作用,推動(dòng)了水文模擬技術(shù)和水文科學(xué)的發(fā)展。

1 流域匯流系統(tǒng)

科學(xué)的每一分支都有自己的一套“模型”理論,在模型的基礎(chǔ)上可以運(yùn)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行研究?！跋到y(tǒng)”是近代自然科學(xué)和工程技術(shù)廣泛使用的一個(gè)概念,為了便于對系統(tǒng)進(jìn)行分析,同樣需要建立系統(tǒng)的模型。模型是系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象,通常以數(shù)學(xué)表達(dá)式或具有理想特征的符號(hào)組合圖形來表征系統(tǒng)特性。流域匯流也可視做一個(gè)系統(tǒng),對流域匯流系統(tǒng)來說,系統(tǒng)的輸入是凈雨過程,系統(tǒng)的輸出是出口斷面流量過程,而系統(tǒng)作用就是流域調(diào)蓄作用,如圖1所示。根據(jù)流域匯流的物理過程,流域匯流系統(tǒng)必須是一個(gè)因果性的、守恒的和穩(wěn)定——高阻尼的物理系統(tǒng)。

圖1 流域匯流系統(tǒng)Fig.1 Convergence system of a basin

2 單一線性水庫模型

單一線性水庫模型是用一個(gè)線性水庫來模擬流域調(diào)蓄的,如圖2。流域水量平衡方程式和蓄量方程式可寫為

圖2 單一線性水庫模型Fig.2 Single linear reservoir model

式中:I為流域凈雨輸入;Q為流域出口斷面流量;V為流域蓄量;K為蓄量常數(shù)。其中流域蓄量V=S·h,S為水庫底面積,h為水庫相對高程。

合并式(1)和式(2)可得到下列一階常系數(shù)線性

常微分方程

上式即為單一線性水庫模擬流域匯流的基本微分方程式。在零初始條件下流域瞬時(shí)單位線為

即單位線性水庫的蓄量常數(shù)K就是平均流域匯流時(shí)間。

如果流域處于退水階段,則由于凈雨早已停止,式(3)變?yōu)?/p>

式中Q(0)為退水開始時(shí)的流量。

式(8)表明,K值又可反映流域退水速度的快慢。K值大則退水慢,反之則退水快,這是與平均流域匯流時(shí)間的概念完全吻合的。對式(8)取對數(shù),有

因此,退水曲線式(8)在單對數(shù)格紙上為一條截距為ln Q(0)、斜率為-1/K的直線。式(7)和式(9)可作為確定單一線性水庫模型參數(shù)的基本關(guān)系式。

3 單一RC網(wǎng)絡(luò)模型

單一RC網(wǎng)絡(luò)模型由一個(gè)線性電阻R和電容C并聯(lián)組成,如圖3,其中A為內(nèi)阻為∞的恒流源,且具有沖激函數(shù)特性輸出。

圖3 單一RC網(wǎng)絡(luò)模型Fig.3 Single RC network model

式中:uC為電容兩端的電壓;iC為流經(jīng)電容C的電流;iR為流經(jīng)電阻R的電流;iS為恒流源A的沖激輸出電流。

為了求uS(0+)的值,把上式在0-與0+時(shí)間內(nèi)積分,得

即當(dāng)t≥0+時(shí),沖激電流源A相當(dāng)于開路,所以可以求得電容C兩端的電壓為

式中:iR(0+)為開始時(shí)的電壓;τ=RC為給定R,C電路的時(shí)間常數(shù)。τ值又可反映電容放電的快慢;τ值大則放電慢,反之則放電快。

4 廣義線性水庫模型

水文學(xué)與電子學(xué)在分析和研究各自問題時(shí)存在明顯物理意義上的區(qū)別,水文學(xué)研究的客體是水,電子學(xué)則主要針對電的特性進(jìn)行研究。雖然水和電有本質(zhì)上的區(qū)別,但它們卻有著共同的特性和規(guī)律。水在地表運(yùn)動(dòng)形成了水流,電子在導(dǎo)體中移動(dòng)形成了電流。水體由落差可以形成水壓,電在電阻兩端可以形成電壓。水可以截流在水庫里,電也可以存儲(chǔ)在電容器中,這些特性足以使這兩門科學(xué)找到結(jié)合點(diǎn)。顯然,由3,4節(jié)分析可得出如下對稱性:

電容C是表示電容器容納電荷本領(lǐng)的物理量,是由電容器本身的性質(zhì)(由導(dǎo)體大小、形狀、相對位置及電介質(zhì))決定的,與電容器是否帶電無關(guān)。平行板電容器的電容C與介電常數(shù)εr成正比,與正對面積SC成正比,與極板間的距離d成反比。即

電阻R的主要物理特征是變電能為熱能,也可說它是一個(gè)耗能元件,電流經(jīng)過它就產(chǎn)生內(nèi)能。電阻在電路中通常起分壓分流的作用。通常情況下,導(dǎo)體的電阻R與電阻率σ成正比,與長度L成正比,與橫截面積Sr成正比。即R=σLSr,代入式(19)得

假設(shè)電容器C介電常數(shù)εr和極板間的距離d為常數(shù),電阻R的電阻率σ和橫截面積Sr為常數(shù)。由圖2所示,假設(shè)水庫底面積S=SC,水庫相對容深H=L,這里S可看作流域匯流面積,H為水庫相對容深,這里可看作流域飽和徑流深,也可看作流域平均高程,即水庫蓄滿時(shí)的高度。流域匯流面積S和高程H可以測算得到,由此可求得線性水庫模型中K值。令γ=,由式(20)可求得水庫相對容深,即:

通過以上分析,單一線性水庫模型中只有常數(shù)K,而廣義線性水庫模型則引入了S和H,并揭示了K與S和H 2個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系。同時(shí),廣義線性水庫模型進(jìn)一步得到了單一線性水庫模型與單一RC網(wǎng)絡(luò)模型物理意義上的對稱性:

同理,如果將單一線性水庫串聯(lián)或并聯(lián)來模擬流域調(diào)蓄作用,按照上述方法可得到串聯(lián)和并聯(lián)型線性水庫RC網(wǎng)絡(luò)模型。在實(shí)際中,流域匯流途徑是交替進(jìn)行的,即串流現(xiàn)象普遍存在,而線性水庫模型中沒有考慮這些因素的影響,由電子學(xué)理論可知,線性水庫RC網(wǎng)絡(luò)模型很好地解決了串流現(xiàn)象這一問題。

圖4 渠水流域分布情況Fig.4 Qushui River basin

5 線性水庫模型的RC模擬

根據(jù)流域地形特性,單一線性水庫模型可以組合成串聯(lián)型線性水庫模型和并聯(lián)型線性水庫模型,同時(shí)還可組合成串并聯(lián)相結(jié)合的線性水庫模型。針對單一線性水庫模型,K值是反映流域退水速度快慢的參數(shù),首先獲得K和S值后,根據(jù)式(21)可進(jìn)一步獲得H值,通過線性水庫模型的串并聯(lián)結(jié)構(gòu)建立RC網(wǎng)絡(luò),代入相應(yīng)參數(shù),由于通過數(shù)學(xué)方法分析復(fù)雜的RC網(wǎng)絡(luò)非常困難。隨著計(jì)算機(jī)軟件技術(shù)的發(fā)展,目前可實(shí)現(xiàn)在電子線路模擬軟件上對RC網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出進(jìn)行定量分析,通過相應(yīng)的關(guān)系換算即可獲得任何時(shí)段流域匯流系統(tǒng)的匯流輸出。根據(jù)“河流-流域”模型,一個(gè)流域可以按自然分水線分成若干個(gè)不嵌套的小流域,將子流域分布情況按流向連接起來進(jìn)行流域匯流計(jì)算,該模型用RC網(wǎng)絡(luò)來描述顯得非常方便。湖南渠水是沅江支流中第三長河,如圖4所示,該流域被劃分為5個(gè)子流域,由此可得到一個(gè)串并聯(lián)結(jié)構(gòu)的RC

網(wǎng)絡(luò),如圖5所示,它其實(shí)是有旁則入流的串并聯(lián)混合型廣義線性水庫模型。

圖5 等效RC網(wǎng)絡(luò)模型Fig.5 Equivalent RC network

由于流域中高程對應(yīng)于R值,流域面積對應(yīng)于C,只要將相應(yīng)地理參數(shù)代入RC網(wǎng)絡(luò)中,根據(jù)系統(tǒng)分析和控制理論,且通過利用Matlab軟件進(jìn)行計(jì)算,即可獲得該流域5個(gè)子流域的瞬時(shí)單位線。

表1 渠水流域巖頭站以上地面徑流RC模型計(jì)算對比表Table 1 Comparison of calculated and measured data of surface runoff for Qushui River basin in June,1989

已知瞬時(shí)單位線,再與各子流域站點(diǎn)時(shí)段凈雨卷積后延時(shí)疊加可求得流域出口斷面的流量過程線。表1中列出了渠水流域1989年6月一次洪水的地面徑流計(jì)算和實(shí)測值對比。

6 結(jié)論

流域是分水線包圍的集水盆地,降落在流域上的雨水經(jīng)過產(chǎn)流機(jī)制的作用匯集到流域出口形成流域徑流。一個(gè)較大的流域由許多小流域集合而成,一個(gè)小流域又由一些更小的集水單元組成。如果將每一個(gè)單元看成一個(gè)單一線性水庫,我們只要根據(jù)其地理特征就能方便地確定模型的參數(shù)。對于一個(gè)復(fù)雜的流域的產(chǎn)流機(jī)制,可以用多個(gè)單一線性水庫的串并聯(lián)結(jié)構(gòu)來模擬,但數(shù)學(xué)方法直接求解將相當(dāng)困難,如果利用文中理論,將流域等效成串并聯(lián)RC網(wǎng)絡(luò),在計(jì)算機(jī)上能很方便的模擬出凈雨和徑流過程。

[1]邱關(guān)源.電路[M].北京:高等教育出版社,1989.

[2]芮孝芳.徑流形成原理[M].南京:河海大學(xué)大學(xué)出版社,1991.

[3]胡興藝.河段水位預(yù)報(bào)RC模型[J].水利水電科技進(jìn)展,2007,(2):52-54.

(編輯:趙衛(wèi)兵)

Generalized Linear Reservoir Model and Its Simulation by Resistance-Capacitance Network Circuitry

HU Xing-yi
(Bureau of Hydrology and Water Resources Survey of Hunan Province,Changsha 410007,China)

This article creates a generalized linear reservoir model from linear reservoir model.It is based on the common characteristics of electrons and water molecules,and uses mathematical and physical methods deriving the symmetry for the generalized linear model of the reservoir and the resistance capacitance(RC)network model,thus,revealing their parameter connotations.A large valley is gathered together by a number of small valleys,a small valley is formed by some of the smaller catchment units.Rainfall in the valley through the rain runoff mechanism collects to a basin export,and forms a watershed runoff.If each unit is regarded as a single linear reservoir,according to their geographic data,and without the history of observed data,the complex parameters of this model basin can be obtained.In the end of the text,we demonstrate the accuracy and feasibility of the generalized linear reservoir model of RC network simulation by an example.

linear reservoir;saturated flow depth;RC network;simulation;electron;water molecule

TV121;N945.12

A

1001-5485(2009)05-0018-04

2008-07-21;

2008-11-19

胡興藝(1973-),男,湖南汨羅人,高級(jí)工程師,碩士,主要從事水情工作,(電話)0731-5486222,13574858764(電子信箱) googolmyrice@126.com。