數(shù)學(xué)思想方法，是數(shù)學(xué)的本質(zhì)與靈魂。借助于具體教學(xué)內(nèi)容，有目的、有計(jì)劃、系統(tǒng)地引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的角度與高度去思考問題，不僅可以有效地幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識與技能，而且可以引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng)?，F(xiàn)就《圓錐曲線與方程》這一部分內(nèi)容中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，作些分析與探討，供同行參考，懇請專家指正。

一、運(yùn)動、變化思想

在這部分內(nèi)容中，有很多素材，充分體現(xiàn)了運(yùn)動、變化的思想。如:(1)“到原點(diǎn)的距離等于定長a(a>0)的點(diǎn)的軌跡，是以原點(diǎn)為圓心，a為半徑的圓”;從圓的形成過程看，運(yùn)動、變化極為自然;同時，從x2+y2=a2這個方程看，在-a≤x≤a的范圍內(nèi)，x變化，y也相應(yīng)地變化;同樣，在-a≤y≤a的范圍內(nèi)，y變化，x也相應(yīng)地變化。從數(shù)量關(guān)系看，數(shù)值大小在變化;從圖形的特征看，點(diǎn)的位置在變化;(2)橢圓、拋物線、雙曲線的概念的建立，均是通過運(yùn)動、變化來引入的。當(dāng)同學(xué)們從雙曲線與橢圓的定義中的一字之差發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程中符號之差異時，更清楚地認(rèn)識了運(yùn)動、變化的內(nèi)涵。

二、集合、對應(yīng)思想

集合、對應(yīng)，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)、近代數(shù)學(xué)中極為重要的數(shù)學(xué)思想方法，是一種極為重要的思維策略與語言系統(tǒng)。依托集合、對應(yīng)思想，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的很多概念、理論、方法，得到了前所未有的深刻的表達(dá)與刻畫，并體現(xiàn)了前所未有的透徹與嚴(yán)密。在圓錐曲線這部分內(nèi)容中，體現(xiàn)集合、對應(yīng)思想的內(nèi)容極為豐富。比如:(1)曲線是點(diǎn)的集合，它們體現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系屬于方程的集合;而體現(xiàn)圖形與方程之間聯(lián)系的，就是集合、對應(yīng)思想與數(shù)形結(jié)合的思想。(2)設(shè)a為某一個具體確定的正數(shù)，則方程x2+y2=a2對應(yīng)著唯一的一個圓;反之，給定一個圓，則它唯一地對應(yīng)著一個點(diǎn)——圓心、一個長度——半徑。(3)同理，給定唯一一對正實(shí)數(shù)a、b(a≠b)，則它對應(yīng)唯一的橢圓■+■=1或■+■=1。(4)拋物線、雙曲線……，同樣體現(xiàn)了這方面的特性。

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)與形，是客觀世界事物的兩個重要方面;數(shù)與形，也是數(shù)學(xué)研究的兩個極為重要的方面;數(shù)量關(guān)系與空間形式的巧妙結(jié)合，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)得以騰飛的基礎(chǔ)與支撐;從數(shù)量關(guān)系入手去研究問題的幾何特征，或借助于幾何圖形的直觀去研究問題的內(nèi)在的數(shù)量變化規(guī)律，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中的一種極為重要的思維策略。在《圓錐曲線與方程》的相關(guān)內(nèi)容中，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的素材，同樣是極為豐富的;體現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合深度，又是那樣的深刻與透徹!比如:(1)從數(shù)量關(guān)系看，y2=2px(p>0)，是關(guān)于x、y的一個二元方程，而當(dāng)p確定后，在平面直角坐標(biāo)系中，它卻表示一條拋物線。(2)拋物線y2=2px(p>0)的對稱性，源于對正實(shí)數(shù)的平方根成對出現(xiàn)的認(rèn)識。(3)當(dāng)a>0，b>0時■-■=1，方程■-■=1，盡管形式是完全相同的，但是，其圖形特性是不同的;這完全取決于實(shí)數(shù)的偶次冪非負(fù)的根本特性;即形的特性的研究，依據(jù)實(shí)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)的研究;而對應(yīng)實(shí)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)的認(rèn)識，完全可以借助于幾何圖形的直觀性質(zhì)去檢驗(yàn)!

四、分類討論思想

分類討論，不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的專權(quán)、專利，其實(shí)，也是我們?nèi)粘Ｉ畹幕拘枰?。分類討論，使得人們對于頭緒紛繁、或者較為復(fù)雜的問題，研究起來較方便，使之條理清楚、邏輯分明，使得我們觀察有序、運(yùn)算順暢、表達(dá)方便;因此，分類討論也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中的一種重要方法與手段。例如:(1)根據(jù)拋物線開口方向的不同，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可分為y2=2px，y2=-2px，x2=2py，x2=-2py(p>0)等四種基本情形。(2)根據(jù)橢圓的長、短軸位置的不同，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可分為■+■=1(a>b>0)、■+■(a>b>0)。(3)根據(jù)雙曲線的實(shí)軸、虛軸的不同，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可分為■-■=1與方程■-■=1(a>0，b>0)。(4)對于一般系數(shù)的方程(x、y為變量)Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，當(dāng)A、B、C、D、E、F滿足一定條件時，它可以表示一個圓、橢圓或者雙曲線;而當(dāng)A、B、C、D、E、F滿足另一組條件時，它還可能表示一條直線或一個點(diǎn)，甚至不能表示任何幾何圖形!(5)當(dāng)我們對于圓錐曲線的基本特征有了較清楚的認(rèn)識后，還可以根據(jù)離心率的大小將它們進(jìn)行分類討論。(6)在研究圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)后，我們可以分別根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程、對稱性、焦點(diǎn)位置、準(zhǔn)線方程、離心率等要素去分別討論曲線的類別，或據(jù)其中的一兩個要素去推測它們的其他特性……

分類討論，無處不在;分類討論，極有必要!

五、方程、函數(shù)思想

方程與函數(shù)，是研究常量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)的兩把利劍;由于方程思想、函數(shù)思想的綜合運(yùn)用，使得很多常量數(shù)學(xué)的問題得以順利解決，使得許多變量數(shù)學(xué)的問題得到轉(zhuǎn)化;而且函數(shù)思想所揭示的量與量之間的關(guān)系，呈現(xiàn)出前所未有的透徹與深刻。比如:(1)對于圓x2+y2=a2(a>0)的幾何特性的研究，可以分別在四個象限內(nèi)進(jìn)行:在第一象限內(nèi):y=■，x=■;在第二象限內(nèi)，y=■，x=-■;在第三象限內(nèi)，y=-■，x=-■;在第四象限內(nèi)，y=-■，x=■等等;方程的思想、函數(shù)的思想均用上了;理解x，y之間的依存關(guān)系，離不開函數(shù)思想;原來，在這個研究過程中，方程思想、函數(shù)思想渾然一體，誰也不可或缺!(2)根據(jù)拋物線的開口方向，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能有四種不同的情況，但它們的基本特性是完全相同的;因此正常教與學(xué)的過程中，只要運(yùn)用研究函數(shù)的一般方法，重點(diǎn)研究y2=2px(p>0)的性質(zhì)，即可推廣到其他情形;這正是方程思想、函數(shù)思想的概括性、抽象性的體現(xiàn)。因此，我們不難想到函數(shù)思想與方程思想去表達(dá)其數(shù)學(xué)特征，是何等的深刻與透徹。

教學(xué)實(shí)踐表明，只要我們深入挖掘教材，認(rèn)真分析學(xué)生學(xué)習(xí)的狀況，結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，有目的、有計(jì)劃、系統(tǒng)地、有機(jī)地向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)的思想與方法，經(jīng)常有意識地引導(dǎo)學(xué)生做些總結(jié)，再做些點(diǎn)撥和適當(dāng)?shù)膹?qiáng)化，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)全面育人的目的，就有望順利達(dá)到。

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作者單位:江蘇省鹽城市大岡中學(xué)