王建忠

(江蘇省啟東中學 江蘇 啟東 226200)

貴刊2010年第3期刊登了《關(guān)于帶電粒子在復合場中運動的題目誤解分析》一文(下稱“誤解分析”)，對帶電粒子在復合場中運動的一類問題存在的錯誤理解和認識作了剖析，并正確分析了運動過程，對一個典型題目得出“由于題給條件不足，不能求出小球在最低點的速度和下落高度”的結(jié)論，筆者深受啟發(fā)．本文給出求小球在最低點的速度和下落高度的三種解法，并對該題目作進一步拓展，作為對“誤解分析”的補充，供同行參考．

題目： 一電荷量為q的小球固定在與水平面平行的范圍足夠大的勻強磁場中．若勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B，小球的質(zhì)量為m，自由釋放小球．試分析小球的運動情況．并求出帶電小球下落的高度及最低點的速度．假設(shè)小球帶的是正電荷，不計空氣阻力(筆者對題目文字略作修改)．

分析:小球從靜止開始運動，初始時刻只受重力作用，在重力作用下向下加速運動，一旦有了速度，便同時還會受到磁場對它的洛倫茲力作用，由于洛倫茲力的方向與重力的方向不在一直線上，因此小球受的合外力與速度不共線，小球做曲線運動．由于過程中小球速度的大小和方向時刻在變化，所以小球所受的洛倫茲力的大小和方向也時刻在變化，小球作的是變加速曲線運動．

圖1

得

圖2

由運動的獨立性原理，小球的運動可看成水平方向上速度v1的勻速直線運動和豎直平面內(nèi)逆時針方向的勻速圓周運動的合運動，軌跡是一滾輪線，如圖2．滾輪線上的最低點A點也就是小球運動過程中所能到達的最低位置．所以小球下落的高度為

過程中只有重力做功，由動能定理

得

解法二：用動量定理和動能定理求解.小球在最低點時的速度必定在水平方向，而重力在豎直方向，對水平方向上的動量變化無貢獻，小球在水平方向上的動量變化是洛倫茲力的沖量作用的結(jié)果.以水平向右為x軸的正方向，豎直向下為y軸的正方向.考查小球從釋放到最低點過程中的時間間隔Δt,在x方向的分運動，由動量定理得

fxΔt=Δ(mvx)

而

fx=qBvy

得

qBvyΔt=mΔvx

上式兩邊求和得

qB∑vyΔt=qB∑Δy=m∑Δvx

即

qBh=mv

再由動能定理

聯(lián)立可得

解法三：利用一元二次方程的判別式求解.設(shè)小球在最低點A點的速度為v，A點軌跡的曲率半徑為ρ，小球在A點受到豎直向下的重力mg和豎直向上的洛倫茲力f=qBv，由牛頓第二定律

上式可化為一個關(guān)于v的一元二次方程

mv2-qBρv+mgρ=0

題設(shè)條件下的v值應(yīng)該是唯一的，有

Δ=(qBρ)2-4m2gρ=0

可得

再由動能定理

得

小結(jié):解法一、解法二側(cè)重物理思維，要求有較高的物理建模能力，數(shù)學運算相對簡單．尤其是解法一，利用速度合成的思想“無中生有”地構(gòu)造一對大小相等的速度，勻速直線運動和勻速圓周運動兩個分運動的合運動的軌跡就是帶電小球的運動軌跡，變復雜的曲線運動為兩個我們非常熟悉的簡單分運動來研究，這也是我們研究曲線運動的常用手段．解法二的物理思路比較常規(guī)，所用的物理規(guī)律是常用的牛頓第二定律和動能定理.利用一元二次方程的判別式巧妙地求出了軌跡最低點的曲率半徑，使問題迎刃而解．這種解法對“應(yīng)用數(shù)學處理物理問題的能力”要求較高，而“應(yīng)用數(shù)學處理物理問題的能力”是我們在教學中要注重培養(yǎng)的能力之一，“增進各學科間之間的知識和方法上的聯(lián)系”是課程標準所強調(diào)的．

原題可進一步拓展—求小球在最低點的加速度．

解法一:運動學方法．從合運動的角度看，小球在最低點只有法向加速度，沒有切向加速度．將上面求得的結(jié)果代入法向加速度的表達式，可得小球在A點的加速度大小為

方向豎直向上．

從分運動的角度看，利用原題解法一中的結(jié)論，小球的加速度即為以速度v2作勻速圓周運動的向心加速度

小球在最低點的加速度大小為g，方向豎直向上．

解法二:動力學方法．從合運動的角度看，小球在最低點受到豎直向下的重力mg和豎直向上的洛倫茲力f=qBv，由牛頓第二定律

方向豎直向上．

從分運動的角度看，利用原題解法一中的結(jié)論，因速度v1而使小球受到的洛倫茲力與重力平衡，因此小球的加速度即為v2對應(yīng)的洛倫茲力產(chǎn)生的加速度，小球在最低點的加速度為

方向豎直向上．

以上對原題及拓展部分的求解過程，體現(xiàn)了“誤解分析”強調(diào)的“關(guān)注運動形式，使帶電粒子運動狀態(tài)和受力情況有機結(jié)合”的思想．