荀 坤,王若鵬,陳曉林

(北京大學(xué) 物理學(xué)院,北京 100871)

1 引 言

第40屆國際物理奧林匹克競賽于2009年7月12日至7月19日在墨西哥的梅里達(dá)市(Merida)舉行.代表中國參賽的5名中學(xué)生全部都獲得了金牌,其中,史寒朵同學(xué)還成為了國際物理奧林匹克競賽史上第一個獲得總分第一的女生,此外,她還獲得了本屆比賽的實驗第一名獎和女生第一名獎.

本屆競賽的實驗部分由2道光學(xué)題組成,分別是利用刀片銳邊的衍射測量激光波長和測量云母片的雙折射量.2個實驗使用了相同的激光光源和光學(xué)平臺,學(xué)生可以自己選擇做題的順序.賽會統(tǒng)一提供計算器、透明膠帶、粘貼紙、剪刀、三角尺、筆、紙和繪圖紙等.試題有20多頁,本文不得不對其中的知識介紹部分作較多刪節(jié),但會盡量完整地保留考試內(nèi)容.由于篇幅限制,試題解答盡量采用賽會提供的標(biāo)準(zhǔn)答案.最后,簡單分析中國考生的答題情況.

2 試題概要

2.1 實驗裝置

除木制光學(xué)平臺外,2個實驗試題還要共用1臺二極管激光器(包括激光器支架和電源)及1面可調(diào)節(jié)反射鏡,它們的安裝方式見圖1.實驗中用到的其他實驗器材見圖2.

實驗A需用到的器材有:

1)固定在方柱上的短焦會聚透鏡(C);

2)安放在硬紙框內(nèi)的刀片(D1),滑動導(dǎo)軌(D2),帶滑槽的有機(jī)玻璃支架(D1,已裝在D2上);

3)帶有游標(biāo)尺(1/20 mm)的觀察屏(E);4)放大鏡(F);

5)30 cm的直尺(G);

6)游標(biāo)卡尺(H);

7)鋼卷尺(I).

實驗B用到的器材有:

1)2片裝在幻燈片框內(nèi)的偏振片,每個偏振片還配有1個有機(jī)玻璃座(J);

2)裝在塑料圓筒內(nèi)的云母薄片(K);

3)光探測裝置,包括裝在塑料盒中的光探測器、連接用導(dǎo)線、用于固定光探測器的泡沫套及1臺用于測量光探測器輸出電壓的萬用表(L).

2.2 實驗內(nèi)容

2.2.1 實驗A內(nèi)容

按圖1的指示,讓激光束(A)經(jīng)反射鏡(B)反射后,再通過焦距為幾cm的透鏡(C).可將該透鏡的后焦點看成點光源,從該點光源發(fā)出直接到達(dá)的球面波與經(jīng)刀片銳邊散射后再到達(dá)的柱面波會相互干涉,在屏上形成如圖3所示的衍射圖像.

圖3 觀察屏上看到的典型衍射圖

按透鏡后焦點與刀片的位置關(guān)系,可以有2種光路配置,分別見圖4和圖5.

圖4 配置Ⅰ,刀片在透鏡的焦點之前

圖5 配置Ⅱ,刀片在透鏡的焦點之后

1)任務(wù)A 1 光路設(shè)計(1.0分)

設(shè)計一套光路,以獲得圖3所示的干涉圖像.要保證從焦點到屏的距離L0遠(yuǎn)大于焦距.

a.在所給的光學(xué)平臺圖上繪出實驗裝置的草圖,即在光學(xué)平臺圖上標(biāo)出不同設(shè)備的“標(biāo)記符”,還可以在此基礎(chǔ)上加畫一些簡單內(nèi)容以使設(shè)計更清楚.

b.可以用1張白卡片來跟蹤光束的路線,以幫助調(diào)節(jié)激光束的方向.

c.在實驗裝置草圖上示意繪出激光束的傳播路線,給出測得的激光束相對光學(xué)平臺的高度 h.

請熟悉上述實驗裝置.在屏上應(yīng)該能看到10來條豎直的線狀條紋,請讀出暗紋的位置(可以用放大鏡更清楚地看到條紋的位置).觀察條紋最好的位置是在被照射的屏(E)的背面.所以,屏上的標(biāo)尺應(yīng)該面向光學(xué)平臺外側(cè).如果光路正確,只需簡單滑動導(dǎo)軌(D2)使刀片(D1)前后移動,即可分別觀察到配置Ⅰ和配置Ⅱ?qū)?yīng)的2種衍射條紋花樣.

由前述圖4和圖5知,有5個基本長度.

L0為從焦點到屏的距離;Lb為從刀片到屏的距離(配置Ⅰ);La為從刀片到屏的距離(配置Ⅱ);LR(n)為 n級暗紋的位置,配置Ⅰ;LL(n)為 n級暗紋的位置,配置 Ⅱ.

無論是配置 I還是配置Ⅱ,第一個暗紋都是最寬的,對應(yīng) n=0.

實驗裝置必須滿足:對配置Ⅰ,LR(n)?L0,Lb;對配置Ⅱ,LL(n)?L0,La.光波的干涉現(xiàn)象是由于同一點發(fā)出的光波的光程差造成的.根據(jù)相位差的不同,波可以相消(相消干涉)形成暗紋;波也可以相長(相長干涉)形成亮紋.

詳細(xì)分析這些波的干涉,可給出如下產(chǎn)生暗紋的條件.對配置Ⅰ:

對配置 Ⅱ:

這里λ是激光束的波長,對配置Ⅰ和配置Ⅱ,光程差ΔⅠ和ΔⅡ分別為

2)任務(wù)A 2 光程差的表達(dá)式(0.5分)

假設(shè)式(3)和式(4)分別滿足:LR(n)?L0,Lb和LL(n)?L0,La(需要確認(rèn)裝置是否確實滿足這些條件),求出ΔⅠ(n)和ΔⅡ(n)的近似表達(dá)式,用 L0,L b,L a,LR(n)和 LL(n)表示.當(dāng) x?1

時,可以用(1+x)r≈1+rx這一近似公式.

使用上述公式的實驗困難是 L0,LR(n)和LL(n)不能精確測量.L0測不準(zhǔn)的原因是不容易找到透鏡焦點的位置;后2個量測不準(zhǔn)的原因是它們的零點位置難以確定.

為解決LR(n)和 LL(n)的測量困難,可以選擇觀察屏(標(biāo)記符為 E)標(biāo)尺的零點(0)作為測量所有條紋位置的參考零點.令 l0R和 l0L分別為定義LR(n)和LL(n)時所用的零點位置,此時,它們實際上是未知的.再令lR(n)和lL(n)為條紋到所選取的原點的距離.因此,應(yīng)有:

3)任務(wù)A 3 測量暗條紋的位置和刀片的位置(3.25分)

a.對配置Ⅰ和配置Ⅱ,分別測量不同條紋編號 n下暗條紋的位置lR(n)和lL(n).將測量結(jié)果記入表1中.對每種配置,測量的條紋位置數(shù)要盡可能達(dá)到或超過8.

b.報告測得的刀片位置Lb和La,并注明所用測量儀器.

c.為分析簡單和結(jié)果精確起見,不要由Lb和La計算得到 d=Lb-La,而是要直接測量,并要標(biāo)明所用的測量儀器.

4)任務(wù)A 4 數(shù)據(jù)分析處理(3.25分)

完成前面測量后應(yīng)該就已經(jīng)可以得出 l0R和l0L,當(dāng)然也包括波長λ的值.

a.設(shè)計一個方案來得到這些值,并寫出所需的表達(dá)式或方程.

b.結(jié)果要包括誤差分析.可以用表1,也可以用自己的表來給出結(jié)果,但要確保表中各欄名稱能清楚反映其內(nèi)容.

c.用所給圖紙選適當(dāng)變量畫圖得到所需量.

d.分別寫出帶不確定度的l0R和 l0L的值.

5)任務(wù)A 5 計算λ(2分)

綜上所述，打孔注藥防治黃斑星天牛不但防治效果好，不污染環(huán)境，不殺傷天敵，且用藥量少，成本低，在通常情況下建議使用氧化樂果，既節(jié)約又有效，可大面積推廣使用，對受害嚴(yán)重的也可以進(jìn)行3次注藥防治。

寫出λ值的計算結(jié)果,包括不確定度和得到它的過程.在計算λ時,凡出現(xiàn) Lb-La之處,均可以用 d代替,并使用 d的測量值來作計算.

2.2.2 實驗B內(nèi)容

如云母一類的雙折射晶體,其折射率與電場的方向也即光的偏振方向有關(guān).對于傳播方向與云母片表面垂直的光,云母薄片有2個相互垂直的特殊軸向,稱之為軸1和軸2,見圖6.

圖6 云母薄片的2個特殊軸向

當(dāng)入射光偏振方向與軸1或軸2平行時,云母分別相當(dāng)于折射率為 n1或 n2的介質(zhì),經(jīng)過云母片前后,光的偏振方向均不會發(fā)生改變.當(dāng)入射光偏振方向與軸1夾角為θ時,可以將入射光視為沿軸1和軸2兩個方向偏振的光的疊加.經(jīng)過云母后的透射光可看作是2個分別沿軸1和軸2方向偏振但兩者相位不同的偏振光的疊加.一般說來,透射光的偏振狀態(tài)和入射光的偏振狀態(tài)不再一樣,還存在垂直于入射光偏振方向的偏振成分,見圖7.

圖7 軸1與入射光偏振方向有夾角θ

將偏振方向與入射光偏振方向平行和垂直的光強(qiáng)分別記作 IP和 IO.這2個光強(qiáng)的大小與夾角θ、波長λ、云母片厚度L及折射率差|n1-n2|有關(guān).折射率差|n1-n2|被稱為介質(zhì)的雙折射量,是本實驗要測量的內(nèi)容.

需指出的是,光探測器測量的是照射到探測器上的光強(qiáng),與光的偏振態(tài)無關(guān).由于還與其他因素(如云母對光波的吸收)有關(guān),IP(θ)和IO(θ)與夾角θ的關(guān)系復(fù)雜,可定義歸一化光強(qiáng):

這里相位差Δφ由下式給出,

1)任務(wù)B1 設(shè)計一個測量 IP和 IO與夾角θ關(guān)系的裝置.θ可以是與軸1和軸2中任意一個的夾角.用(+)標(biāo)記起偏器的透振方向,分別用(+)和(-)來標(biāo)記檢偏器透振方向與起偏器平行和垂直.測量 IP和 IO的裝置分別占0.5分.

調(diào)整激光束,使其與光學(xué)平臺平行,并通過裝有云母片的圓筒的中心.可以用白色厚紙片來確定激光束的徑跡,還可以通過調(diào)節(jié)反射鏡來改變光束的走向.

當(dāng)有光照射到光探測器上時,會有電壓輸出,此電壓與光強(qiáng)成正比,可以用萬用表測量.雖然在沒有激光入射到光探測器上的情況下,會有輸出電壓小于1 m V的背景光強(qiáng),但在進(jìn)行光強(qiáng)測量時不要作背景光強(qiáng)修正.

2)任務(wù)B2 角度刻度的標(biāo)定

裝載云母片的圓筒外壁標(biāo)有等角度的分刻線.寫出2條相鄰刻線之間的角度間隔(用度表示).(0.25分)

找到夾角θ等于0時的刻度位置對數(shù)據(jù)分析是十分重要的.最好先確定云母的一個光軸(軸1)與入射光偏振方向平行時的刻度位置(這一般不與任何刻線重合).選擇最接近此位置的刻線作為夾角測量的臨時原點,將相對于臨時原點測得的角度記為ˉθ,稍后,再用ˉθ零點值來修正.

3)任務(wù)B3 測量 IP和 IO對于你認(rèn)為必要的若干ˉθ取值,測量光強(qiáng)IP和IO.將測量結(jié)果填入表2中.應(yīng)在同一云母片位置(即相同的取值)分別測量光強(qiáng) IP和 IO.(3.0分)

θ角的零點由軸1的位置定義.可采用作圖的方法或數(shù)值計算的方法來確定.在極大值或極小值附近,光強(qiáng)曲線可用拋物線來近似:

拋物線的極大值或極小值點由下式給出:

5)任務(wù)B5 選擇適當(dāng)?shù)淖兞?/p>

6)任務(wù)B6 數(shù)據(jù)分析與相位差

將數(shù)據(jù)分析所用變量的值填入表3中,要采用修正后的角度θ值并包含不確定量.在坐標(biāo)紙上畫出數(shù)據(jù)點.(1.0分)

a.以獲得相位差Δφ為目的,對上面的數(shù)據(jù)作統(tǒng)計分析,給出結(jié)果及結(jié)果的不確定度,并寫出分析中所用到的方程或公式.將此處統(tǒng)計分析得到的結(jié)果,以直線的形式畫在(已標(biāo)有數(shù)據(jù)點的)坐標(biāo)紙上.(1.75分)

b.計算相位差Δφ及其不確定度的值,結(jié)果用弧度表示.在區(qū)間[0,π]確定相位差的值.(0.5分)

7)任務(wù)B7 計算雙折射量|n1-n2|

注意到在相位差Δφ上增加2π的整數(shù)倍或改變Δφ的符號,都不會改變光強(qiáng)的大小,但雙折射量|n1-n2|卻會改變.所以在采用任務(wù)B6中得到的Δφ來計算雙折射量|n1-n2|時須作如下處理:

或

這里L(fēng)是云母片的厚度,其值可在裝云母片的小圓筒上找到,單位為μm.L的不確定度可以取為1×10-6m.這里的波長可采用試題A中測得的值,也可用紅光區(qū)間620×10-9～750×10-9m的平均值.寫出L,λ和|n1-n2|的值及不確定度,并寫出用于不確定度計算的公式.(1.0分)

3 試題解答

3.1 試題A解答

1)按圖8配置光路.調(diào)節(jié)反射鏡傾角和透鏡高度,保證激光光束始終與光學(xué)平臺平行.短焦透鏡C與觀察屏間距離盡可能遠(yuǎn),并能通過滑動導(dǎo)軌分別得到配置I和配置Ⅱ?qū)?yīng)的2種衍射條紋花樣.測量激光束距光學(xué)平臺的高度,其值為h±Δh=(5.0±0.05)×10-2m.

圖8 實驗A的光路示意圖

2)對配置Ⅰ,有:

類似地,對配置Ⅱ,有:

3)適當(dāng)調(diào)節(jié)刀片位置,以使能在配置Ⅰ和配置Ⅱ情況下在屏上分別觀察到相應(yīng)的衍射圖.測量暗紋的位置并記錄于表1中.表中 xR=

表1 衍射圖樣暗條紋的位置

測量得到刀片位置:

Lb±ΔLb=(653±1)×10-3m(用卷尺測);

La±ΔLa=(628±1)×10-3m(用卷尺測);

d=Lb-La=(24.6±0.1)×10-3m(用游標(biāo)卡尺測).

4)用表1數(shù)據(jù)分別畫出 lR-xR和 lL-xL關(guān)系圖,并作線性擬合,如圖9所示.

圖9 l R-x R和l L-x L關(guān)系圖及線性擬合

賽會提供的計算器并不具有線性擬合功能,試題還要求選手寫出線性擬合以及各擬合量的誤差分析公式,因篇幅所限,這里不再列出,讀者可以從任何一本大學(xué)實驗教材上查到.線性擬合得到的結(jié)果為:mR=(-6.35±0.07)mm,l0R=(-2.1±0.2)mm;mL=(6.8±0.2)mm,l0L=(-5.3±0.4)mm.

5)對比式(1)和式(15)及式(2)和式(16)有:

和

注意到L0實際上是未知的,將其消去,可以得到:

將各測量值代入式(19)得:

λ的不確定度為

注意到,根號內(nèi)前3項遠(yuǎn)小于后2項,m2R≈m2L,且ΔmL≈3ΔmR,近似有 :

3.2 試題B解答

1)圖10(a)和(b)分別為測量 IP和 IO的光路示意圖,(a)與(b)的唯一差別是檢偏器的透振方向分別與起偏器的透振方向平行和垂直.

2)安放云母片的圓筒外壁上共有100條分刻線,故2條相鄰刻線間的角度間隔為θint=3.6°.安放云母片的圓筒被嵌入密合的外套座內(nèi),轉(zhuǎn)動圓筒就可以改變云母片光軸的取向.外套座上有一刻線,用于指示圓筒的相對角位置.

按圖10(b)安置光路,轉(zhuǎn)動安有云母片的圓筒(K)使探測器(L)檢測到的光強(qiáng)最弱.此時,云母片的一個光軸即與起偏器的透振方向一致.將此時最靠近外套座上刻線的圓筒上的刻度線作為臨時角度零點,將圓筒相對此零點轉(zhuǎn)過的角度記為ˉθ.

圖10 測量 I P和 I O的光路示意圖

3)由式(8)和(9)知,只需在90°范圍測量 IP和IO.因此,ˉθ的取值范圍-3.6°～93.6°,可以每3.6°取一點.在同一ˉθ位置,改變檢偏器的取向分別測量光強(qiáng) IP和 IO,得到的結(jié)果記入表2中.

表2 I P和 I O測量結(jié)果

4)ˉθ零點的位置可以由表2中前3個數(shù)據(jù)點作數(shù)值求解的方法得到(用作圖的方法也可以).光強(qiáng)曲線可用拋物線I)≈a++c來近似.將前3個數(shù)據(jù)點的值(x1,y1)=(-3.6,1.1),(x2,y2)=(0,0.2),(x3,y3)=(3.6,0.6)代入,可解得:a=0.05,b=-0.069.于是得到

6)注意到θ從0到45°時,x=sin2(2θ)即可從0到1,可以只選表2中的12組數(shù)據(jù)來作分析,結(jié)果見表3.

表3 y= ˉI O 與 x=sin2(2θ)的關(guān)系

圖11 y= ˉI O 與 x=sin2(2θ)的關(guān)系

7)從安放云母片的圓筒的標(biāo)簽上讀得云母片的厚度為:L±ΔL=(100±1)×10-6m,由實驗A測得的激光波長λ±Δλ=(646±39)×10-9m.據(jù)此,求得云母片的雙折射量為:

估計|n1_-n2|的誤差時用到了公式:

和

顯然,λ對|n1-n2|誤差的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)大于其他量,因此,在估計誤差時可以僅僅考慮此項.

4 分 析

總起來說,本次實驗考試內(nèi)容比較平常,沒有超出學(xué)生的知識范圍,也不需要獨特的構(gòu)思,但對學(xué)生實驗素質(zhì)的要求也還是較高和全面,考察了光路設(shè)計、光路調(diào)節(jié)、公式推導(dǎo)、測量讀數(shù)和數(shù)據(jù)處理幾方面的能力.和歷次實驗競賽一樣,所有同學(xué)都反映時間非常緊張.只有具有清晰的物理圖像、良好的實驗操作素養(yǎng)和扎實的實驗數(shù)據(jù)處理基本功的同學(xué)才可能取得令人滿意的成績.由于針對近年來國際物理奧林匹克競賽的特點,加強(qiáng)了基礎(chǔ),特別是誤差分析方面的訓(xùn)練,中國隊取得了很好的成績.實驗A有2人得了滿分,史寒朵同學(xué)更是以19.9分(滿分為20分)的高分名列實驗第一.

但是,同學(xué)們的答卷也暴露了一些問題.在實驗A中,有一位平時實驗非常好的同學(xué),在處理數(shù)據(jù)時被卡住了,丟了5.5分,還有一位同學(xué)沒有考慮到L0實際上是測不到的(因為不知道透鏡的焦距),也丟了一些分.在實驗B中,由于時間緊,有一位同學(xué)沒有做完,其他同學(xué)也只是勉強(qiáng)完成.當(dāng)然,按這類競賽的性質(zhì),本來就不應(yīng)該有人能完滿完成全部考試內(nèi)容.

[1] 呂斯驊,段家忯.新編基礎(chǔ)物理實驗[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2] 馬秀芳,沈元華.第八屆亞洲物理奧林匹克競賽中實驗考題的分析[J].物理實驗,2007,27(12):29-33.