張常亮,李同錄,李 萍

(長(zhǎng)安大學(xué)地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院,陜西西安710054)

0 引言

隨著極限平衡法的發(fā)展,眾多學(xué)者[1-23]逐漸發(fā)現(xiàn),針對(duì)邊坡的穩(wěn)定性分析應(yīng)該從三維而不僅僅是二維的角度來(lái)進(jìn)行,因?yàn)樗粌H能帶來(lái)分析精度的提高,也可以使支擋設(shè)計(jì)上更經(jīng)濟(jì)安全,而且當(dāng)前計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展也使三維穩(wěn)定分析中繁瑣的計(jì)算得以實(shí)現(xiàn)。

截止目前,三維極限平衡法的研究已取得一些成果,如 Hovland[1]在 Fellenious法的基礎(chǔ)上提出了三維條柱法;Hungr等[2-3]先后將Janbu法和Bishop法擴(kuò)展到三維;Zhang[4]提出了三維 Spencer法;陳祖煜等[5]提出了三維 Morgenstan-Spencer法;李同錄等[6]提出了三維簡(jiǎn)化 Sarma法?？梢钥闯?與二維極限平衡法相比,三維領(lǐng)域極限平衡理論的發(fā)展還遠(yuǎn)未成熟,盡管許多學(xué)者提出了一系列三維邊坡極限平衡方法,但迄今為止,還沒(méi)有開(kāi)發(fā)出一個(gè)在工程界可廣泛應(yīng)用的三維邊坡穩(wěn)定分析程序。因此,在三維極限平衡法研究方面做進(jìn)一步的探討具有很重要的實(shí)際意義。

基于邊坡整體力平衡、力矩平衡以及邊坡微條柱力平衡,筆者提出了一個(gè)綜合各種三維極限平衡法的通用形式,該通用形式包含3個(gè)表達(dá)式,通過(guò)這3個(gè)表達(dá)式利用原方法的假定條件就可以得到原方法的表達(dá)形式,并將他們解析化,不僅大大降低了傳統(tǒng)三維極限平衡法的計(jì)算工作量,還使計(jì)算精度大為提高。

1 通用形式建立

如圖1,取主滑方向?yàn)閤坐標(biāo),垂直滑動(dòng)方向的邊坡走向方向?yàn)閥坐標(biāo),豎直向上為z坐標(biāo),x、y、z符合右手法則?，F(xiàn)取 x方向長(zhǎng)度為dx,y方向長(zhǎng)度為dy的微條柱進(jìn)行分析(圖2)。微條柱共有6個(gè)面,除頂面外,每個(gè)面受3個(gè)力的作用,即2個(gè)剪切力和1個(gè)垂直力。N代表垂直力,用下標(biāo)表示作用面,如Ny代表法線為y的面上的垂直力;T代表剪切力,T的第1個(gè)下標(biāo)表示作用面,第2個(gè)下標(biāo)代表力的方向,如 Tyx代表法線為y的面在x方向上受的剪切力。dN和dT分別代表法向力和剪切力的微分增量。dTz代表微條柱底滑面的剪切力, dNz代表微條柱底滑面的法向力,dW代表微條柱的體積力。ax表示底滑面相交于xOz平面的線和水平面之間的夾角;ay表示底滑面相交于yOz平面的線和水平面之間的夾角。

圖1 邊坡三維穩(wěn)定性分析模型Fig.1 Three-dimensional Analysis Model of Slope

1.1 基本假設(shè)

該通用形式基于以下假定條件:

(1)穩(wěn)定系數(shù)定義為材料的強(qiáng)度折減系數(shù)。

(2)土體為剛體,底滑面服從 Mohr-Coulomb強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則

式中:fφ=tanφ/F,fc=c/F;φ為底滑面處的內(nèi)摩擦角;c為底滑面處的內(nèi)聚力;F為穩(wěn)定系數(shù);u為孔隙水壓力;dAz為微條柱底滑面的面積。

圖2 微條柱受力Fig.2 Forces on Differential Column

1.2 通用形式的建立

三維極限平衡法的通用形式包含3個(gè)表達(dá)式,他們分別通過(guò)滿足邊坡的整體力平衡、整體力矩平衡以及微條柱的力平衡來(lái)獲得。

當(dāng)從邊坡整體力或力矩平衡來(lái)分析其穩(wěn)定性時(shí),所有內(nèi)力的作用均在內(nèi)力的相互作用中抵消了,也就是說(shuō),這個(gè)時(shí)候微條柱4個(gè)側(cè)邊的所有內(nèi)力均不需要考慮,這樣,就剩下微條柱的體積力dW、底滑面上的法向力dNz和剪切力dTz這3個(gè)力。通過(guò)這3個(gè)力沿空間任一條直線的力平衡和繞空間任一直線的力矩平衡,就可以得到通用形式中的前2個(gè)表達(dá)式,具體過(guò)程如下:

設(shè)dNz的方向余弦為(nx,ny,nz),dTz的方向余弦為(lx,ly,lz);任取一方向余弦為(mx,my,mz)的空間直線,將以上3個(gè)力投影到該直線,建立這些投影的力平衡則可得

將式(1)代入式(2),整理可得

式中:G1=lxmx+lymy+lzmz

G2=nxmx+nymy+nzmz

式(3)即為通用形式中第一個(gè)表達(dá)式。

再任取一方向余弦為(Rx,Ry,Rz),方向正弦為(Sx,Sy,Sz),且過(guò)點(diǎn)(xm,ym,zm)的直線,將該直線作為旋轉(zhuǎn)軸,將上述3個(gè)力先沿 x、y、z軸分別投影,再將這些投影值投影在該直線的垂直面上,最終的投影值的合力與該直線的距離(力臂)分別為dx、dy、dz(圖3),根據(jù)幾何關(guān)系可知

則

圖3 力矩力臂幾何關(guān)系Fig.3 G eometrical Relationship Between Arm and Moment

這樣,通過(guò)建立這些投影值繞該直線的力矩平衡可得

將式(1)代入式(4),整理可得

式中:G3=lxSxdx+lySydy-lzSzdz

G4=nxSxdx+nySydy-nzSzdz

式(5)即為通用形式中第二個(gè)表達(dá)式。

式(3)和式(5)中只包含 F和dNz這2個(gè)未知量,只要確定dNz的表達(dá)式,就可以確定 F。由于dNz都是通過(guò)微條柱上所有力的力平衡來(lái)獲得的,為此,與建立第一個(gè)表達(dá)式時(shí)一樣,先任取一方向余弦為(vx,vy,vz)的空間直線,將作用在微條柱上的所有力投影到該直線,建立它們的力平衡,可得

將式(1)代入式(6),整理可得

式中:G5=lxvx+lyvy+lzvz

式(7)即為通用形式中第三個(gè)表達(dá)式。該式中還包含一些未知量,如dNx、dNy、dTxy、dTyx、dTxz、dTyz。他們均可根據(jù)不同模型的假定條件來(lái)確定。

這樣,包含式(3)、(5)、(7)這3個(gè)表達(dá)式的三維極限平衡法的通用形式就此建立。

2 其他方法的推導(dǎo)

2.1 三維普通條分法

該模型由 Hovland[1]將二維分析法中的普通條分法(Fellenious)擴(kuò)展為三維條柱法推導(dǎo)而來(lái)。它忽略了條柱間所有剪切力和法向力,同時(shí)使底滑面上的剪切力與主滑方向平行,也就是忽略了平行于 yOz平面的剪切力dTzy。然后,在沿滑面力平衡的基礎(chǔ)上得到了穩(wěn)定系數(shù)的表達(dá)式。這樣,就需要通過(guò)通用形式中的式(3)和式(7)對(duì)其進(jìn)行推導(dǎo)。

由假設(shè)條件可知:

將以上條件代入式(3),整理可得

將以上條件代入式(7),整理可得

式(8)即為三維普通條分法的解析形式,式(9)為該方法dNz的表達(dá)式。

2.2 三維簡(jiǎn)化Janbu法

該模型由 Hungr等[2]建立,它忽略了條柱間沿z軸方向的所有剪力,同時(shí)使底滑面上的剪切力與主滑方向平行,即忽略了平行于yOz平面的剪切力dTzy。在此假設(shè)條件下,通過(guò)每一微條柱豎向力的平衡以及滑體沿x軸整體的力平衡,建立了求解穩(wěn)定系數(shù)的表達(dá)式。這樣,也就需要通過(guò)通用形式中的式(3)和式(7)來(lái)對(duì)其進(jìn)行推導(dǎo)。

由假設(shè)條件可知

將以上條件代入式(3),整理可得

將以上條件代入式(7),整理可得

式(10)即為三維簡(jiǎn)化Janbu法的解析形式,式(11)為該方法dNz的表達(dá)式。

2.3 三維簡(jiǎn)化Bishop法

該模型由 Hungr[3]建立,是二維簡(jiǎn)化Bishop法的直接擴(kuò)展。他也忽略了條柱間沿 z軸方向的所有剪力,同時(shí)也使底滑面上的剪切力與主滑方向平行,即忽略了平行于 yOz平面的剪切力 dTzy。在此假設(shè)條件下,通過(guò)每一微條柱豎向力的平衡以及滑體繞y軸的整體力矩平衡,建立了求解穩(wěn)定系數(shù)的表達(dá)式。這樣,就需要通過(guò)通用形式中的式(5)和式(7)來(lái)對(duì)其進(jìn)行推導(dǎo)。

由假設(shè)條件可知

將以上條件代入式(5),整理可得

將以上條件代入式(7),整理可得

式(12)即為三維簡(jiǎn)化Bishop法的解析形式,式(13)為該方法dNz的表達(dá)式。

2.4 三維Morgenstern-Spencer法

該模型由陳祖煜等[5]建立,是二維 Morgenstern-Spencer法在三維條件下的擴(kuò)展。他忽略了作用在平行于xOz平面條柱側(cè)面上的剪切力;忽略了作用在平行于 yOz平面條柱側(cè)面上的水平剪力,并使法向力 Nx與豎向剪力Txz的合力G與x軸的夾角為β;同時(shí),使作用在底滑面上的剪切力dTz與xOz平面的夾角為ρ,并規(guī)定剪切力的 y軸分量為正時(shí)ρ為正值,dTz的方向余弦為(lx,ly,lz),且lz=sinρ。在此假設(shè)條件下,通過(guò) G和y軸方向上的整體力平衡,以及繞y軸的整體力矩平衡建立了3個(gè)求解穩(wěn)定系數(shù)的表達(dá)式,這樣,就需要分別通過(guò)通用形式中的式(3)、(5)、(7)來(lái)對(duì)其進(jìn)行推導(dǎo)。

(1)沿 G方向的整體力平衡。由幾何關(guān)系可知,在該方向上

將以上條件代入式(3),整理可得

(2)沿y軸方向的整體力平衡。由幾何關(guān)系可知,在該方向上

將以上條件代入式(3),整理可得

(3)繞y軸的整體力矩平衡。由幾何關(guān)系可知

將以上條件代入式(5),整理可得

3個(gè)方程中所包括的未知量dNz可以通過(guò)與G垂直方向上的力平衡得到,由該模型的幾何關(guān)系及假定條件可知

將以上條件代入式(7),整理可得

式(14)～(16)即為三維Morgenstern-Spencer法的解析形式,式(17)為該方法dNz的表達(dá)式。

2.5 三維簡(jiǎn)化Sarma法

該方法由李同錄等[6]建立,為二維Sarma法的三維擴(kuò)展。他忽略了作用在平行于平面 yOz界面上的水平向剪力;假定平行于xOz平面界面上條間剪力與底滑面平行;使作用在底滑面上的剪切力dTz與xOz平面的夾角為ρ,并規(guī)定剪切力的 y軸分量為正時(shí)ρ為正值;同時(shí),假定底滑面和條柱側(cè)面均滿足Mohr-Coulomb準(zhǔn)則,并均具有相同的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)φ和c,以及相同的穩(wěn)定系數(shù)。在此假設(shè)條件下,通過(guò)沿x軸的整體力平衡建立了求解穩(wěn)定系數(shù)的表達(dá)式,通過(guò)沿 x、y、z軸3個(gè)方向的力平衡建立了dNz的求解公式,這樣,就需要分別利用通用形式中的式(3)和式(7)來(lái)對(duì)其進(jìn)行推導(dǎo)。

因?yàn)樵撃Ｐ蜐M足沿x軸方向的整體力平衡,則

將以上條件代入式(3),整理可得

式(18)中所包括的未知量dNz需在微條柱同時(shí)滿足x、y、z軸3個(gè)方向的力平衡情況下得到,由該模型假定條件可知

式中:dAx為微條柱平行于yOz平面的側(cè)面的面積;dAy為微條柱平行于xOz平面的側(cè)面面積。

(1)微條柱沿 x軸方向的力平衡。根據(jù)幾何條件可知

將以上條件代入式(7),整理可得

(2)微條柱沿y軸方向的力平衡。根據(jù)幾何條件可知

將以上條件代入式(7),整理可得

(3)微條柱沿z軸方向的力平衡。根據(jù)幾何條件可知

將以上條件代入式(7),整理可得

聯(lián)立式(19)～(21),消去內(nèi)力dNx、dNy,整理可得

式中:

式(18)即為三維簡(jiǎn)化Sarma法的解析形式,式(22)為該方法dNz的表達(dá)式。

3 算例

圖4為Zhang[4]提供的旋轉(zhuǎn)橢球體滑面例題,圖5為概算例三維示意圖。國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者都選擇本例題來(lái)檢驗(yàn)各自三維程序的合理性。筆者亦采用這一經(jīng)典算例所提供的地面數(shù)據(jù)及物理力學(xué)指標(biāo)來(lái)分析由通用形式導(dǎo)出的各模型解析形式的合理性和各參數(shù)對(duì)三維邊坡穩(wěn)定性的影響。

圖4 Zhang的算例Fig.4 Case from Zhang

由圖4可知,坡體為一均質(zhì)土坡,坡體土天然重度γ為19.2 kN/m3,抗剪強(qiáng)度指標(biāo)φ為20°、c為29.3 kN/m2,縱向半徑 Ra為24.4 m。

3.1 滑體寬度對(duì)穩(wěn)定系數(shù)的影響

一般認(rèn)為,當(dāng)滑體的橫向?qū)挾冗h(yuǎn)大于其沿主滑動(dòng)方向的長(zhǎng)度時(shí),邊坡的穩(wěn)定性分析為平面應(yīng)變問(wèn)題,即二維問(wèn)題;而當(dāng)滑體比較狹長(zhǎng)時(shí),其三維效應(yīng)就非常明顯,必須作為空間問(wèn)題來(lái)考慮。

圖5 算例三維圖Fig.5 Three-dimensional Shape of Case

為了檢驗(yàn)各模型是否滿足上述觀點(diǎn),這里取該旋轉(zhuǎn)橢球體的縱向半徑 Ra來(lái)反映滑體的長(zhǎng)度,取橫向半徑Rb來(lái)反映滑體的寬度。

先固定中軸面,使縱向半徑 Ra=24.4 m,然后令Rb和 Ra的比值分別為0.5、1、1.5、2、2.5、3、4、6、8、12,采用通用形式推導(dǎo)來(lái)的三維普通條分法(GM)、三維簡(jiǎn)化Bishop法(SBM)、三維簡(jiǎn)化Janbu法(SJM)、三維Morgenstern-spencer法(MSM)以及三維簡(jiǎn)化Sarma法(SSM)的解析形式進(jìn)行穩(wěn)定性驗(yàn)算,其結(jié)果如表1。

表1 滑體寬度對(duì)穩(wěn)定系數(shù)的影響Tab.1 Affection of Sliding Body Width on Safety Factor

從圖6可以看出,無(wú)論采用何種方法,當(dāng) Rb/ Ra小于2時(shí),穩(wěn)定系數(shù)很大,而隨著兩者比值的增大,即滑體的橫向?qū)挾冗h(yuǎn)大于其沿滑動(dòng)方向的縱向長(zhǎng)度時(shí),穩(wěn)定系數(shù)逐漸變小。當(dāng) Rb/Ra大于2時(shí),穩(wěn)定系數(shù)的變化逐漸減緩,在 Rb/Ra大于4以后,幾乎不再變化,此時(shí),邊坡穩(wěn)定問(wèn)題接近于二維的平面應(yīng)變問(wèn)題。為此,可以得出如下結(jié)論:當(dāng)滑體比較狹長(zhǎng),尤其是 Rb/Ra小于2時(shí),側(cè)向作用對(duì)邊坡的穩(wěn)定性有很大的影響,滑體的三維效應(yīng)非常明顯,此時(shí)的邊坡穩(wěn)定問(wèn)題,必須作為空間問(wèn)題來(lái)考慮;當(dāng)滑體橫向上較寬,尤其是在 Rb/Ra大于4時(shí),側(cè)向作用對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響微弱,此時(shí)的空間問(wèn)題可作為二維問(wèn)題來(lái)考慮。

同時(shí),從表1可以看出,由于普通三維條分法因沒(méi)有考慮側(cè)向力,穩(wěn)定系數(shù)偏小;三維簡(jiǎn)化Sarma法由于假定條柱除頂面外均處于極限平衡狀態(tài),穩(wěn)定系數(shù)較大;Hungr所提出的三維簡(jiǎn)化Bishop法,由于考慮了條間側(cè)向力對(duì)穩(wěn)定系數(shù)的影響以及考慮了力矩平衡,所得的穩(wěn)定系數(shù)較普三維條分法有較大的提高,他提出的三維簡(jiǎn)化Janbu法則因只考慮力平衡而使得獲得的穩(wěn)定系數(shù)偏小。三維Morgenstern-Spencer法由于考慮了力矩平衡,其所得的穩(wěn)定系數(shù)偏大。

3.2 滑面強(qiáng)度參數(shù)對(duì)穩(wěn)定系數(shù)的影響

滑面的強(qiáng)度參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響非常重要,在二維極限平衡法中,φ值由于同滑體的重力有關(guān)系,因此對(duì)穩(wěn)定系數(shù)的影響較大。這里對(duì)三維方法也進(jìn)行驗(yàn)算。為此,以 Rb為36.6 m的算例為例,先給定φ值,使φ=20°,研究c對(duì)穩(wěn)定系數(shù)的影響;再給定c值,使c=29.3 kN/m2,研究φ值對(duì)穩(wěn)定系數(shù)的影響。其結(jié)果如圖7、8。

圖7 滑面內(nèi)聚力與穩(wěn)定系數(shù)關(guān)系曲線Fig.7 Relationship Between Cohesion Force and Safety Factor

由圖7、8可以看出,無(wú)論采用何種計(jì)算方法,隨著φ和c的增大,穩(wěn)定系數(shù)都呈近線性增加趨勢(shì),但φ對(duì)穩(wěn)定系數(shù)的影響要明顯高于c。這是由于c值所發(fā)揮的抗滑作用僅與滑動(dòng)面面積有關(guān),與滑動(dòng)面形狀和上覆荷載無(wú)關(guān),而φ值產(chǎn)生的抗滑作用則與滑動(dòng)面形狀、上覆荷載和面積都有很大關(guān)系,滑動(dòng)面越緩,上覆土層越厚,體積越大,φ值發(fā)揮的抗滑力越大。

圖8 滑面內(nèi)摩擦角與穩(wěn)定系數(shù)關(guān)系曲線Fig.8 Relationship Between Internal Friction Angle and Safety Factor

3.3 滑面剪力方向?qū)Ψ€(wěn)定系數(shù)的影響

對(duì)于考慮滑裂面剪力方向?qū)Ψ€(wěn)定系數(shù)影響的三維 Morgenstern-Spencer法和三維簡(jiǎn)化 Sarma法,滑面剪力方向與底滑面和xOz平面交線的夾角ρ的取值結(jié)果直接關(guān)系到兩種方法穩(wěn)定系數(shù)的最終計(jì)算結(jié)果,而對(duì)該值到底是以常數(shù)的形式取值還是以函數(shù)的形式更合適,目前相關(guān)的研究也沒(méi)有一個(gè)明確的結(jié)論。為了充分了解滑面剪力的方向?qū)Ψ€(wěn)定系數(shù)的影響,將ρ按2種情況分別計(jì)算分析。這里均以 Rb為36.6 m的算例為例進(jìn)行相應(yīng)分析。

(1)ρ=常數(shù)。將ρ取為常數(shù),也就是將整個(gè)滑體滑裂面上的剪力取為一個(gè)方向,其取值范圍為[-60°,60°],穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算結(jié)果如表2。

表2 在ρ為常量情況下剪切力方向?qū)Ψ€(wěn)定系數(shù)的影響Tab.2 Affection of Shearing Force Direction on Safety Factor ifρwas Constant

由表2及圖9可以看出,當(dāng)ρ為正時(shí),穩(wěn)定系數(shù) F隨著它的增大不斷減小,當(dāng)ρ為負(fù)時(shí),穩(wěn)定系數(shù) F則隨著它的增大不斷增大,在ρ=0這個(gè)位置上,穩(wěn)定系數(shù)達(dá)到最高值。這一結(jié)果可用潘家錚[24]的最大原理來(lái)解釋。當(dāng)滑坡體的滑面確定時(shí),滑面上的反力(以及滑體的內(nèi)力)能自行調(diào)整,以發(fā)揮最大的抗滑力,最大抗力出現(xiàn)在與滑動(dòng)方向相反的角度上。

圖9 在ρ為常量情況下剪切力方向與穩(wěn)定系數(shù)關(guān)系曲線Fig.9 Relationship Between Shearing Force Direction and Safety Factor ifρwas Constant

(2)ρ以函數(shù)分布。對(duì)于對(duì)稱邊坡,當(dāng)采用分布函數(shù)ρ=f(y)=0.5λ(y-y0)/Rb(λ為控制變量, 0°≤λ≤90°;y0為滑坡主滑斷面的 y坐標(biāo)值)時(shí),可得到表3的計(jì)算結(jié)果。

表3 在ρ為變量情況下剪切力方向?qū)Ψ€(wěn)定系數(shù)的影響Tab.3 Affection of Shearing Force Direction on Safety Factor ifρw as V ariable

由表3及圖10可以看出,穩(wěn)定系數(shù)隨著λ的不斷增大而減小,當(dāng)λ=0時(shí),穩(wěn)定系數(shù)最大,這一結(jié)果同樣可用潘家錚[24]的最大原理來(lái)解釋。

圖10 在ρ為變量情況下剪切力方向與穩(wěn)定系數(shù)關(guān)系曲線Fig.10 Relationship Between Shearing Force Direction and Safety Factor ifρw as V ariable

對(duì)于一般滑體,考慮將滑裂面剪切力方向與其底面傾向相互關(guān)聯(lián)起來(lái),在滑體主滑段取其方向與底面傾向相反,反翹段取與底面傾向一致。在該條件下,三維Morgenstern-Spencer法求得的穩(wěn)定系數(shù)為2.185,三維簡(jiǎn)化Sarma法求得的穩(wěn)定系數(shù)為2.241。

由計(jì)算結(jié)果可以看出,將滑裂面剪切力方向取為與其底面傾向相關(guān)計(jì)算出的結(jié)果與文獻(xiàn)[5]的考題1計(jì)算結(jié)果相差不大,比較接近實(shí)際情況。

4 結(jié)語(yǔ)

(1)在滿足邊坡整體力平衡、力矩平衡以及邊坡微條柱力平衡的條件下,提出了一個(gè)綜合各種三維極限平衡法的通用形式,該通用形式包含3個(gè)表達(dá)式。

(2)通過(guò)所建立的通用形式,利用已有方法的假定條件推導(dǎo)出了原方法的表達(dá)形式,并將它們解析化。

(3)通過(guò)Zhang的算例,利用通用形式導(dǎo)出的三維普通條分法、三維簡(jiǎn)化Janbu法、三維簡(jiǎn)化Bishop法、三維Morgenstern-Spencer法以及三維簡(jiǎn)化Sarma法的解析形式,分析了滑體寬度、滑面強(qiáng)度參數(shù)以及滑面剪切力方向?qū)Ψ€(wěn)定系數(shù)的影響,結(jié)果表明,該通用形式是正確有效的。

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