張妙瑜

(西安石油大學電子工程學院 陜西西安)

基于FEPG的三線圈系動態(tài)問題求解

張妙瑜

(西安石油大學電子工程學院 陜西西安)

基于有限元程序自動生成平臺FEPG,建立了三線圈系動態(tài)問題兩個未知場的有限元控制方程,通過編寫元件化程序,對陣列感應測井儀器在地層運動的響應進行了求解,實現(xiàn)了對其動態(tài)問題的透明計算。結果表明該方法可以用于二維電磁場問題計算,為研究三維時諧電磁場問題,開發(fā)出更多地層模型的測井響應數(shù)值計算軟件奠定了基礎。

三線圈系;電磁場;有限元控制方程;FEPG

0 引 言

有限元方法是50年代隨著電子計算機的發(fā)展而發(fā)展起來的一種求解偏微分方程的數(shù)值計算方法[1]。它是當今求解偏微分方程最有效的數(shù)值方法,其原理是基于微分方程弱解形式(即力學中的虛位移原理)。由于它通用性強、使用廣泛,作為具有鞏固理論基礎和廣泛應用效力的數(shù)值分析工具,很快成為各個學科領域與各種生產(chǎn)部門,尤其是高新技術產(chǎn)業(yè)普遍采用的工程與科學計算方法[2]。

目前出現(xiàn)的通用有限元軟件并不通用,只能求解很少的一部分有限元問題,不公開源代碼,純黑箱操作,對用戶來說程序是不可改動的,極大地限制了用戶的創(chuàng)造性。而有限元程序自動生成系統(tǒng)FEPG(Finite Element Program Generator),適用于求解各種領域的各種工程與科學的有限元問題,本文通過數(shù)學公式推理的方式,建立FEPG所需的微分方程表達式和算法表達式,對三線圈系陣列感應測井儀器在旋轉對稱地層中電磁場分布進行求解,從而編程實現(xiàn)了對地層電磁場動態(tài)問題的透明計算。

1 有限元程序自動生成軟件FEPG設計思想

對于一個有限元問題的描述主要是兩方面的內容:一方面是物理模型的描述,在數(shù)學上可歸結為偏微分方程表達式;另一方面是給出求解區(qū)域和邊界條件,統(tǒng)稱為幾何建模。FEPG系統(tǒng)是基于虛位移原理(即弱形式)而不是變分原理,要求用戶將物理模型書寫成弱形式的微分方程表達式,然后利用有限元語言來描述該物理模型。它把完整的有限元程序分解為可變部分和不可變部分。不變部分系統(tǒng)直接給出,可變部分是根據(jù)方程和算法用有限元語言描述,通過生成系統(tǒng)自動產(chǎn)生,然后可變部分和不變部分組成完整的有限元程序,如圖1所示。每個元件程序都是一個完整的FORTRAN程序,可以單獨進行編譯、連接與運行,它們之間的通信完全通過磁盤文件[2]。

圖1 有限元程序自動生成示意圖

用戶需要給出三種類型的文件:一種是描述有限元控制方程的PDE文件,由這些文件自動生成計算單元剛度矩陣、單元阻尼矩陣和單元載荷向量等單元子程序;再一類是GCN文件,給出多場問題中單場問題的算法來形成多場問題的算法,同時給出各物理場之成系統(tǒng)可由這些表達式自動生成全部的間的耦合方式以及求解流程;最后一類是GIO文件,給出各個物理場的PDE文件名以及求解區(qū)域的體單元類型信息及坐標系名。有限元程序自動生有限元程序,突破了國內外的通用有限元軟件只適用于特定領域和特定問題的限制。對電磁場分布來講,在通用軟件中研究其本構模型是不可能的,但利用該平臺,用戶可以使用自己的本構模型[2]。

2 三線圈系陣列感應測井儀器電磁場分布的有限元控制方程

2.1 電磁學基本方程

感應測井工作頻率為20 kHz,電磁波在地層中的趨膚深度一般在1 m～10 m范圍內,因此嚴格的感應測井理論是建立在Maxwell方程的基礎之上,它是感應測井電磁場理論的基礎[3]。

Maxwell方程[4]在測井問題中很有用,感應測井的場源是單一頻率并隨時間作正弦變化。即使不是單一頻率的正弦變化場,也可分解為基波和高次諧波的場的疊加。這里的電磁場源為電流源,JT=ITδ(r-a)δ (z-zs)φ^,φ^為單位矢量,是圓柱坐標系(r,φ,z)中的φ方向;zs是發(fā)射線圈的縱向位置;a是線圈纏繞的芯棒半徑。

2.2 地層模型

三線圈系陣列沿井眼運動,如圖2所示,記錄每個深度點的測量信號(接收電壓)。三線圈系中,T是發(fā)射線圈;R是接收線圈,接收來自地層各部分的信號; B是屏蔽線圈。那么建立的地層模型為縱向3層、徑向4層[5]。

圖2 地層模型示意圖

2.3 耦合場的有限元控制方程

下面在基本方程(1)～(4)基礎上,利用虛位移原理和最小二乘法建立三線圈系動態(tài)問題求解的有限元控制方程。二維時諧磁場微分方程向量形式為[6]

其中,H為磁場強度向量,E為電場強度向量,i為復數(shù)單位,omega為角頻率常數(shù),fmu為磁導率, sigma為電導率,epsilon為介電常數(shù),Js為源電流密度。

由上面得第一個方程有:

H=-Curl(E)/(i＊omega＊fmu)

代入第二個方程可得微分方程的弱形式為[7]:

[(i＊sigma - omega＊epsilon) ＊E;E] + [1/(fmu＊omega)＊Curl(E);Curl(E)]=i＊|n＊H;E|-[i＊Js;E]

其中,[· ; ·]表示區(qū)域上的兩個函數(shù)或表達式的內積,“;”表示虛位移,也就是說“ ;”后面的表達式中出現(xiàn)的未知函數(shù)表示該函數(shù)的變分。|·;·|表示區(qū)域邊界上兩個函數(shù)或者表達式的內積,“ ;”表示虛位移,也就是說“ ;”后面的表達式中出現(xiàn)的未知函數(shù)表示該函數(shù)的變分。n表示區(qū)域邊界上外法向單位向量,n＊H表示叉乘。

在二維問題中,我們只需求解 Ez(即 E的z向分量),即可求電場強度 Hx,Hy。

2.4 求解結果

圖3為剖分后的網(wǎng)格圖,網(wǎng)格節(jié)點數(shù)為24 779。圖4為第132個采樣點的電場強度實部云圖。圖5為串行計算測井響應的散點圖,由圖5可知,其響應基本反映原狀地層的性質,由于受地層非均質影響以及網(wǎng)格剖分的限制,曲線在層界面有波動,因而曲線實際反映的是儀器周圍整個地層的綜合響應。

圖3 網(wǎng)格圖

3 結 論

三線圈系陣列感應測井儀器在旋轉對稱地層中的電磁場分布在感應測井響應研究中處于核心地位。本文依據(jù)麥克斯韋方程建立電場及磁場的有限元控制方程,通過實施編程,對電場強度和磁場強度進行了分析計算。該程序克服了一般通用有限元軟件的黑箱模型,其結果與實際地層響應基本一致。目前斜井和水平井鉆井逐漸成為主流,因此,有必要在此基礎上,開發(fā)出更多地層模型的測井響應數(shù)值計算軟件。

圖4 第132個采樣點的電場強度實部云圖

圖5 串行計算采樣點實部電壓散點圖

[1] 萬 水,陳建平.有限元程序生成系統(tǒng)及其在工程中的應用[J].船舶力學,2004,8(3)

[2] 趙增輝,王育平,陳 波,等.基于FEPG的壓電復合結構動態(tài)問題求解[J].山東科技大學學報(自然科學版) 2008,27(5)

[3] 胡 啟,仵 杰.感應測井理論[M].西安:陜西人民教育出版社,1990

[4] 晁立東,仵 杰,王仲奕.工程電磁場基礎[M].西安:西北大學出版社,2002

[5] 北京飛箭軟件有限公司.FEPG.GID使用手冊.2003(資料)

[6] 北京飛箭軟件有限公司.FEPG用戶手冊.2003(資料)

[7] 黃 成.基于FEPG的電磁場計算若干問題的研究[D].北京:華北電力大學,2004

P631.8+3

B

1004-9134(2010)02-0079-03

張妙瑜,女,1980年生,碩士在讀,講師,現(xiàn)在西安石油大學電子工程學院主要從事信息探測與處理技術方面研究。郵編:710065

2009-11-21 編輯:高紅霞)

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