辛雪軍，陳長征，張星祥，許艷軍，任建岳

（1.中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長春130033；2.中國科學(xué)院研究生院，北京100039）

平行光管主反射鏡組件的非線性有限元分析

辛雪軍1，2，陳長征1，張星祥1，許艷軍1，任建岳1

（1.中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長春130033；2.中國科學(xué)院研究生院，北京100039）

為了提高對(duì)光學(xué)儀器中光機(jī)結(jié)構(gòu)分析的精度，引入了非線性分析方法，用非線性有限元法研究了某平行光管主鏡組件存在的非線性問題。介紹了產(chǎn)生結(jié)構(gòu)非線性的主要來源，并在接觸理論的基礎(chǔ)上對(duì)主反射鏡組件進(jìn)行了合理的有限元建模。采用接觸非線性分析方法對(duì)螺釘預(yù)緊時(shí)反射鏡的響應(yīng)及在自重和溫度載荷作用下反射鏡的變形進(jìn)行了分析。將線性和非線性分析結(jié)果與實(shí)際結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明，采用接觸非線性分析方法對(duì)反射鏡組件進(jìn)行工程分析減小了分析誤差。因此，在工程分析中，對(duì)某些接觸部位采用非線性分析方法可以提高分析精度，得到的結(jié)果更加符合實(shí)際。

平行光管；主反射鏡；接觸；非線性分析；有限元分析

1 引 言

工程分析技術(shù)在光學(xué)儀器的光機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中發(fā)揮著不可替代的作用，分析模型簡化的合理性直接影響最后結(jié)果的可信性，分析精度的高低直接影響整個(gè)任務(wù)的成敗。實(shí)踐證明，合理有效的工程分析對(duì)于縮短設(shè)計(jì)的研制周期、降低研制成本等起著至關(guān)重要的作用。大型平行光管中，較多使用的是反射系統(tǒng)，其中主反射鏡是光管的關(guān)鍵部件，主反射鏡面形的好壞直接影響光管的成像質(zhì)量。根據(jù)瑞利條件，當(dāng)鏡面的變形量為λ/8時(shí)，人眼即可觀察出對(duì)光學(xué)系統(tǒng)像質(zhì)的影響，即反射鏡表面有微小的變形都會(huì)引起成像質(zhì)量的變化。在反射鏡結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析過程中會(huì)涉及到一些明顯的接觸問題，以往的工程分析常常將這些問題近似地看作線性問題來處理，但工程實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，有些反射鏡的面形精度與工程分析所得到的分析結(jié)果差異很大。即使實(shí)驗(yàn)使用相同的支撐結(jié)構(gòu)，環(huán)境因素也相同，但反射鏡在同一方向上的兩個(gè)不同矢量上面形精度并不相同，有時(shí)已經(jīng)影響到其使用要求。（即重力沿同一坐標(biāo)軸正、負(fù)兩個(gè)方向分別作用的工況下，面形精度并不相同，而根據(jù)光學(xué)儀器的安裝工藝、加工工藝和使用狀態(tài)的要求，兩個(gè)矢量方向上面形精度應(yīng)相同或只允許存在極小的誤差）。就目前的線性工程分析而言，所得到的結(jié)論通常為兩個(gè)矢量方向上面形精度相同，所以工程分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在較大的誤差［1～4］。為了提高分析精度，本文引入了非線性分析方法，針對(duì)某平行光管主鏡組件中存在的非線性問題進(jìn)行了論述，并進(jìn)行了非線性分析。

2 非線性問題描述

線性分析的基本原理是如果剛度變化足夠小，則可以假定在變形過程中形狀或材料屬性沒有任何變化。這就意味著在線性分析中，結(jié)構(gòu)的柔度矩陣只需計(jì)算一次，其他載荷情形下，結(jié)構(gòu)的線性響應(yīng)可通過將柔度矩陣與新的載荷向量相乘得到。而非線性結(jié)構(gòu)問題［5］是指結(jié)構(gòu)剛度隨其變形而改變的問題。在非線性工程分析中，由于剛度依賴于位移，所以不能夠再用初始的柔度乘以外加載荷的方法來計(jì)算任意載荷下的結(jié)構(gòu)變形，結(jié)構(gòu)的剛度陣在整個(gè)分析過程中必須進(jìn)行多次的生成和求逆，這就使得分析求解的成本比線性分析高得多。所以在實(shí)際的工程分析中應(yīng)該采用以線性分析為主，以非線性分析為輔的分析策略。

2.1 結(jié)構(gòu)非線性的來源

在結(jié)構(gòu)力學(xué)模擬中有3種非線性的來源。

（1）材料非線性：主要是指應(yīng)用的材料特性隨溫度、變形等的變化而變化，造成求解的復(fù)雜性；

（2）邊界條件非線性：指邊界條件在分析過程發(fā)生變化，產(chǎn)生邊界條件非線性問題。如反射鏡組件結(jié)構(gòu)中螺釘預(yù)緊及由于重力或溫度載荷作用下而造成接觸條件發(fā)生變化的問題就屬于邊界條件非線性問題；

（3）幾何非線性：主要發(fā)生在位移的大小影響到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的情形。

平行光管中主反射鏡是一種精密的光學(xué)儀器，光學(xué)元件要求變形很小且結(jié)構(gòu)中各元（部）件相對(duì)位移較小，不會(huì)引起材料非線性和幾何非線性的問題，存在的主要問題是由于接觸所帶來的邊界條件的非線性問題。

2.2 接觸理論基礎(chǔ)

接觸理論［6，7］是研究物體之間通過接觸而實(shí)現(xiàn)力的傳遞的一種分析方法。接觸模擬的一般目的是在已知初始接觸狀態(tài)條件下，對(duì)接觸體系施加一定外載荷，確定接觸面積及計(jì)算所產(chǎn)生的接觸壓力。在有限元中，接觸條件是一類特殊的不連續(xù)約束。因此，分析方法必須能夠判斷什么時(shí)候兩個(gè)表面是接觸的，并且能應(yīng)用相應(yīng)的接觸約束。與此類似，分析方法還必須能判斷什么時(shí)候兩個(gè)表面是分開的，并能解除其約束。

圖1所示為平面應(yīng)變狀態(tài)的兩個(gè)物體Ω1和Ω2在單一方向外載荷P（法向表面載荷）的作用下產(chǎn)生法向接觸應(yīng)力的情況。首先做如下假設(shè)：

（1）兩物體材料均為各向同性；

（2）接觸表面光滑，忽略切向摩擦；

（3）小變形，且在變形過程中接觸點(diǎn)對(duì)始終一一對(duì)應(yīng)；

（4）單調(diào)加載，即加載過程中無卸載情況。

在初始接觸區(qū)及其周圍將Ω1和Ω2離散成接觸點(diǎn)對(duì)，如圖1中的1，2，……，n。這樣處理可以用離散的接觸節(jié)點(diǎn)接觸力來代替外載荷作用下的分布?jí)毫?。接觸區(qū)的任一點(diǎn)k在變形后必須滿足彈塑性變形與初始距離之和大于或等于剛體位移量。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：式中：ε0k是k點(diǎn)對(duì)的初始間距；u1k和u2k分別是兩物體在k點(diǎn)的彈塑性位移；α是剛體的位移量；εk是物體剛體位移和彈塑性變形后k點(diǎn)對(duì)的間距。

將可能接觸的點(diǎn)對(duì)加載后的間距寫成矩陣形式，即：

式中｛e｝為單位列矢量。

由矩陣位移法原理可知，｛u1｝=［F1］｛R1｝，｛u2｝=［F2］｛R2｝。其中［F1］和［F2］分別為物體Ω1和Ω2對(duì)應(yīng)于可能接觸的點(diǎn)的柔度矩陣，它們是由材料的性質(zhì)決定的，可以從表征材料應(yīng)力水平的相當(dāng)總剛度求逆得出；｛R1｝和｛R2｝為接觸點(diǎn)應(yīng)力，并有｛R1｝=-｛R2｝。若以Ω1為基準(zhǔn)，記｛R1｝=｛R｝，［F1］＋［F2］=［F］，則可得到典型的接觸問題的位移協(xié)調(diào)方程，即｛ε｝=｛ε0｝＋［F］｛R｝-α｛e｝。

由于作用在各分散點(diǎn)上的力Fk的和必須等于法向外載荷P，所以平衡條件可寫作。同時(shí)，對(duì)可能接觸區(qū)的各節(jié)點(diǎn)來說，只有接觸時(shí)才存在接觸力，即：

式（3）稱為接觸準(zhǔn)則。這樣，接觸問題就是求一組解，使它滿足上述條件。

在分析螺釘聯(lián)接的結(jié)構(gòu)時(shí)（如在重力的作用下變形問題），線性與非線性分析方式的處理方法是不同的，在通常線性模擬中一般可以用MPC（多點(diǎn)約束）模擬螺釘聯(lián)接方法來處理，這就忽略了各個(gè)接觸面之間可能存在的相對(duì)滑移和分離的可能，同時(shí)也忽略了螺釘聯(lián)結(jié)所存在的預(yù)緊力載荷。這種算法除相互聯(lián)接的節(jié)點(diǎn)以外，其他的節(jié)點(diǎn)并沒有參與兩體之間的直接關(guān)系，因而也無法考慮接觸應(yīng)力問題。對(duì)于熱彈性問題，采用線性分析時(shí)，接觸面不能分離，而在實(shí)際狀態(tài)是可能存在的，這就造成不真實(shí)的模擬，從而產(chǎn)生分析誤差。在復(fù)雜結(jié)構(gòu)受熱載荷作用下，線性簡化的分析精度就更低。因此，對(duì)于精度要求較高的反射鏡組件，應(yīng)采用非線性方法來提高分析精度。

3 系統(tǒng)分析

本文以平行光管主反射鏡組件為研究對(duì)象，對(duì)其在重力載荷和溫度載荷作用下進(jìn)行非線性有限元分析，并將分析結(jié)果與采用線性分析方法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。根據(jù)以往工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，采用非線性分析方法得到的結(jié)果誤差較小。

3.1 模型的建立

圖2是主反射鏡組件的裝配圖。反射鏡支撐方式采用圓周支撐，反射鏡安裝在鏡框中，并用壓板將反射鏡上端邊緣固定，用螺釘將鏡框與平行光管主體連在一起。反射鏡材料采用的是SiC并經(jīng)過輕量化設(shè)計(jì)，輕化率在65％以上，主鏡框采用了高體份Al/SiC，壓板和螺釘材料采用了TC4，其特性參數(shù)如表1所示。

在圖2的基礎(chǔ)上建立主反射鏡組件的有限元模型如圖3所示，對(duì)其中固定壓板的6處螺釘聯(lián)接部位采用接觸非線性算法進(jìn)行分析。模型主要采用一階減縮積分單元，只在重點(diǎn)受力部位采用二次減縮積分單元，同時(shí)對(duì)一階減縮積分單元引入一個(gè)小量的人工“沙漏剛度”以限制沙漏模式的擴(kuò)展。對(duì)主反射鏡進(jìn)行分析時(shí)，盡可能地采用六面體單元，模型復(fù)雜部位適當(dāng)?shù)夭捎昧诵ㄐ螁卧?，以增加過渡的連續(xù)性和協(xié)調(diào)性。螺釘網(wǎng)格細(xì)致劃分，進(jìn)行接觸分析時(shí)采用非協(xié)調(diào)單元，并細(xì)化網(wǎng)格，使其扭曲減至最小。

3.2 非線性有限元分析

非線性分析的邊界條件如下：

1）鏡框與外界的接口處采用固定連接。

2）接觸面屬性定義。支撐方案考慮了在外力作用下零件會(huì)產(chǎn)生彎曲和相互滑移或傾斜的傾向，因此采用罰函數(shù)的形式。

3）確定分析步驟時(shí)，可以分4步進(jìn)行，以便增加收斂速度，分別對(duì)每一步進(jìn)行最大變形分析和反射鏡的面形精度分析，再將各步耦合分析，確定所有載荷作用下的最大變形和反射鏡的面形精度。分析結(jié)果：

1）如圖4、圖5所示，對(duì)6個(gè)螺釘全部施加3 000 N的預(yù)緊力后可以看到，螺釘伸長，壓板和鏡框在局部集中載荷作用下產(chǎn)生微小的局部變形，同時(shí)反射鏡局部受到擠壓，產(chǎn)生變形，導(dǎo)致反射鏡局部面形精度下降。

由于將螺釘定義為變形體，其在不同預(yù)緊力作用下會(huì)對(duì)反射鏡面形精度產(chǎn)生一定的影響，但線性工程分析方法卻不能分析出預(yù)緊力對(duì)反射鏡面形精度的影響。

2）沿光軸正負(fù)兩個(gè)矢量方向分別施加1 g的重力載荷，同時(shí)計(jì)算反射鏡面形精度。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，第一步施加預(yù)緊力時(shí)反射鏡面形精度雖然降低了，但變化并不明顯，在施加重力載荷作用后，反射鏡面形精度在局部發(fā)生劇烈變化。圖6是在重力沿光軸正向單獨(dú)作用下采用線性與非線性分析所得的變形云圖。

3）沿光軸正負(fù)兩個(gè)矢量方向分別施加1 g的重力載荷的同時(shí)，再整體施加4℃均勻溫升載荷，計(jì)算重力與溫度耦合時(shí)的鏡面變形，發(fā)現(xiàn)反射鏡面形精度也隨之發(fā)生變化。圖7是在重力沿光軸正向與4℃溫升耦合作用下采用線性與非線性分析所得的變形云圖。

以上各載荷工況下的非線性分析和線性分析結(jié)果如表2所示。

3.3 結(jié)果分析

從表2中結(jié)果可以看出，在線性分析中，螺釘聯(lián)接部位采用的是MPC剛性聯(lián)接，不能模擬接觸作用。由于沿同一坐標(biāo)軸的不同矢量方向施加的足1 g的重力載荷，結(jié)構(gòu)剛度不變，所以反射鏡最大變形相同。但在非線性分析中，當(dāng)沿光軸的正負(fù)兩個(gè)方向分別施加1 g的重力載荷時(shí)，得到的光學(xué)元件的面形精度和均方根值不相同，表現(xiàn)為沿光軸負(fù)方向的PV值和RMS值較小，而沿光軸正方向的PV值和RMS值較大，分析其原因是由于接觸的非線性導(dǎo)致的。當(dāng)螺釘在預(yù)緊力的作用下產(chǎn)生伸長時(shí)，兩個(gè)連接板的接觸面相互擠壓，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)可以將這種情形視為力學(xué)平衡環(huán)境。當(dāng)重力分別沿光軸的正負(fù)兩個(gè)方向作用時(shí)，兩個(gè)連接板接觸面相互擠壓的程度將有所增加或減弱，這時(shí)的兩種力學(xué)平衡環(huán)境不同，連接板的變形量也不同。當(dāng)這種力的變化傳到主反射鏡時(shí)，導(dǎo)致沿兩個(gè)矢量方向所計(jì)算的主反射鏡的面形精度和均方根值有所不同。這種變化通常是局部的，但由于反射鏡的支撐方式不同，這種局部性變化會(huì)影響到全局。與此同時(shí)，反射鏡的剛體位移具有全局性。當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)對(duì)局部PV值的變化、RMS值的變化和剛體位移的變化具有嚴(yán)格限制時(shí)，這些變化將使成像質(zhì)量沿正負(fù)兩個(gè)矢量方向發(fā)生變化，特別是在熱載荷作用下這種變化將更明顯。此外，由非線性分析所得到的反射鏡的最大變形值和面形值均大于由線性分析所得到的結(jié)果，這主要是由于考慮了螺釘預(yù)緊作用的緣故。

4 結(jié) 論

本文采用接觸非線性分析方法對(duì)螺釘預(yù)緊時(shí)反射鏡的響應(yīng)及在自重和溫度載何作用下反射鏡的變形進(jìn)行了分析，對(duì)線性和非線性分析結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果顯示，采用線性分析主鏡沿光軸正向自重狀態(tài)下PV值為25.80 nm，RMS值為4.01 nm，采用非線性分析時(shí)PV值為60.52 nm，RMS值為12.46 nm；而實(shí)際要求主反射鏡面形精度PV值為62.38 nm，均方根RMS值為12.66 nm。上述結(jié)果表明，采用接觸非線性分析方法對(duì)反射鏡組件進(jìn)行工程分析確實(shí)減小了分析誤差。

在對(duì)光機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行工程分析時(shí)，為使分析結(jié)果更符合實(shí)際，進(jìn)而為結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)優(yōu)化提供更全面可靠的分析數(shù)據(jù)，可在系統(tǒng)中選擇精度要求較高的元（部）件，采用非線性分析方法進(jìn)行分析。本文的分析結(jié)果證明，將非線性分析方法引入工程分析中，可最大限度地模擬結(jié)構(gòu)的真實(shí)狀態(tài)，對(duì)于提高工程分析精度，縮短整個(gè)光機(jī)結(jié)構(gòu)的研制周期、降低研制成本都具有重要意義。

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Nonlinear analysis of primary m irror subassembly for collimator based on finite elementmethod

XIN Xue-jun1，2，CHEN Chang-zheng1，ZHANG Xing-xiang1，XU Yan-jun1，REN Jian-yue1
（1.Changchun Institute of Optics，F(xiàn)ine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033，China；2.Graduate University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100039，China）

To improve the analysis accuracy for the opticalmechanical structure of a optical system，a nonlinear analysismethod is introduced and then a nonlinear Finite Element（FE）analysis is applied to analysis of themechanicalmodel of a primarymirror subassembly.Themain source for structural nonlinearity is summarized，and a FEmodel for the primarymirror subassembly of a collimator is established on the basis of contact theory.Themirror response based on bolt contact and themirror deviation based on gravity and temperature loads are analyzed by contactnonlinear analysismethod.Using a practicalmesuring result，the linear and nonlinear methods are compared，and it is included that the contactnonlinear analysis indeed reduces the analysis error.Therefore，nonlinear analysis can improve the analysis accuracy and obtain the resultswhich are close tothat in real system of engineering analysis.

collimator；primarymirror；contact；nonlinear analysis；finite element analysis

TH741.14

：A

1674-2915（2010）02-0170-07

辛雪軍（1984—），男，吉林人，碩士研究生，主要從事空間光學(xué)儀器CAD/CAE方面的研究。 E-mail：cat1921＠tom.com

2010-01-17；

2010-03-13

國家863高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目（863-2-5-1-13B）