張安梅,初 穎,白素良

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 通化 134002)

1 引言

通常假設(shè)在一定的時(shí)間內(nèi)種群生存和開發(fā)是連續(xù)的，但這不能準(zhǔn)確的反映在生態(tài)系統(tǒng)中季節(jié)性和瞬時(shí)的開發(fā)等問題．在許多物種中，其個(gè)體都可以分為幼年和成年兩個(gè)階段．本文研究所用的系統(tǒng)模型如下:

(1)

其中，x1(t),x2(t)分別表示幼年和成年種群在t時(shí)刻的種群密度，α表示幼年種群的出生率，β表示幼年種群轉(zhuǎn)化為成年種群的轉(zhuǎn)化系數(shù)，表示幼年種群的密度制約系數(shù)，分別表示幼年和成年種群的死亡率.

首先，研究具有年齡結(jié)構(gòu)的單種群模型(1)的脈沖控制．

其次，對成年捕獲模型

{1(t)=αx2(t)-
γ1x1(t)-βx1(t)-ηx21(t);
2(t)=βx1(t)-γ2x2(t)-hx2(t).

(2)

其中，h是捕獲努力量．及對幼年捕獲模型

{1(t)=αx2(t)-γ1x1(t)-
βx1(t)-ηx21(t)-Ex1(t);
2(t)=βx1(t)-γ2x2(t).

(3)

其中，E是捕獲努力量，分別進(jìn)行研究，給出對應(yīng)的最優(yōu)捕獲策略．

2 模型的建立

利用脈沖微分方程的比較原理，通過狀態(tài)反饋和輸出反饋，對具有年齡結(jié)構(gòu)模型(1)變換后的系統(tǒng)(6)進(jìn)行了脈沖控制，分別得到了使系統(tǒng)(1)在正平衡點(diǎn)x**=(γ2(a-b)/η,β(a-b)/η)，(a>b)漸近穩(wěn)定的充分條件．

{1(t)=αx2(t)-γ1x1(t)-
βx1(t)-ηx21(t),x1(t0)=x10;
2(t)=βx1(t)-γ2x2(t),x2(t0)=x20.

(4)

其中x1(t)>0,x2(t)>0.

{1(t)=ax2(t)-bx1(t)-x21(t),
x1(t0)=cx10>0;
2(t)=x1(t)-x2(t),x2(t0)=
dx20>0.

(5)

其中，a=αβ/γ22,b=(γ1+β)/γ2,c=η/γ2,d=η/β.

(6)

通過狀態(tài)反饋對系統(tǒng)(6)進(jìn)行脈沖控制，得到模型

(7)

其中，τk滿足0<τ1<τ2<…<τk<…,τk→∞(k→∞)，τ+k為脈沖后的時(shí)刻．

3 脈沖控制

系統(tǒng)(7)可以寫成如下矩陣形式

{=A+Φ(),t≠τk;
△=B,t=τk;
(t0)=0.

(8)

1-1],Φ()=[-21,0]T,B=[B10

0B2],0=[cx10-(a-b),dx20-(a-b)]T.

定理1[1]對于脈沖控制系統(tǒng)(8)，(a-1)2>4(a-b)如果控制矩陣B中的控制變量B1,B2及脈沖控制區(qū)間滿足

(i)-1

(ii)[μ+2(a-b)](τk+1-τk)≤-ln(γδ).

則系統(tǒng)(8)的原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的(即系統(tǒng)(1)在正平衡點(diǎn)x**=(γ2(a-b)/η,β(a-b)/η)是漸近穩(wěn)定的)．其中μ是AT+A的最大特征值，δ=max{(1+B1)2,(1+B2)2},γ>1,a=αβ/γ22,b=(γ1+β)/γ2,C=η/γ2,d=η/β．

利用輸出反饋對系統(tǒng)(6)進(jìn)行脈沖控制，得到下面模型

y1=C11,y2=C22,t≠τk;

(9)

其中,y1,y2是系統(tǒng)的輸出變量,C1>0,C2>0． 同理可得到下面的定理．

定理2[2]對于脈沖控制系統(tǒng)(9)，(a-1)2>4(a-b)．若控制矩陣B中的控制變量B′1,B′2及脈沖控制區(qū)間滿足

(i)-1

(ii)[μ+2(a-b)](τk+1-τk)≤-ln(γδ).

其中μ是AT+A的最大特征值，并且δ=maxi=1,2{(1+BiCi)2}<1,r>1則系統(tǒng)(9)在原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的(即系統(tǒng)(1)在正平衡點(diǎn)x**=(γ2(a-b)/η,β(a-b)/η)是漸近穩(wěn)定的)．其中a=αβ/γ22,b=(γ1+β)/γ2,c=η/γ2,d=η/β．

4 優(yōu)化問題

4.1 成年種群捕獲的情況

系統(tǒng)(2)存在平衡點(diǎn)，是方程組

{αx2(t)-γ2x1(t)-βx1(t)-ηx21(t)=0

βx1(t)-γ2x2(t)-hx2(t)=0

(10)

的解．

易知O(0,0)是系統(tǒng)(2)的一個(gè)平衡點(diǎn)．

定理3 當(dāng)αβγ1+β-γ2>h時(shí)，系統(tǒng)(2)存在唯一正平衡點(diǎn)且是穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)．

證明 由于方程組(10)有解(x1h,x2h)，其中

x1h=1η[αβγ2+h-γ1-β],

x2h=1ηβγ2+h[αβγ2+h-γ1-β].

因此,當(dāng)βγ1+β-γ2>h時(shí)為正平衡點(diǎn).同理可證，這唯一的正平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)，故當(dāng)捕獲努力量h≥αβγ1+β-γ2時(shí)，種群因?yàn)檫^渡開發(fā)而滅絕．

在系統(tǒng)(2)中，是以最大可持續(xù)均衡收獲為管理目標(biāo)的．相應(yīng)于捕獲努力量h的可持續(xù)均衡收獲為

Y(h)=hx2h=hβη(γ2+h)[αβγ2+h-γ1-β].

令Y′(h)=0，解得h*=γ2(αβ-γ1γ2-βγ2)αβ+γ1γ2+βγ2.

為最優(yōu)捕獲努力量，由此可得最優(yōu)種群密度

x*2h=(αβ-γ1γ2-βγ2)(αβ+γ1γ2+βγ2)4αηγ22.

最大可持續(xù)均衡收獲為

YMSY=(αβ-γ1γ2-βγ2)24αηγ2.

4.2 幼年種群捕獲的情況

系統(tǒng)(3)存在平衡點(diǎn)，是方程組

{αx2(t)-γ1x1(t)-
βx1(t)-ηx21(t)-Ex1(t)=0
βx1(t)-γ2x2(t)=0

(11)

的解．易知O(0,0) 是系統(tǒng)(3)的一個(gè)平衡點(diǎn)．

定理4 當(dāng)αβγ1+β-γ1-β>E時(shí)，系統(tǒng)(3)存在唯一正平衡點(diǎn)且是穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)．

證明 由于方程組(11)有非零解(x1E,x2E)，其中

x1E=1η[αβγ2-γ1-E],
x2E=1ηβγ2[αβγ2-γ1-β-E].

故 當(dāng)αβγ1-γ1-β>E時(shí)為正平衡點(diǎn)．

J(x1E,x2E)=[-γ1-β-2ηx1E-Εα
β-γ2]=
[-αx2Ex1E-ηxEα
β-βx1Ex2E].

矩陣的特征值滿足方程

λ2+[(αx2Ex1E+ηx1E)+βx1Ex2E]λ+
(αx2Ex1E+ηx1E)βx1Ex2E-αβ=0.

不妨設(shè)方程的兩根為λ1,λ2.則就有

λ1+λ2<0,λ1λ2>0.

且

△=[(αx2Ex1E+ηx1E)+βx1Ex2E]2-
4(αx2Ex1E+ηx2Ex1E)βx2Ex1E+4αβ=
[(αx2Ex1E+ηx1E)-βx1Ex2E]2+4αβ>0.

故λ1<0,λ2<0,(x1E,x2E)是穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)．

易知,當(dāng)αβγ2-γ1-β≤E時(shí)種群因?yàn)檫^渡開發(fā)而滅絕．

捕獲是以最大可持續(xù)均衡收獲為管理目標(biāo)的，因此相應(yīng)于捕獲努力量E的均衡收獲函數(shù)為

Y(E)=Ex1E=Eη[αβγ2-r1-β-E].

令Y′(E)=0 解得E*=αβ-γ1γ2-βγ22ηγ2.為最優(yōu)捕獲努力量，由此得到最優(yōu)種群密度

x1E*=αβ-γ1γ2-βλ22ηγ2.

Y(E)的最大值為YMSY=(αβ-γ1γ2-βγ2)24η2γ22.

即最大可持續(xù)均衡收獲為

YMSY=(αβ-γ1γ2-βγ2)24η2γ22.

參考文獻(xiàn)：

[1]張安梅,等.基于年齡結(jié)構(gòu)的種群系統(tǒng)的最優(yōu)收獲控制[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2009,39(24):10-15．

[2]Chen L S. Models and research methods of mathematical ecology[M].Beijing: Science press,1998.199-231．

[3]Chen L S, Chen J. Nonlinear biodynamical system[M].Beijing: Science press, 1993.215-226．

[4]Clark C W. Mathematical biocenology the optimal management of renew able resource[M].New York:John Wiley & Sons, 1990.245-296．

[5]Song X Y, Chen L S. Optimal harvesting policy for a two species competitive system with stage structure [J]. Mathematical Biosciences．