郝連明

(吉林師范大學 數(shù)學學院，吉林 四平 136000)

1 中國古代數(shù)學中的無窮思想

中國古代無窮思想最早可以追溯到先秦時期，這一時期正是百家爭鳴，思想交流極其活躍的時期.從各學派的著作中，我們就可以找到對無窮的理解與思辨.就無窮思想而言，理解最深的當屬名家和墨家，“其書五車”的惠施與“詭辭數(shù)萬”的公孫龍對無窮問題做了深入的研究.在《莊子·天下》中有詳細記載，“至大無外，謂之大一；至小無內，謂之小一”， 意思是大到?jīng)]有外面，稱之謂無窮大，小到?jīng)]有里面，稱之謂無窮小.“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，一尺長的木棍，每天截取一半，永遠也截不完，意思是無窮小作為一個數(shù)量會永遠存在.這些都是名家的主要思想.在《墨經(jīng)》中我們也可以找到關于無窮思想的記載，“窮，或有前不容尺也”， 用尺來度量路程,如果量到前面只剩不到一尺的余地，那么這路程是‘有窮’的.如果繼續(xù)量前面總是長于一尺，那么這路程是‘無窮’的.這些都體現(xiàn)了墨家關于無窮問題的思考，正如英國學者李約瑟所認為的“從中國哲學的萌芽時代起，……連續(xù)概念和無限分割概念也已為名家——惠施的朋友們——清楚地表達出來了.”[1]不過這些對無窮的思考并不是基于數(shù)學運算的層面，而是中國早期對無窮思想的一系列探索，應該看作是哲學層面的思考.

從中國數(shù)學史上看，無窮思想第一次應用在數(shù)學上并有顯著成果的當屬劉徽，這位數(shù)學奇才將無窮思想用于數(shù)學的計算和證明，獲得了許多創(chuàng)造性的成果.特別是他在“割圓術”和“劉徽原理”方面顯示了對無窮思想的應用.在“割圓術”中他認為《九章算術》中“合徑率一而外周率三也”，極不嚴格.于是從圓內接正六邊形開始割圓，同時又明確指出“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”[2].正六邊形的面積隨邊數(shù)不斷增加而增加，但不會超過圓的面積.如果進行無限次分解，最后多邊形面積與圓的面積完全相等，這與“一尺之棰”的無窮思想是截然相反的，但是這種不同的理解并沒有引起數(shù)學家們的重視.可見，中國古代是一種實用的極限思想，這種極限思想在實用中取得成果后就被大家所接受了，至于是否嚴密就沒有多少人去關注了.劉徽還以此重新計算，得出π=3.14.在南北朝時期，祖沖之父子又進一步應用無窮思想將π值精確到3.1415926與3.1415927之間，而且祖暅在開立圓術提出了一條重要原理“祖暅原理”，也就是西方的卡瓦列里原理.這一原理實際上也是無窮小分量思想的應用.在劉徽、祖沖之父子之后中國數(shù)學雖有很大發(fā)展，但是在無窮思想方面卻沒有進步.縱觀中國數(shù)學史，從形式邏輯方面應用無窮思想的數(shù)學家實屬鳳毛麟角，這與西方數(shù)學中無窮的發(fā)展形成了鮮明的對比.

2 西方數(shù)學中的無窮思想

在公元前5世紀，古希臘人畢達哥拉斯(Pythagoras)認為事物的本質是由數(shù)構成的，也就是“萬物皆數(shù)”.而這里所說的數(shù)是指整數(shù)或者是整數(shù)之比，稱之為可公度量.然而無理數(shù)(無限不循環(huán)小數(shù))的發(fā)現(xiàn)使人們意識到不可公度量的存在，這一發(fā)現(xiàn)直接導致了以整數(shù)為基礎的宇宙模型的破產(chǎn).數(shù)學史的學者通常稱之為有關無窮的第一次數(shù)學危機.為了解決這一危機，柏拉圖轉向以幾何為基礎來建立宇宙模型.亞里士多德、歐多克斯通過給出比例，即兩個比相等的定義巧妙地繞開這一問題，而真正解決這一問題則是在19世紀現(xiàn)代實數(shù)理論建立之后.

在中世紀被打破，文藝復興到來，特別是資產(chǎn)階級革命席卷整個歐洲的時候，無窮再一次煥發(fā)了青春.當時直接涉及無窮的主要有兩類問題，一類是“求積問題”主要包括曲邊圖形的面積，曲面包圍圖形的體積、物體的重心以及液體的壓力等問題的計算；另一類是“微分問題”，這類問題包括曲線上任一點的切線、變量的極值以及物體運動的速度等問題的計算[3].這兩類問題為后來微積分的誕生以及關于無窮小問題的爭論埋下伏筆.

為了解決這一系列問題包括笛卡爾(Descartes)、費馬(Pierre de Fermat)在內的一批數(shù)學家對無窮小問題進行了大量的研究，但是這些工作明顯缺乏一般性.后來牛頓(Newton)和萊布尼茨(Leibniz，G.W.von)在總結前人的基礎上，分別從不同方向創(chuàng)立了微積分.當人們享受著微積分在實踐上的巨大作用時，關于無窮小量的研究，對于無窮小是0還是非0的問題，引起了數(shù)學上的一次爭論.數(shù)學史者們稱之為第二次有關無窮的數(shù)學危機.對于這個問題18世紀幾乎每一位數(shù)學家都進行了努力，在19世紀現(xiàn)代實數(shù)理論建立之后，魏爾斯特拉斯(Weierstrass，K.L.W)終于把柯西(Cauchy，A.-L)的極限論補充完整，誕生了ε-δ準則，完成了從無窮小分析到極限理論的演變，為微積分找到了邏輯基礎.

19世紀下半葉，康托爾(Cantor)創(chuàng)立了集合論，這是一個難以直觀理解和掌握的理論，特別是((阿列夫，aleph-null)的應用令外爾( Weyl，H)稱之為“霧上之霧”，正如M·克萊因(Kline，M.)所說“這些思想遠比前人曾經(jīng)引進過的想法更革命，要它不遭到反對那倒是一個奇跡” .這其中以克羅內克(Kronecker)最為堅決，直到死也沒有停止對康托爾的抨擊.隨著超限數(shù)理論在分析中的應用，特別是在測度論和拓撲學方面取得了一些成果，使廣大數(shù)學家認識到集合論的意義，因此，希爾伯特(Hilbert,David)說，“沒有人能把我們從Cantor為我們創(chuàng)造的樂園中開出去”[4].然而羅素(Russell,B.A.W.)的悖論又使人們陷入對無窮的思考.1921年，弗蘭克爾(Fraenkel)改進了策梅洛(Zermelo)的公理系統(tǒng)，形成了ZF公理系統(tǒng)，再加上正則公理和選擇公理而形成了ZFC公理系統(tǒng).這樣大致解決了集合論悖論.數(shù)學史上稱為有關無窮的第三次數(shù)學危機.同時這次危機也促使數(shù)學家們對數(shù)學進行深刻思考，形成了邏輯主義，直覺主義，形式主義三大學派，并進行了一場大辯論.

回顧這三次危機，實質上都是對無窮問題的探討，不僅如此，在其他歷史時期數(shù)學家們也沒有停止對無窮問題的探索，阿基米德(Archimedes)用“窮竭法”求錐體體積，開普勒(Johannes Kepler)用“同維無窮小法”求曲面酒桶的體積，笛卡爾用“重根法”求切線等等，可以說有關無窮問題的探索貫穿了整個西方數(shù)學史，以至于外爾曾說“數(shù)學是無限的科學”.從中我們也可以發(fā)現(xiàn)西方數(shù)學家、哲學家對無窮的追求，并不局限在解決實際問題上，他們更加注重無窮理論在邏輯上的嚴密性，從最開始對無窮有一個宏觀上的分析到后來定量的研究，使人們增大了對無窮的操作能力，同時也體現(xiàn)了西方數(shù)學家對確定性的追求.這也與中國數(shù)學家形成了鮮明的對比.

3 東西方數(shù)學無窮觀的比較

從上面對中西數(shù)學無窮思想發(fā)展歷史的簡述中我們可以很明顯的感覺到，中西數(shù)學中對無窮的關注程度是不同的，從數(shù)學文化史的角度分析可以認為造成這種結果主要有兩方面的原因，一是中西數(shù)學在整個民族文化價值觀中的地位不同.二是社會精英人才對數(shù)學的關注程度不同.

(1)中華民族發(fā)源于長江、黃河流域，處在一個相對封閉的地區(qū)，智慧、勤勞的中華民族較早的應用數(shù)學解決社會生活中的問題，形成了具有獨特概念、方法、運演規(guī)則、體系建構的籌算數(shù)學.而且籌算被列為六藝之中(禮、樂、射、御、書、數(shù))，也就是說在中國文化的傳統(tǒng)中數(shù)學只是一種“技藝”.隋唐宋三代都在國子監(jiān)設立算學，培養(yǎng)專門的數(shù)學人才，并且經(jīng)考試數(shù)學合格就可以做一些地位較低的官吏[5].宋代朱熹也曾指出：“古人志道據(jù)德而游于藝，然九數(shù)雖為最末事，若而今行經(jīng)界，則算法亦是有用.”由此可見僅作為一種工具性質的學問來看，中國古代對籌算給予了一定的重視.正因為籌算是一種解決生產(chǎn)、生活中實際問題的工具，所以它將會沿著更簡便、更實用的道路發(fā)展，最終向實用性更強的珠算發(fā)展.也正是因為此，中國的數(shù)學書籍都是以解決實際問題為主，《九章算術》就是很好的例子.中國的籌算經(jīng)過千百年的發(fā)展取得了巨大的成果，可是這種以解決問題為重心的實用數(shù)學無論怎樣發(fā)展都只是在技藝應用的層面，遠沒有上升到社會文化傳統(tǒng)的理性觀念和意識層面，不會被主流的儒家文化傳統(tǒng)所接受，這也就難怪北齊顏之推的《顏氏家訓》中說“算術亦是六藝要事，自古儒士論天道、定律歷者皆學通之，然可以兼明，不可以專業(yè)”.

古希臘文明發(fā)源于地中海沿岸一塊貧瘠的土地上，但幸運的是它處在眾多文明的環(huán)繞之中，智慧的古希臘人將這些文明成果整理、吸收、運用，最終創(chuàng)造出了人類歷史上偉大的文明成果.從“萬物皆數(shù)”的畢達哥拉斯開始，古希臘的數(shù)學就走上與其它民族截然不同的道路.《幾何原本》是從公理、公設及概念出發(fā)展開理性論證，運演過程明確地表現(xiàn)為邏輯三段論式的形式，這在中國古代數(shù)學中是極少出現(xiàn)的.可見，古希臘文化中數(shù)學并不是簡單的工具應用，數(shù)學在古希臘上升到一種理性認知的高度，通過數(shù)學去認識、解釋世界.齊民友先生告訴我們，西方數(shù)學是一種理性精神.深入追究我們可以看到在西方文化中，數(shù)學在古希臘是一種理性的信仰，在中世紀的基督教是一種宗教的情感，在現(xiàn)代的西方文明中數(shù)學是一種超越方法意義之上的理性精神.著名的數(shù)學史學者M·克萊因認為：“在最廣泛的意義上說，數(shù)學是一種精神，一種理性精神.正是這種精神，激發(fā)、促進、鼓舞和驅使人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活；試圖回答有關人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識的最深刻的和最完美的內涵.”[6]

這樣中西民族在對待數(shù)學上就產(chǎn)生了不同的看法，在中國古代數(shù)學是作為一門工具，用來解決生活中的問題，也將遵循實用的原則.而在西方文化中將數(shù)學看成了信仰，一種理性精神，是形而上的事情.所以與西方文明相比，中國古代明顯缺乏對籌算在精神層面的思考，自然也不會達到西方對數(shù)學的重視程度.

(2)在中西古代社會中，社會精英對數(shù)學關注的程度是不同的.數(shù)學作為一種文化理性，作為一種解釋世界的形式，數(shù)學吸引了整個民族中最優(yōu)秀的人才，從而就為古希臘乃至西方數(shù)學的發(fā)展創(chuàng)造了良好的人才基礎，然而在中國古代，籌算并沒有上升為理性，不在社會意識層面，而僅僅處在技藝層面，是形而下的器物實用技藝，這樣一來籌算自然不會吸引到這樣的精英份子.

儒家思想占據(jù)中國古代社會意識的主導地位，在漢代“獨尊儒術”后受到歷代君王的推崇，于是這也就成為仕大夫階層所追求的目標，顯然此時倫理道德成為社會的主流思想，在這種思想指導下，人們只會去關注三綱五常、四書五經(jīng)，而不會去在意“割圓術”.而在西方社會從古希臘時數(shù)學開始成為一種理性精神，就一直成為社會最精英人群所追求的對象，正如克萊因所指出:“為什么希臘人愛好并強調數(shù)學的抽象概念呢?我們不能回答這個問題,但應指出,早期希臘數(shù)學家是哲學家,而哲學家普遍地對希臘數(shù)學的發(fā)展有決定性的影響.哲學家喜歡搞觀念,并在許多領域里顯出他們搞抽象的典型作風.希臘哲學家對于真理、善良、慈愛和智慧就是這樣來思考的”[7].可見，在西方數(shù)學與哲學是密不可分的，也是一種智慧的象征，大概就是這個原因，柏拉圖才說“不懂幾何者禁入”.

通過對中西數(shù)學的對比我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學在兩個民族價值觀念中地位不同，社會精英人才對數(shù)學的關注也不同，這樣一來對數(shù)學中無窮的問題乃至對整個數(shù)學的關注自然也會產(chǎn)生不同的效果，所以出現(xiàn)上述無窮思想的不同發(fā)展狀況也就不足為奇了.

參考文獻：

[1]李約瑟.中國科學技術史 [M].第3卷.《中國科學技術史》翻譯小組,譯.北京:科學出版社,1978.316-317.

[2]白尚恕.中國數(shù)學史大系 [M].第3卷.北京:北京師范大學出版社,1998.88.

[3]周述岐.數(shù)學中無窮的歷史[J].自然辯證法研究,1988(2):12.

[4]M·克萊因.古今數(shù)學思想 [M].第4冊.上海:上海科學技術出版社,2002:70-72.

[5]孫宏安.中國古代數(shù)學思想[M].大連:大連理工大學出版社,2008:263.

[6]M·克萊因.西方文化中的數(shù)學[M].張祖貴,譯.北京:九章出版社,1996:8-9.

[7]M·克萊因.古今數(shù)學思想[M].第1冊.上海:上?？茖W技術出版社,2002:50.