王星博，李本威，陳定海，浦 鵬

（1.海軍航空工程學(xué)院 a.飛行器工程系，山東 煙臺(tái) 264001；b.青島分院，山東 青島 266041；2.91423 部隊(duì)，遼寧 大連 116000）

成敗型航空產(chǎn)品可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)抽樣數(shù)的研究是可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)規(guī)劃的一個(gè)重要方面。1992年，美國(guó)國(guó)防部科學(xué)顧問(wèn)Seglie E.A教授在一篇武器系統(tǒng)研究報(bào)告中首次提出成敗型產(chǎn)品的可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)問(wèn)題[1]。此后，這一問(wèn)題引起許多學(xué)者的關(guān)注，紛紛開始進(jìn)行相關(guān)研究。1996年Mu-Yeh Huang提出了MYOPIC可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)規(guī)劃模型[2-3]。受他的啟發(fā)，其他學(xué)者發(fā)展了不同的序慣決策模型。1997年和2003年Gaver D.P.教授以導(dǎo)彈研制試驗(yàn)為例，從消除產(chǎn)品失效模式角度提出和發(fā)展了一種Max-Min模型，并建立Bayes分析方法，得到產(chǎn)品研制試驗(yàn)的最佳試驗(yàn)量[4]。

國(guó)內(nèi)對(duì)這一問(wèn)題研究較少。國(guó)防科大劉飛等針對(duì)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)開展了成敗型產(chǎn)品可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)規(guī)劃研究，引入了Max-Min模型，取得了良好效果[5]。

本文從航空發(fā)動(dòng)機(jī)部件系統(tǒng)性缺陷數(shù)角度結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析處理建立數(shù)學(xué)模型，在初始故障數(shù)分別服從二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布的條件下，通過(guò)理論推導(dǎo)給出帶樣本最大似然估計(jì)值反饋循環(huán)修正的可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)數(shù)最小化最大準(zhǔn)則，為成敗型部件可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)抽樣數(shù)的確定提供了一種工程實(shí)用方法。

1 數(shù)學(xué)模型

對(duì)成敗型航空發(fā)動(dòng)機(jī)部件，作以下模型描述：產(chǎn)品總數(shù)為n；初始系統(tǒng)性缺陷數(shù)為F0；其導(dǎo)致的失效率均為p0；通過(guò)可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)這些缺陷。若試驗(yàn)失敗，則查找導(dǎo)致失敗的故障模式，改進(jìn)設(shè)計(jì)，盡可能地在以后的產(chǎn)品中消除此類故障。研究的問(wèn)題為如何合理的選擇試驗(yàn)抽樣數(shù)t，使余下的(n ? t)個(gè)產(chǎn)品成功數(shù)期望值最大[6]。

2 初始最小化最大停止準(zhǔn)則

若原始設(shè)計(jì)生產(chǎn)n個(gè)產(chǎn)品，不做可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)，此時(shí)該批產(chǎn)品的成功數(shù) R0服從成功率為的二項(xiàng)分布，即則條件期望為

如果隨機(jī)抽取t個(gè)產(chǎn)品樣本進(jìn)行可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)，其中一些失效，通過(guò)確定故障模式和設(shè)計(jì)改進(jìn)，從剩余產(chǎn)品中消除部分上述故障模式，使導(dǎo)致失敗的系統(tǒng)性缺陷數(shù)變?yōu)閠F。此時(shí)，剩余產(chǎn)品成功數(shù)期望為

任一次抽樣試驗(yàn)中，各種故障模式可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)，其出現(xiàn)概率為p0，假設(shè)出現(xiàn)了某種故障模式，通過(guò)改進(jìn)設(shè)計(jì)成功消除的概率為b，則t次試驗(yàn)后任一故障模式仍然存在的概率為(1 ? bp0)t，則 Ft關(guān)于 F0的條件分布為二項(xiàng)分布

由條件概率的性質(zhì)可得t次試驗(yàn)后剩余產(chǎn)品成功數(shù)的期望值為

因此，只要知道 F0的分布特征（函數(shù)），就可求得 E[Rt]。

取初始系統(tǒng)性缺陷數(shù) F0的分布律為P{F0}，若所有參數(shù)已知或可估計(jì)，則由式(4)可得到最佳試驗(yàn)量 t0=t0opt(n)，使剩余產(chǎn)品成功數(shù)期望值最大。實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，初始參數(shù) p0值不易確定，為消除E [Rt]與 p0的相關(guān)性，令 dE [Rt]dp0=0，求出 p0，使 E [Rt]取得最小值 Emin[Rt]。然后，基于可靠性增長(zhǎng)的原則應(yīng)選取使 Emin[Rt]最大的試驗(yàn)量，記為t0，這就是Max-Min準(zhǔn)則。

本文在初始系統(tǒng)性缺陷數(shù) F0符合不同的離散分布時(shí)，推導(dǎo)出了Max-Min準(zhǔn)則的表達(dá)式，如表1所示（推導(dǎo)過(guò)程略）。

表1 0F 不同分布條件下的最小化最大準(zhǔn)則表達(dá)式

3 逐次抽樣樣本估計(jì)值反饋修正方法

F0為部件初始系統(tǒng)性缺陷數(shù)，為離散分布的正整數(shù)，F(xiàn)t也是如此，但目標(biāo)值 E [Rt]卻不一定是整數(shù)，它只是剩余產(chǎn)品成功數(shù)期望大小的度量。同樣，我們也可將 F0定義為連續(xù)的隨機(jī)變量來(lái)衡量系統(tǒng)性缺陷的多少。實(shí)際上，航空發(fā)動(dòng)機(jī)部件結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性使系統(tǒng)性缺陷多樣化，有的缺陷用整數(shù)來(lái)度量往往無(wú)法準(zhǔn)確界定，用實(shí)數(shù)描述更為合理。

若初始系統(tǒng)性缺陷數(shù) F0的概率密度為f0(x),x≥0，其含有的參數(shù)為θ1、θ2、…、θk（k ∈ N）。此時(shí)，Emin[Rt]值只與n、θ1、θ2、…、θk（k∈ N）和t 有關(guān)，消除了 p0對(duì)初始試驗(yàn)量選擇的影響。

初始參數(shù) θ1、θ2、…、θk（k ∈ N）可由專家信息和相似系統(tǒng)試驗(yàn)出現(xiàn)的系統(tǒng)性故障數(shù)目統(tǒng)計(jì)得到，記為此時(shí)，我們可以按照初步求得的t0為實(shí)驗(yàn)量進(jìn)行抽樣試驗(yàn)。

對(duì)每一個(gè)產(chǎn)品的測(cè)試，只有成敗兩種結(jié)果，將其作為同分布的隨機(jī)變量Xi（i=1,2,…,t0），定義：

則可得：

式中：E[F0]為初始系統(tǒng)性缺陷數(shù)的數(shù)學(xué)期望，為θ1、θ2、…、θk的函數(shù)。

構(gòu)造似然函數(shù)

或?qū)?shù)似然函數(shù)

分別令

或者

解上述由k +1個(gè)方程組成的方程組，即可得到各參數(shù) θj（j=1,2,…,k）及 p0的最大似然估計(jì)值（對(duì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的似然函數(shù)可由不同數(shù)值計(jì)算法由計(jì)算機(jī)求得極大似然估計(jì)）。由初步試驗(yàn)數(shù)據(jù)得的估計(jì)參數(shù)顯然比先驗(yàn)參數(shù)及 p0更加可靠，因此，用這些估計(jì)參數(shù)代替原來(lái)的先驗(yàn)參數(shù)。

采用Max-Min準(zhǔn)則求得使 E [Rt]值最大的t值，記為t1。如 t1=0，則停止試驗(yàn)，最佳抽樣數(shù)取值為t0；如 t1≥ 1，說(shuō)明前述的抽樣不夠，應(yīng)追加試驗(yàn)。

接下來(lái)規(guī)劃可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)時(shí)，為保證最高效的抽樣數(shù)量，采用的方式是每做一次抽樣試驗(yàn)，充分利用樣本信息進(jìn)行初始值的反饋修正，最大程度上確保可靠性增長(zhǎng)的目標(biāo)。

再次抽樣試驗(yàn)的結(jié)果記為Xt0+1，與上次抽樣結(jié)果一起構(gòu)造新的似然函數(shù)，由式(5)～(7)求得新的參數(shù)估計(jì)值此時(shí)，剩余產(chǎn)品系統(tǒng)性缺陷數(shù)為

剩余部件產(chǎn)品數(shù)量為n ?(t0+1)。

成功數(shù)期望

再次求使 E [Rt]最大的t值，記為t2。

重復(fù)上述步驟，直到 tM+1=0，停止試驗(yàn)。

則總共進(jìn)行了 M + t0次抽樣試驗(yàn)，這就是我們尋找的最佳試驗(yàn)量，最終剩余產(chǎn)品數(shù)為n? (M + t0)，系統(tǒng)性缺陷數(shù)為：

剩余部件產(chǎn)品成功數(shù)期望值為

4 實(shí)例分析

研制生產(chǎn)的某航空發(fā)動(dòng)機(jī)部件數(shù)n=100個(gè)，隨機(jī)抽取部分樣品用于可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)，初始系統(tǒng)性缺陷數(shù)服從區(qū)間在(0,m)上的均勻分布，由歷史數(shù)據(jù)和專家信息初步確定先驗(yàn)分布參數(shù)m=10，期望

由式(4)得

將上述參數(shù)代入計(jì)算，得

按 t0=12抽樣，試驗(yàn)結(jié)果如表2所示：

表2 t0=12時(shí)可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)結(jié)果

由式(6)、(7)構(gòu)造最大似然函數(shù)，解得各參數(shù)的極大似然估計(jì)值。由式(8)解得 t1=4，應(yīng)繼續(xù)逐次抽樣試驗(yàn)，將試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)造新的似然函數(shù)，進(jìn)行新的參數(shù)估計(jì)。按本文的反饋修正方法進(jìn)行試驗(yàn)和計(jì)算，結(jié)果如表3所示。

表3 可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)計(jì)算，不進(jìn)行增長(zhǎng)試驗(yàn)，該批產(chǎn)品的系統(tǒng)性故障模式數(shù)期望為5，由式(4)可求得產(chǎn)品總體可靠度期望為71.44%；按照Max-Min準(zhǔn)則進(jìn)行可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)，抽樣數(shù)為12，剩余系統(tǒng)性故障模式數(shù)期望為3.003 5，由式(8)可求得剩余產(chǎn)品可靠度期望為86.44%。由表3可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)的產(chǎn)品可靠性得到較大程度的提高。采用本文所提出的抽樣反饋修正方法進(jìn)行可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)，抽樣共分三階段，抽樣數(shù)分別為12、1、1，總數(shù)為14，剩余產(chǎn)品數(shù)為86，由式(10)可求得系統(tǒng)性故障模式數(shù)期望為2.631 9，剩余產(chǎn)品成功數(shù)期望為72.643 7，可靠度期望為84.47%?？梢?jiàn)，通過(guò)試驗(yàn)的追加，故障模式數(shù)進(jìn)一步減少，但剩余產(chǎn)品可靠度期望也有所降低，這并不能說(shuō)明隨著試驗(yàn)的進(jìn)行，可靠性呈現(xiàn)負(fù)增長(zhǎng)，而是因?yàn)榇饲暗膮?shù)存在偏差，導(dǎo)致對(duì)產(chǎn)品的期望過(guò)于樂(lè)觀。采用本文的分階段抽樣反饋修正方法更加可信和穩(wěn)健。

5 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)部件可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)量的確定問(wèn)題進(jìn)行了初步研究。以剩余產(chǎn)品成功數(shù)期望值最大為目標(biāo)函數(shù)推導(dǎo)了幾種典型離散故障數(shù)分布情況下的Max-Min準(zhǔn)則，首次提出一種反饋修正方法，得到最佳試驗(yàn)量；采用上述方法對(duì)某發(fā)動(dòng)機(jī)部件進(jìn)行了可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)，效果明顯。由于模型假設(shè)針對(duì)部件產(chǎn)品的總體，不涉及其復(fù)雜的內(nèi)部構(gòu)造和子系統(tǒng)，因此，該方法具有較強(qiáng)的適應(yīng)性，在工程中也可用于各種成敗型或現(xiàn)場(chǎng)不可修產(chǎn)品可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)量的確定問(wèn)題。

但是，如果試驗(yàn)前對(duì)產(chǎn)品性能水平無(wú)法把握，缺乏合理的先驗(yàn)信息時(shí)，采用不同的分布類型及參數(shù)初始值，對(duì)過(guò)程中參數(shù)估值的影響和由此產(chǎn)生的偏差問(wèn)題不容忽視，尤其是抽樣數(shù)過(guò)少時(shí)，較少的樣本信息可能無(wú)法修正較大的先驗(yàn)值偏差，這些問(wèn)題還有待進(jìn)一步研究。

[1]SEGLIE E.How much testing is enough[R]//Paper Presented at the “Workshop on Statistical Issues in Defense Analysis and Testing” Sponsored by the National Research Council.Washington,D.C.,1992.

[2]HUANG MU-YEH,Douglas McBeth,Stephen B.Vardeman.Development test results[J].IEEE Transactions on Reliability,1995,3(45):189-198.

[3]HUANG MU-YEH.Design of developmental test programs for one-shot systems with two state reliability[D].Lowa State University,1995.

[4]GAVER D P,JACOBS P A.Probability models for sequential-stage system reliability growth via failure mode removal[J].International Journal of Reliability,Quality and Safety Engineering,2003,10(1):15-40.

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[6]劉飛,竇毅芳,張為華,等.固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)規(guī)劃初步研究[J].戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈技術(shù),2007(6):1-3.