摘 要:提出一種基于新模型的機(jī)器人計(jì)算力矩魯棒跟蹤控制。首先利用反饋控制技術(shù),把多關(guān)節(jié)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)化成一個(gè)線性狀態(tài)方程。然后基于此線性狀態(tài)方程,應(yīng)用李雅普諾夫函數(shù)設(shè)計(jì)思想,針對(duì)不確定性有界的要求,設(shè)計(jì)連續(xù)魯棒補(bǔ)償控制器來抑制不確定性對(duì)機(jī)器人控制系統(tǒng)的影響。根據(jù)所選控制器中個(gè)別參數(shù)的不同,分別使機(jī)器人系統(tǒng)滿足全局指數(shù)穩(wěn)定(GES),全局漸近穩(wěn)定(GAS)和全局一致終值有界(GUUB)。

關(guān)鍵詞:機(jī)器人;魯棒控制;指數(shù)穩(wěn)定;漸近穩(wěn)定;終值有界

中圖分類號(hào):TP242文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1004-373X(2009)19-116-03

Robust Tracking Control for Uncertain Robot

ZHOU Jinglei

(Heze University,Heze,274000,China)

Abstract:A new kind of computed torque robust tracking control for robots based on a new model is proposed.First,the robotic dynamical model is transformed into a linear state equation via feedback control technique.Then,based on the linear state equation together with the Lyapunov stability theory,the robust compensated controller corresponding to the bounded uncertainty is designed to attenuate the effect of unexpected uncertainty to robotic control systems.With the different parameter selected in the controller,the robotic systems can achieve Globally Exponentially Stable (GES),Globally Asymptotically Stable (GAS) and Globally Uniformly Ultimately Bounded (GUUB).

Keywords:robot;robust control;exponentially stable;asymptotically stable;ultimately bounded

0 引 言

過去一二十年里,對(duì)于不確定性機(jī)器人控制系統(tǒng)得到了廣泛的研究,產(chǎn)生了多種控制方法,有基于計(jì)算力矩控制[1-3],有基于自適應(yīng)控制策略[4,5],也有基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法[6,7]等。自適應(yīng)控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制屬于智能控制范疇,就目前而言,設(shè)計(jì)這方面的控制器還有一定的難度和復(fù)雜度,而基于計(jì)算力矩控制器,其理論簡(jiǎn)單,設(shè)計(jì)方便,這就是為什么在大多數(shù)應(yīng)用場(chǎng)合還會(huì)選擇這方面控制器的原因,這也使研究機(jī)器人的計(jì)算力矩控制器有著重要的意義。文獻(xiàn)[1,2]給出了一種不確定性機(jī)器人的魯棒跟蹤控制策略,通過改變控制器個(gè)別參數(shù)的取值范圍,可以達(dá)到三種穩(wěn)定性結(jié)果:GES,GAS和GUUB。不過文獻(xiàn)[1,2]所設(shè)計(jì)的控制器有需要改進(jìn)的地方:上述文獻(xiàn)對(duì)于機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)化的結(jié)果是一個(gè)復(fù)雜的模型,那么針對(duì)復(fù)雜模型所設(shè)計(jì)的控制器也將是復(fù)雜的;上述文獻(xiàn)所設(shè)計(jì)的控制器都是一分段控制器,這樣在不斷切換過程中將會(huì)產(chǎn)生一定的抖振現(xiàn)象?；诖?本文應(yīng)用反饋控制理論將機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的模型,然后設(shè)計(jì)出一連續(xù)控制器。理論和仿真證明,當(dāng)改變控制器的個(gè)別參數(shù),本文設(shè)計(jì)的控制器也能夠得到上述三種穩(wěn)定性結(jié)果。

1 數(shù)學(xué)準(zhǔn)備

引理1 設(shè)A,B為向量或矩陣,若有:

‖A‖≤a,‖B‖≤b

那么必有:

‖AB‖≤ab,A,B為合適維數(shù)的矩陣;‖ATB‖≤ab;A,B為相同維數(shù)的列向量。

引理2(指數(shù)穩(wěn)定性定理) 考慮如下非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng):

=f(x,t),x(t0)=x0, x∈Rn(1)

如果存在連續(xù)可微的正定函數(shù)V(x,t)及正常數(shù)λi(i=1,2,3),ε和α(α>λ3/λ2),使對(duì)于(x,t)∈Rn×R,有:

λ1‖x‖2≤V(x,t)≤λ2‖x‖2,

(x,t)≤-λ3‖x‖2+εe-αt

則系統(tǒng)狀態(tài)x(t)是按指數(shù)收斂的,并且有:

‖x(t)‖≤V(x0)λ1+ελ1(α-2β)1/2e-βt

式中:指數(shù)收斂率為β=λ3/(2λ2)。

引理3(漸近穩(wěn)定性引理) 對(duì)于系統(tǒng)式(1),如果有:

(x,t)≤-λ3‖x‖2+φ(t),φ(t)>0

且有l(wèi)imt→∞ φ(t)=0,則系統(tǒng)狀態(tài)x(t)是全局漸近收斂的。

引理4(終值有界性引理) 對(duì)于系統(tǒng)式(1),如果有:

(x,t)≤-λ3‖x‖2+ε

則系統(tǒng)狀態(tài)x(t)是終值有界的,并且有:

‖x(t)‖≤λ2λ1‖x(0)‖e -λt+λ0(1-e -λt )1/2

式中:λ0=ε/(λ1λ),λ=λ3/λ2。

2 機(jī)器人系統(tǒng)描述

基于拉格朗日方程的n關(guān)節(jié)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型可由下面二階非線性向量微分方程來描述:

M(q)+C(q,)+G(q)=τ+f(2)

式中:q,,∈Rn為關(guān)節(jié)的位移、速度及加速度;τ∈Rn為廣義關(guān)節(jié)力矩向量;M(q)∈Rn×n為機(jī)器人的慣性矩陣;C(q,)∈Rn×n為離心力、哥氏力的非線性耦合矩陣;G(q)∈Rn為重力項(xiàng);f∈Rn為外部不確定性干擾。該機(jī)器人模型具有如下性質(zhì)(有界性)[8]:M(q)為對(duì)稱正定矩陣,且對(duì)于所有的q都是有界的,即存在正數(shù)λm≤λM滿足如下不等式:

λm≤‖M(q)‖≤λM

對(duì)于外界不確定性干擾需要滿足假設(shè),即假設(shè)外界不確定性干擾f有界。

3 控制器設(shè)計(jì)

令h(q,)=C(q,)+G(q),則式(2)變?yōu)?

M(q)+h(q,)=τ+f(3)

定義機(jī)器人跟蹤誤差e=q-qd(qd為機(jī)器人的期望運(yùn)動(dòng)軌跡,為二階可導(dǎo))。把誤差代入式(3)可得:

M(q)(+d)+h(q,)=τ+f(4)

選擇如下魯棒控制律:

τ=M(q)(d-Kv-Kpe)+h(q,)+M(q)u(5)

式中:Kv,Kp為選定的正定增益陣,分別可理解為微分和比例增益。為簡(jiǎn)便起見,往往都可設(shè)其為對(duì)角陣。不難發(fā)現(xiàn),上述所選擇的控制律可以被看成是由兩部分組成的,不妨稱第一部分為前饋控制,它只與自身的結(jié)構(gòu)有關(guān);第二部分為反饋控制,它包含外界控制輸入量。把這兩部分分別記為:

τff=M(q)(d-Kv-Kpe)+h(q,)

τfb=M(q)u

當(dāng)不存在外界不確定性干擾時(shí),該機(jī)器人系統(tǒng)稱為標(biāo)稱系統(tǒng),在這種情況下,只用前饋控制就能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本文將要考慮不確定干擾,這種情況下僅用前饋?zhàn)饔镁筒荒鼙ＷC穩(wěn)定性,因此需要反饋控制來抵消不確定性干擾的影響,以增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性,那么下面的目的就是設(shè)計(jì)控制輸入u,使得機(jī)器人系統(tǒng)滿足一定的穩(wěn)定性目的。

由式(3)～式(5)得到系統(tǒng)誤差動(dòng)態(tài)方程:

M(q)(+Kv+Kpe)=M(q)u+f

進(jìn)一步可將其轉(zhuǎn)化成如下狀態(tài)方程:

=Ax+Bu+BM-1(q)f

x=e,A=0 I-Kp-Kv,B=0I

如果再令d=M-1(q)f,則得到更簡(jiǎn)單的線性狀態(tài)方程:

=Ax+Bu+Bd(6)

由于A是穩(wěn)定陣[9],根據(jù)李雅普諾夫函數(shù)穩(wěn)定性理論可知,對(duì)于任意給定的正定矩陣Q存在正定矩陣解P滿足下面的李雅普諾夫方程:

ATP+PA=-Q(7)

根據(jù)M(q)的有界性和對(duì)外界干擾f所做的假設(shè),則能夠找到一個(gè)正常數(shù)ρ滿足不等式(8):

‖d‖=‖M-1(q)f‖≤ρ(8)

由上面的描述,能夠建立下面的結(jié)論。

定理1 對(duì)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型所轉(zhuǎn)化成的模型式(6),采用如下連續(xù)魯棒控制律:

u=-BTPxρ2‖xTPB‖ρ+Ψ(t),Ψ(t)>0,衪>0(9)

當(dāng)Ψ(t)分別滿足引理2中Ψ(t)=εe-αt,引理3中l(wèi)imt→∞Ψ(t)=0和引理4中的Ψ(t)=ε或者limt→∞Ψ(t)=ε時(shí),系統(tǒng)可以分別達(dá)到三種不同的穩(wěn)定:GES,GAS和GUUB,顯然滿足GES也必滿足GAS。式中P為李雅普諾夫方程(7)的正定解。

證明:

對(duì)于系統(tǒng)(6)構(gòu)造如下李雅普諾夫函數(shù):

V(t,x)=12xTPx

顯然有:

λmin(P)‖x‖2≤‖V(t,x)‖≤λmax(P)‖x‖2

λmin(P)和λmax(P)分別是矩陣P的最小和最大特征值。

沿由系統(tǒng)(6)和(9)組成閉環(huán)系統(tǒng)的解軌跡,對(duì)李雅普諾夫函數(shù)V(t,x)進(jìn)行微分得:

(t,x)=12()TPx+xT12P

= 12xT(ATP+PA)x+xTPB(u+d)

把式(7)和式(9)代入上式,并進(jìn)行簡(jiǎn)單的通分化簡(jiǎn)即可得到:

(t,x)≤-12xTQx+‖xTPB‖ρ‖xTPB‖ρ+Ψ(t)Ψ(t)

進(jìn)一步化簡(jiǎn)得:

(t,x)≤-12λmin(Q)‖x‖2+Ψ(t)

式中:λmin(Q)為矩陣Q的最小特征值。

當(dāng)Ψ(t)分別滿足上述引理2～引理4中的不同條件時(shí),那么就會(huì)使系統(tǒng)滿足不同的穩(wěn)定,結(jié)論得證。

4 舉例仿真

以兩關(guān)節(jié)機(jī)器人機(jī)械手為例[10],說明所設(shè)計(jì)控制器的有效性。這里取期望軌跡為:

qd1=0.5sin t+0.1sin 3t-0.2sin 4t

qd2=0.1sin 2t+0.2sin 3t-0.1sin 4t

誤差初始值為:

e(0)=-1.0-0.5T,(0)=0.5-0.5T

再令Kp=diag(4,4),Kv=diag(2,2),Q=I4,ρ=2,λ1=10,λ2=6,λ3=3,α=5,φ(t)=1/(10t+1),f=[0.5sin t0.5sin t]T。仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 軌跡的誤差仿真曲線

圖1中每個(gè)圖都是仿真關(guān)節(jié)1的誤差曲線,從圖中不難看出它們都取得了很不錯(cuò)的結(jié)果。具體說來,第一個(gè)控制器(保證系統(tǒng)指數(shù)收斂)是最好的,使得系統(tǒng)狀態(tài)收斂速度既快又精確,第三個(gè)的收斂速度和精確度就稍遜一點(diǎn),不過能夠通過選擇收斂速度更快的函數(shù)φ(t)和更小的常數(shù)ε,使得GAS和GUUB更快,更精確。這里,選取圖1(a)中ε=6,圖1(c)中ε=0.005。

5 結(jié) 語

首先利用反饋控制技術(shù)把基于拉格朗日方程的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)化成一個(gè)線性模型,然后利用現(xiàn)代控制理論中李雅普諾夫函數(shù)思想設(shè)計(jì)出一個(gè)連續(xù)的魯棒控制器,通過改變控制器中個(gè)別參數(shù)能夠使機(jī)器人系統(tǒng)分別達(dá)到了三種穩(wěn)定性要求,即GES,GAS和GUUB。理論和仿真均說明該文中的方法和控制器都是有效的,這種方法還能夠用于其他方面的控制器設(shè)計(jì)中。

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