李 麗，劉 杰

(1.同濟(jì)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 201804；2.德州學(xué)院 計(jì)算機(jī)系，山東 德州 253023；3.復(fù)旦大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200433)

0 引言

供應(yīng)鏈上的很多制造型企業(yè)為客戶提供準(zhǔn)時(shí)化（Just In Time，JIT）供應(yīng)服務(wù)。在市場(chǎng)需求不確定情況下,由于制造業(yè)生產(chǎn)周期長(zhǎng)，供應(yīng)商為提供JIT服務(wù)，需要保持很高的庫(kù)存水平。然而，企業(yè)由于庫(kù)存成本有限，難以維持高的庫(kù)存水平，因而常常面臨缺貨的風(fēng)險(xiǎn)。傳統(tǒng)的EOQ模型不考慮缺貨的風(fēng)險(xiǎn)，因而不能很好地解決現(xiàn)實(shí)中的需求不確定環(huán)境中的訂貨量決策問(wèn)題。

有些情況下，供應(yīng)鏈上的市場(chǎng)需求具有模糊隨機(jī)性。當(dāng)市場(chǎng)需求被描述為隨機(jī)變量時(shí)，很多學(xué)者基于概率測(cè)度研究問(wèn)題。而當(dāng)需求為模糊變量時(shí)，學(xué)者們基于模糊數(shù)學(xué)體系中的可能性、必要性和可信性等測(cè)度（其中可信性測(cè)度被認(rèn)為是與概率測(cè)度平行的概念[1]）研究問(wèn)題。因此，在模糊隨機(jī)需求環(huán)境中，本文擬基于模糊隨機(jī)理論中的機(jī)會(huì)測(cè)度與模糊理論中的可信性測(cè)度方法探討庫(kù)存策略的訂貨量決策模型。Tan和Tang[2]基于可信性概念將CSL(Cycle Service Level,補(bǔ)給周期供給水平)定義為在一個(gè)補(bǔ)給周期中不出現(xiàn)貨物短缺的可信性。同樣地，本文基于模糊隨機(jī)機(jī)會(huì)測(cè)度方法表示補(bǔ)給周期供給水平，描述不發(fā)生缺貨的模糊隨機(jī)事件。

與Tan和Tang[2]的研究不同，本文假設(shè)提前期為固定值,提出模糊隨機(jī)需求的周期盤(pán)點(diǎn)庫(kù)存策略的訂貨量決策模型。針對(duì)管理者設(shè)置的不發(fā)生缺貨的置信水平，決策合理的訂貨量以最小化庫(kù)存成本，并通過(guò)計(jì)算示例分析對(duì)訂貨量的影響。

為方便表述，本文采用下列符號(hào)：

L——提前期；

T——檢查周期；

CSL——補(bǔ)給周期供給水平；

S——目標(biāo)庫(kù)存水平；

I——當(dāng)前周期檢查時(shí)的現(xiàn)有庫(kù)存；

Q——訂貨量；

h——單位產(chǎn)品的庫(kù)存持有費(fèi)用；

s——單位產(chǎn)品的缺貨費(fèi)用；

c1——訂貨費(fèi)、生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和配送費(fèi)用；

B1——庫(kù)存管理每周期最大的預(yù)算費(fèi)用；

B2——最大的存儲(chǔ)空間。

1 模糊隨機(jī)需求與不發(fā)生缺貨模糊隨機(jī)事件的數(shù)學(xué)描述

1.1 模糊隨機(jī)需求的數(shù)學(xué)描述及期望值的計(jì)算

本文利用模糊隨機(jī)變量刻畫(huà)具有模糊隨機(jī)性的市場(chǎng)需求。關(guān)于模糊隨機(jī)變量及可測(cè)性有多種定義，Puri M和Ralescue D[3]（1986）、Kruse R 和 Meyer K[4]（1987）以及 Liu Y和Liu B[5]（2003）根據(jù)各自理論和不同領(lǐng)域的要求，給出了不同的可測(cè)性，從而產(chǎn)生了不同的模糊隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)定義及測(cè)度方法。本文主要利用Liu B和Liu Y[6]（2002）、Liu Y和Liu B[7]（2003）、Liu B[1]（2004）提出的模糊隨機(jī)變量的相關(guān)理論（定義、測(cè)度及運(yùn)算方法）。

定義1[7]假設(shè)ξ是一個(gè)從概率空間（Ω，A，Pr）到模糊變量集合的函數(shù)。如果對(duì)于R上的任何Borel集B，Cr{ξ(ω)∈B}是ω的可測(cè)函數(shù),則稱ξ為一個(gè)模糊隨機(jī)變量。

定義2[7]設(shè)f:Rn→R是一個(gè)可測(cè)函數(shù)，并且ξi為定義在概率空間(Ω，A，Pr)上的模糊隨機(jī)變量，i=1,2,…，n，則 ξ=f(ξ1,ξ2,…，ξn)是一個(gè)模糊隨機(jī)變量，定義為 ξ(ω)=f(ξ1(ω)，ξ2(ω)，…，ξn(ω))。

定理1[1]如果模糊變量ξ的隸屬函數(shù)為μ，則對(duì)實(shí)數(shù)集上任意的集合B，有下面的結(jié)論成立：

根據(jù)定理1，設(shè)ξ是隸屬函數(shù)為μ的模糊變量，x和r為實(shí)數(shù)。模糊事件ξ≤r的可信性為

例如，設(shè) ξ為三角模糊變量(l1,l2,l3)，其中 l1、l2和 l3為清晰數(shù)，并且 l1＜l2＜l3，ξ的隸屬函數(shù)為

由⑴式可信性的公式得ξ≤r的可信性為：

Cr{ξ≤l1}＜Cr{ξ≤l2}時(shí)意味著模糊事件{ξ≤l2}比模糊事件{ξ≤l1}發(fā)生的機(jī)會(huì)大。Cr{ξ≤r}=1當(dāng)且僅當(dāng)預(yù)期事件 100%發(fā)生?；诳尚判詼y(cè)度，Liu and Liu[6]定義了的期望值，如定義3。

定義3[6]設(shè)ξ為可能性空間(Θ,P(Θ),Pos)上的模糊變量，ξ的隸屬函數(shù)為μ,r為實(shí)數(shù)。則稱

為模糊變量ξ的期望值（為了避免出現(xiàn)∞-∞情形，要求上式右端中兩個(gè)積分至少有一個(gè)有限）。尤其是，如果ξ是一個(gè)正的模糊變量，那么

定義4[6]設(shè)ξ為可能性空間(θ,p(θ),pos)上的一個(gè)模糊變量，f為 R→R 上的函數(shù)。 則 f(ξ)的期望值 E[f(ξ)]被定義為只要兩個(gè)積分中至少有一個(gè)是有限的。

在現(xiàn)實(shí)的不確定市場(chǎng)環(huán)境中，企業(yè)根據(jù)已有的各種信息描述未來(lái)不確定的需求以安排其生產(chǎn)計(jì)劃。設(shè)需求D～是一個(gè)從概率空間(Ω,A,Pr)到模糊變量構(gòu)成的集合的函數(shù)。Ω=(ω1,w2,…，wn)，d～1，d～2，…，d～n為正的模糊變量。 根據(jù)定義 1，定義需求D～為以下形式的模糊隨機(jī)變量

假設(shè)不確定市場(chǎng)環(huán)境下存在如市場(chǎng)需求比預(yù)計(jì)的需求量減少、與預(yù)計(jì)的需求量相當(dāng)、比預(yù)計(jì)的需求量增多等種隨機(jī)市場(chǎng)情形，用ωi表示不確定市場(chǎng)環(huán)境下的第種隨機(jī)市場(chǎng)情形，用pi(i=1,2,…，n)表示i種市場(chǎng)情形發(fā)生的概率。本文將需求表示為如下形式：

步驟 1：令 e=0。

步驟2：根據(jù)隨機(jī)市場(chǎng)情形因素ω的概率分布p{ωi}=pi，隨機(jī)抽取 ωi={ω1，ω2，…，ωM}∈Ω，得到

步驟3：利用模糊隨機(jī)模擬計(jì)算模糊需求期望值。

⑴令k=0。

⑵利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生技術(shù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，服從均勻分布，令Q=ai=r(ci-ai)

1.2 不發(fā)生缺貨模糊隨機(jī)事件的數(shù)學(xué)描述

對(duì)不發(fā)生缺貨這個(gè)事件的描述，在隨機(jī)的環(huán)境中使用概率測(cè)度或可能性測(cè)度。在模糊環(huán)境中，使用可信性測(cè)度。本文在模糊隨機(jī)環(huán)境中，使用平均機(jī)會(huì)測(cè)度。平均機(jī)會(huì)測(cè)度是一個(gè)模糊隨機(jī)事件的測(cè)度，描述了模糊隨機(jī)事件發(fā)生的平均機(jī)會(huì)。在文獻(xiàn)[6][9]中定義并應(yīng)用了平均機(jī)會(huì)。

定義 5[10][11]設(shè) ξ=(ξ1,ξ2,…，ξn)為定義在概率空間(0,A,Pr)上的模糊隨機(jī)向量，f:Rn→Rm為可測(cè)函數(shù)，則稱

Ch{f{ξ}≤0}(α)=sup{β|Pr{ω∈Ω|Cr{f(ξ(w))≤0}≥β}≥α}(9)為模糊隨機(jī)事件f(ξ)≤0的本原機(jī)會(huì)，它是從(0,1]到[0,1]的函數(shù)。

定義 6[12]設(shè) ξ=(ξ1,ξ2,…，ξm)是一個(gè)定義在概率空間(0,A,Pr)上的n維模糊隨機(jī)向量，函數(shù)f:Rn→Rm是一個(gè)可測(cè)函數(shù)，則稱為模糊隨機(jī)事件{f{ξ}≤0}的平均機(jī)會(huì)。

在一個(gè)補(bǔ)給周期中,不出現(xiàn)貨物短缺模糊隨機(jī)事件的平均機(jī)會(huì)測(cè)度用CSL來(lái)表示。在采用(T,S)策略的企業(yè)中,倉(cāng)儲(chǔ)管理者在給定的CSL下確定的訂貨量應(yīng)滿足以下條件：

CSL=Ch{一個(gè)周期內(nèi)的市場(chǎng)需求D～≤庫(kù)存水平S+期望缺貨量}

令 s=Q+I，則

管理者提供一個(gè)CSL的置信水平以表明管理者對(duì)不發(fā)生潛在缺貨事件的平均機(jī)會(huì)的置信水平。本文給出缺貨風(fēng)險(xiǎn)下庫(kù)存控制的衡量標(biāo)準(zhǔn)：SCL為管理者的庫(kù)存管理方案X的置信水平。如果

即不發(fā)生缺貨的平均機(jī)會(huì)測(cè)度大于管理者給出的置信水平，則方案X是安全的。現(xiàn)實(shí)世界中，如果CSL太低，將會(huì)降低供應(yīng)鏈企業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)力。

2 考慮缺貨風(fēng)險(xiǎn)的具有模糊隨機(jī)需求的訂貨量模型

本文假設(shè)企業(yè)生產(chǎn)一種類型的產(chǎn)品，單周期、單倉(cāng)庫(kù)。假設(shè)市場(chǎng)需求連續(xù)，每單位時(shí)間內(nèi)的需求量不確定。在(T,S)策略下，企業(yè)按照預(yù)定的間隔T定期檢查庫(kù)存，并提出訂貨，將庫(kù)存補(bǔ)充到目標(biāo)庫(kù)存量S。(T,S)控制策略下的存儲(chǔ)狀態(tài)變化如圖1所示。

則一個(gè)周期內(nèi)的缺貨量為

設(shè)c1為訂貨費(fèi)、生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和配送費(fèi)等費(fèi)用的和，定義一個(gè)周期內(nèi)的模糊隨機(jī)總費(fèi)用為則

即

模糊隨機(jī)市場(chǎng)需求下，管理者在不發(fā)生缺貨置信水平、預(yù)算費(fèi)用和庫(kù)存空間的約束下決策最優(yōu)訂貨量以最小化庫(kù)存管理的費(fèi)用期望值。模型的目標(biāo)函數(shù)為：

不發(fā)生缺貨置信水平的約束為：

對(duì)于不允許缺貨的模型，一般假設(shè)CSL的值很高。

如果管理者希望一個(gè)周期的庫(kù)存管理費(fèi)用不超過(guò)預(yù)算費(fèi)用，則關(guān)于預(yù)算資金的約束為：

其中，B1表示庫(kù)存管理每周期最大的預(yù)算資金。

如果倉(cāng)庫(kù)的最大空間容量為B2，則關(guān)于庫(kù)存空間的約束為：

綜合(13)～(16)式，模型為：

3 基于模糊隨機(jī)模擬的智能算法

得到機(jī)會(huì)函數(shù)的精確值是非常困難的，必須借助于模糊隨機(jī)模擬。本文整合模糊隨機(jī)模擬和遺傳算法求解一般情況下的模型問(wèn)題。算法中，先用模糊隨機(jī)模擬檢查約束的可行性并計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值，然后，模糊隨機(jī)模擬與遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）相結(jié)合解模糊隨機(jī)模型。

3.1 模糊隨機(jī)模擬

假設(shè)用Q表示決策變量。為求解提出的模型問(wèn)題，先處理下列兩種類型的不確定函數(shù)。第一種類型的不確定函數(shù)是

關(guān)于約束的不確定函數(shù)為以下形式：

令

則

因此，估計(jì) g2(g1,α)(ω)值的步驟如下。

步驟1：根據(jù)概率分布pr，從樣本空間Ω中抽取樣本ω1,ω2,…，ωN。

⑴令j=1。

⑶置 xj和 μ(xj)。

⑷j←j+1，如果j≤N，執(zhí)行步驟⑵；否則，執(zhí)行步驟⑸。

步驟3：置N'為αN的整數(shù)部分。

步驟 4：返回序列{β1,β2,…，βN}中第 N'個(gè)最大的元素。

估計(jì)平均機(jī)會(huì)(ω)dα 值）的步驟如下。

步驟1：隨機(jī)抽取N個(gè)獨(dú)立的服從u(0,1)的隨機(jī)數(shù)αi。

3.1.2 目標(biāo)函數(shù)

步驟 1：令 E=0。

步驟2：根據(jù)概率分布Pr，從樣本空間Ω中隨機(jī)抽取樣本 ωi。

F（yi）=yj=hmax{Q+I-xj,0}+smax{0,xj-Q-I}+c1

⑵計(jì)算,a=F(y1)∧F(y2)∧…∧F（yN），b=F(y1)∨F(y2)∨…∨F（yN）。

⑶從[a,b]中隨機(jī)產(chǎn)生z，z為任意實(shí)數(shù)。

⑹重復(fù)⑶～⑸步N次。

步驟5：重復(fù)步驟2至步驟3共N次。

步驟4：返回γ的值作為

3.2 基于模糊隨機(jī)模擬的智能算法設(shè)計(jì)

模型求解過(guò)程如圖2所示。

3.2.1 初始化

由約束函數(shù)1+Q≤B2和Q≥0得到可行集的區(qū)間[Bond1,Bond2]。從區(qū)間[Bond1,Bond2]中隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)染色體Q，對(duì)于CSL，使用模糊隨機(jī)模擬檢驗(yàn)染色體的可行性。如果成立，并且也成立，這里,染色體是可行的。保留此染色體。否則，隨機(jī)產(chǎn)生另一個(gè)染色體Q。繼續(xù)此初始化過(guò)程直到得到可行的pop_size個(gè)染色體。

3.2.2 選擇過(guò)程

通過(guò)旋轉(zhuǎn)賭輪選擇染色體，使得好的染色體有更多的機(jī)會(huì)產(chǎn)生后代。

在旋轉(zhuǎn)賭輪之前，通過(guò)模糊隨機(jī)模擬計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值 ，并按照目標(biāo)函數(shù)值從好到壞按照Q1,Q2,…，Qpop-size的順序重排染色體。對(duì)模型⒄，期望值越低，染色體越好。利用基于序的評(píng)價(jià)函數(shù)對(duì)每一染色體Q計(jì)算再生概率。給出參數(shù)β∈(0,1)，基于序的評(píng)價(jià)函數(shù) eval(Q)為 eval(Qi)=β(1-β)i-1,i=1,2,…pop-size，i=1意味著是最好的染色體，i=pop-size是最壞的染色體Qi。對(duì)于每個(gè)染色體，按以下公式計(jì)算累積概率：

p0=0，pi=eval(Q1)+eval(Q2)+…+eval(Qi)（i=1,2,…，pop-size）

從區(qū)間(0,Ppop-size]中隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)實(shí)數(shù)r,r落在(pi-1,pi]中的概率就是第i個(gè)染色體被選中的概率。概率與染色體的適應(yīng)度成比例。

旋轉(zhuǎn)賭輪。隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)(0,Ppop-size]中的實(shí)數(shù)r。如果Pi-1＜r≤Pi，選擇第 i個(gè)染色體 Qi(1≤i≤pop-size)。 重復(fù)這兩步pop_size次，選擇出pop_size個(gè)染色體。

3.2.3 交叉操作

預(yù)先確定參數(shù)pc作為遺傳系統(tǒng)的交叉概率。當(dāng)?shù)趇次從[0,1]中隨機(jī)產(chǎn)生的實(shí)數(shù)r小于pc時(shí)，選擇染色體Qi作為父代。

首先，從開(kāi)區(qū)間（0，1）中產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)e。然后通過(guò)交叉操作產(chǎn)生兩個(gè)新染色體X和Y。如果兩個(gè)子染色體可行，則用子染色體替代父染色體。否則，保留其中可行的染色體（如果存在的話），然后重新產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)e進(jìn)行交叉操作，直到獲得兩個(gè)可行的子染色體或完成給定次數(shù)的循環(huán)為止。僅用可行的子染色體替代父染色體。

3.2.4 變異操作

預(yù)先設(shè)置一個(gè)概率參數(shù)pm對(duì)選擇出來(lái)的父代染色體進(jìn)行變異。當(dāng)?shù)趇次選擇的從區(qū)間[0,1]隨機(jī)產(chǎn)生的實(shí)數(shù)r小于pm時(shí)，將染色體Qi作為父染色體。令Q表示一個(gè)被選擇的父染色體，以下列方式進(jìn)行變異。

隨機(jī)在(-1,1)中選擇一個(gè)變異方向D。令M為一個(gè)合適大的正數(shù)。如果Q+MD可行，用這個(gè)新染色體作為子染色體。否則，將M作為0和M之間的一個(gè)隨機(jī)數(shù)，這樣又得到了一個(gè)新的染色體，再檢驗(yàn)其可行性，直到新的染色體可行為止。如果在一個(gè)預(yù)先設(shè)定的迭代次數(shù)內(nèi)不能發(fā)現(xiàn)一個(gè)可行解，令M=0。任何情況下，僅用Q=Q+MD替代父染色體Q。

進(jìn)行選擇、交叉和變異后，得到新的染色體，準(zhǔn)備下一輪的進(jìn)化。對(duì)上述步驟經(jīng)過(guò)給定的循環(huán)次數(shù)之后，算法終止。

4 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證優(yōu)化思想并測(cè)試設(shè)計(jì)的算法的有效性，本文給出一個(gè)數(shù)值例子。

例1.假設(shè)VMI模式下，供應(yīng)商估計(jì)的下游企業(yè)的需求為

表1 VMI庫(kù)存系統(tǒng)參數(shù)值

設(shè)定算法中的 pop-size=50,β=0.05,pc=0.3,pm=0.2，遺傳迭代1000次，運(yùn)行智能算法。對(duì)給定的CSL的置信水平，求得模型⒄的結(jié)果如表2所示，相應(yīng)的最小期望費(fèi)用也如表2所示。為了滿足條件約束并最小化訂貨量選擇所得到的期望費(fèi)用，管理者應(yīng)該按表2決策訂貨量。

圖3表明CSL對(duì)訂貨量的影響，結(jié)果符合真實(shí)的決策行為。

為了進(jìn)一步測(cè)試設(shè)計(jì)的算法的效率，對(duì)GA中不同的參數(shù)值做了更多的試驗(yàn)。結(jié)果見(jiàn)表3。按照公式“相對(duì)誤差=（(實(shí)際期望值-最優(yōu)期望值)/最優(yōu)期望值）×100%”，計(jì)算出相對(duì)誤差，其中最優(yōu)期望值是所有計(jì)算出的最優(yōu)目標(biāo)值中最小的。對(duì)比目標(biāo)函數(shù)值的結(jié)果，從表3可以看出當(dāng)設(shè)置不同的參數(shù)值時(shí)相對(duì)誤差不超過(guò)0.003%，這表明對(duì)設(shè)置的參數(shù)來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)的算法是魯棒的，對(duì)解模型問(wèn)題⒄來(lái)說(shuō)，算法是有效的。

5 結(jié)論

在模糊隨機(jī)環(huán)境中，市場(chǎng)需求是不確定的。由于庫(kù)存成本等條件的限制，企業(yè)常常面臨缺貨的風(fēng)險(xiǎn)?；谀：S機(jī)事件的機(jī)會(huì)測(cè)度，本文提出不發(fā)生缺貨的模糊隨機(jī)事件的測(cè)度方法。提出當(dāng)市場(chǎng)需求被描述為模糊隨機(jī)變量時(shí)，不發(fā)生缺貨置信水平、預(yù)算資金及庫(kù)存空間約束的訂貨量問(wèn)題的模型。此外，設(shè)計(jì)基于模糊隨機(jī)模擬的智能算法來(lái)解一般的模型問(wèn)題。數(shù)值算例的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于解優(yōu)化問(wèn)題，設(shè)計(jì)的算法對(duì)于設(shè)定的參數(shù)是魯棒的和有效的，在提出的算法中，解的時(shí)間主要花在模糊隨機(jī)模擬上。如果能用一個(gè)解析方法來(lái)化簡(jiǎn)模型，能大大縮短解的時(shí)間。

表2 例1的解的比較

表3 例1解的比較(pop-size,β=0.05,Pc=0.3,Pm=0.2)

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