程海森 ，石 磊

（1.云南財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，昆明 650221；2.大同大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，山西 大同 037009）

在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，多水平模型的應(yīng)用研究并不多，在國內(nèi)文獻(xiàn)中，目前未見多水平模型應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)問題的研究。在此問題研究中，國家、省、地區(qū)、縣和鄉(xiāng)的眾多經(jīng)濟(jì)指標(biāo)數(shù)據(jù)就存在著明顯的層次結(jié)構(gòu)，即可視為多水平數(shù)據(jù)。在利用生產(chǎn)函數(shù)研究經(jīng)濟(jì)問題中，許多研究目前都基于傳統(tǒng)的OLS理論進(jìn)行分析，而且大多情況下，模型估計(jì)效果并不是很好。因此本文擬將多水平模型引入C-D生產(chǎn)函數(shù)，通過實(shí)證分析建立多水平C-D生產(chǎn)函數(shù)，并研究多水平模型的模型擬合效果、異方差特征和參數(shù)異質(zhì)性問題。

1 變量指標(biāo)介紹

本文在研究中涉及的變量或指標(biāo)如下：

（1）實(shí)際 GDP-Y（1978年為基期）。GDP分為名義 GDP與實(shí)際GDP兩種，通常在統(tǒng)計(jì)年鑒中得到的是名義GDP，它是用現(xiàn)期價(jià)格衡量的物品與勞務(wù)的價(jià)值，而實(shí)際GDP是用不變價(jià)衡量的物品與勞務(wù)的價(jià)值。它們之間相差一個(gè)通貨膨脹的因素。因此，本文用實(shí)際GDP來粗略刻畫收入。實(shí)際GDP可以由以下計(jì)算方法。

由以上兩試可聯(lián)立解出實(shí)際GDP。由于搜集資料不同，本文采用的是第二種實(shí)際GDP計(jì)算方法 （與其他作者用第一種方法估計(jì)出的結(jié)果完全一致）。Yit表示第i個(gè)地區(qū)第t時(shí)間的實(shí)際GDP。

（2）勞動(dòng)力—L。本文采用1997～2007年間，各省就業(yè)人員數(shù)進(jìn)行估算。Lit表示第i個(gè)地區(qū)第t時(shí)間的從業(yè)人數(shù)。

（3）資本存量—K（1978年為基期）。資本本身是一個(gè)寬泛的概念，廣義的資本可以包括物質(zhì)資本、人力資本和土地。雖然少數(shù)研究考慮或討論了土地和人力資本，但是大部分研究在估計(jì)資本存量時(shí)，僅指嚴(yán)格意義上的物質(zhì)資本，本文也將遵循這一傳統(tǒng)。目前已被普遍采用的測(cè)算資本存量的方法是戈登史密斯（Goldsmith）在1951年開創(chuàng)的永續(xù)盤存法。所以本文中所采用的是在估計(jì)一個(gè)基準(zhǔn)年后運(yùn)用永續(xù)盤存法按不變價(jià)格計(jì)算各省區(qū)市的資本存量。資本存量的估算公式為：Kit=Kit-1(1-δit)+Iit， 其中 i指第 i個(gè)省市，t指第 t年。上式一共涉及到四個(gè)變量：①當(dāng)年投資I的選??；②投資品價(jià)格指數(shù)的構(gòu)造，以折算到不變價(jià)格；③經(jīng)濟(jì)折舊率的確定；④基年資本存量K的確定。本文根據(jù)用資本形成表示投資流量I，將經(jīng)濟(jì)折舊率設(shè)為10%，從而對(duì)資本存量進(jìn)行估算（與其他作者估算結(jié)果一致，且將數(shù)據(jù)推算至2007年）。Kit表示第i個(gè)地區(qū)第t時(shí)間的資本存量。

（4）對(duì)外開放度-DWKF。對(duì)外開放是一個(gè)從沿海地區(qū)向內(nèi)陸擴(kuò)展的過程，我國的對(duì)外開放，就是為本土經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)化引入外部動(dòng)力。指標(biāo)的具體測(cè)算方法如下：人們習(xí)慣上用出口依賴度(出口額/GDP)來反映經(jīng)濟(jì)外向型的程度，很顯然，出口并不是對(duì)外開放的唯一內(nèi)容。所以本文采用包括國際貿(mào)易、利用外資（包括港、澳、臺(tái)）兩方面內(nèi)容的對(duì)外開放指數(shù)(即這幾方面指標(biāo)占GDP比重的加權(quán)平均數(shù))來表示對(duì)外開放的程度，其公式如下:

DWKFi表示第i個(gè)地區(qū)對(duì)外開放程度。在分析改革開放以來制度對(duì)經(jīng)濟(jì)增長的貢獻(xiàn)研究中，對(duì)外開發(fā)程度是制度要素的一個(gè)重要組成指標(biāo)，因此本文選取了對(duì)外開放程度這一指標(biāo)進(jìn)行異質(zhì)性研究。

2 數(shù)據(jù)選取說明

數(shù)據(jù)分別來自《新中國50年統(tǒng)計(jì)資料匯編》、《中國統(tǒng)計(jì)年鑒2007》、《中國統(tǒng)計(jì)年鑒2008》和國泰安宏觀數(shù)據(jù)庫。數(shù)據(jù)截取了1997～2007年各個(gè)省份的不同指標(biāo)。由于海南、重慶和西藏缺失數(shù)據(jù)較多，因此省略了這三個(gè)地區(qū)的數(shù)據(jù)（將重慶1996年后的數(shù)據(jù)歸入四川省）。因此各指標(biāo)變量的取值范圍是：i=(1，2，…，28)；t=(1，2，…，11)。在該數(shù)據(jù)中，省區(qū)可以看成是一個(gè)二層次水平，省區(qū)在各年度的觀測(cè)可以看成是一層次數(shù)據(jù)，因此具有層次結(jié)構(gòu)。下面我們利用對(duì)水平模型驗(yàn)證層次分析的必要性以及相應(yīng)的建模過程。

3 多水平建模分析

3.1 多水平模型建立的必要性判定

首先對(duì)實(shí)際GDP計(jì)算組內(nèi)相關(guān)系數(shù)ICC，檢驗(yàn)是否存在組內(nèi)相關(guān)。如果數(shù)據(jù)集的ICC或組間方差統(tǒng)計(jì)不顯著（無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義），則可對(duì)該數(shù)據(jù)集進(jìn)行多元回歸模型分析，而不需要多水平模型分析；反之，如果統(tǒng)計(jì)顯著，則應(yīng)該考慮對(duì)其進(jìn)行多水平模型分析。建立截距模型（intercept-only model）,又稱空模型，或無條件均值模型：

該模型的水平 1 和水平 2 均沒有解釋性變量，eit～N（0，σ2）為相互獨(dú)立的水平 1 殘差，μit～N（0，）為相互獨(dú)立的截距項(xiàng)水平 2 殘差，cov(μoi,eit)=0，（2）式帶入（1），得到一個(gè)具有隨機(jī)效應(yīng)的方差分析模型：

其中，γ00是固定效應(yīng)部分，表示總截距，代表log(Y)it的總均值，μ0i+eit是隨機(jī)效應(yīng)部分；σ2表示省內(nèi)方差或個(gè)體水平方差，則表示省間方差。由RIGLS估計(jì)可得=6.897，σ^2=0.8（p-value=0.0002），=0.123（p-value＜0.0001），二者均統(tǒng)計(jì)顯著，表明GDP的初始水平在各省之間有著顯著不同，且存在顯著的對(duì)象內(nèi)變異。根據(jù)經(jīng)典定義 （Shrout&Fleiss,1979）,ICC被定義為組間方差與總方差之比：ICC=）=0.1333，表示13.33%的總變異是由省間的異質(zhì)性引起的。由于各指標(biāo)均統(tǒng)計(jì)顯著，因此可以推斷ICC是統(tǒng)計(jì)顯著的，從而需要進(jìn)行多水平模型分析。

本文以C-D生產(chǎn)函數(shù)為基礎(chǔ)分析資本對(duì)GDP的貢獻(xiàn)。對(duì)C-D函數(shù)Y=AKβLα兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)變形為：log(Y)=log(A)+βlog(K)+αlog(L)，再令 log(Y)=Y'，log(A)=A',log(K)=K',log(L)=L'。

在多水平模型建立的過程中，為了進(jìn)行模型之間的比較，采用計(jì)算出各自模型下-2log(likelihood)的數(shù)值，通過其差值大小的顯著性來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷母倪M(jìn)，其根據(jù)是在大樣本情形，-2log(likelihood)服從自由度為q的x2分布，其中q為對(duì)應(yīng)于比較模型涉及的參數(shù)個(gè)數(shù)差，令D=-2log(like)作為比較模型優(yōu)劣評(píng)價(jià)參數(shù)。對(duì)于多水平模型的參數(shù)估計(jì)可采用IGLS估計(jì)方法（迭代廣義最小二乘估計(jì)方法）或RIGLS估計(jì)方法（限制迭代廣義最小二乘估計(jì)方法），是固定效應(yīng)參數(shù)的估計(jì)和隨機(jī)效應(yīng)參數(shù)的估計(jì)交替進(jìn)行的過程，當(dāng)?shù)諗繒r(shí)迭代結(jié)束。已經(jīng)證明，不同水平殘差項(xiàng)在正態(tài)假設(shè)下，參數(shù)的IGLS估計(jì)等價(jià)于極大似然估計(jì) （EML），RIGLS估計(jì)等價(jià)于限制極大似然估計(jì)（REML）。具體理論這里不再詳細(xì)介紹。

3.2 混合數(shù)據(jù)模型

首先考慮建立數(shù)據(jù)模型：

其中 eit～N（0，σ2）為相互獨(dú)立的殘差，首先，此 C-D 生產(chǎn)函數(shù)的建立是在全國的角度上，將各省各年份的數(shù)據(jù)作為同一水平的樣本量，因此也可稱其為一水平線性模型。其次，本文重點(diǎn)考慮的是基于數(shù)據(jù)的不同水平（層次）而建立相應(yīng)的多水平C-D生產(chǎn)函數(shù)模型及參數(shù)異質(zhì)性的問題，因此建模過程中未考慮時(shí)間趨勢(shì)的影響。

3.3 無條件兩水平模型

考慮無條件的兩水平模型

表1 無條件兩水平模型（7）與混合數(shù)據(jù)模型（4）的參數(shù)估計(jì)對(duì)比表

混合數(shù)據(jù)模型（4）是應(yīng)用OLS估計(jì)一般C-D生產(chǎn)函數(shù)的參數(shù)，其參數(shù)估計(jì)結(jié)果在0.05的水平上均比較顯著，其殘差方差為0.059較小，-2log(like)值為868.2363。無條件兩水平模型 （7）（即是對(duì)混合數(shù)據(jù)模型的常數(shù)項(xiàng)與資本的系數(shù)根據(jù)水平結(jié)構(gòu)隨機(jī)化）則是應(yīng)用RIGLS估計(jì)（限制迭代廣義最小二乘估計(jì)）多水平C-D生產(chǎn)函數(shù)模型的參數(shù)，由估計(jì)結(jié)果顯示。首先，此模型的2log(like)值為-507.518，2log(like)值越小模型擬合越好，且模型二與模型一下2log(like)的差為1375.7543，與自由度為3的χ2分布的臨界值（置信水平設(shè)為0.05，χ3(3)=7.815）相比是顯著的；其次，無條件兩水平模型（7）對(duì)殘差根據(jù)水平進(jìn)行了分解，與混合數(shù)據(jù)模型（4）比較方差σ2由0.059變?yōu)?.006，有了很大程度的減少，兩模型中所有估計(jì)參數(shù)均顯著，因此無條件兩水平模型（7）比混合數(shù)據(jù)模型（4）有了很大程度的改善，但常數(shù)項(xiàng)統(tǒng)計(jì)不顯著，需建立改進(jìn)模型。

3.4 單變量條件兩水平模型

考慮單變量條件的兩水平模型

eit～N（0，σ2）為相互獨(dú)立的水平 1 殘差，μot～N（0，）為相互獨(dú)立的截距項(xiàng)水平 2 殘差，μit～N（0，）為相互獨(dú)立的斜率項(xiàng)水平 2 殘差，cov(μot，μli)=σu01，不同水平殘差間相互獨(dú)立。此時(shí)在資本彈性系數(shù)隨機(jī)化時(shí)，加入二水平影響變量（DWKFi對(duì)外開放度），DWKFi變量是來自于第二水平 （各?。┑臄?shù)據(jù)，即DWKFi表示第i個(gè)省的對(duì)外開放程度。將模型（9）帶入（8），得到

由RIGLS估計(jì)結(jié)果為：

表2 單變量條件兩水平模型（10）與無條件兩水平模型（7）的參數(shù)估計(jì)對(duì)比表

單變量條件兩水平模型（10）與無條件兩水平模型（7）相比，是在資本的系數(shù)做二水平隨機(jī)時(shí)加入了二水平條件變量DWKFi（對(duì)外開放程度）。首先，模型三的-2log(like)值為-541.248，與模型二下-2log(like)的差為33.73，與自由度為2的χ2分布的臨界值（置信水平設(shè)為0.05，χ2(2)=5.991）相比是顯著的，所有參數(shù)在0.05水平上均顯著；其次，單變量條件兩水平模型比無條件兩水平模型更詳細(xì)的刻畫了資本系數(shù)的異質(zhì)性，因此單變量條件兩水平模型為較優(yōu)模型。

本文在建立多水平C-D生產(chǎn)函數(shù)模型時(shí)，對(duì)截距項(xiàng)、勞動(dòng)系數(shù)也分別進(jìn)行了多水平建模分析，由于參數(shù)估計(jì)的結(jié)果在統(tǒng)計(jì)上均不顯著，因此在文章中將此部分略去。

3.5 模型解釋及主要結(jié)論

由單變量條件兩水平模型（10）得出多水平C-D函數(shù)為：

其中勞動(dòng)彈性系數(shù)α=0.334，資本彈性系數(shù)則是一個(gè)變量，是隨DWKFi（各省的對(duì)外開放程度）變化而變化的，其形式為：βi=0.672+0.199DWKFi。對(duì)于生產(chǎn)函數(shù)而言，討論規(guī)模報(bào)酬變動(dòng)是考量α+β的數(shù)值，當(dāng)α+β＞1時(shí)規(guī)模報(bào)酬遞增，當(dāng)α+β＜1時(shí)規(guī)模報(bào)酬遞減，當(dāng)α+β=1時(shí)規(guī)模報(bào)酬不變，在本結(jié)論中規(guī)模報(bào)酬的判定具有函數(shù)形式：α+βi=1.006+0.199×DWKFi，由于DWKFi為正值，則可以判定建立我國1997年到2007年期間的多水平C-D函數(shù)具有規(guī)模報(bào)酬遞增的特性，而且遞增速度的快慢是由DWKFi調(diào)節(jié)的。勞動(dòng)力對(duì)GDP的貢獻(xiàn)份額為勞動(dòng)力對(duì)經(jīng)濟(jì)增長的貢獻(xiàn)與對(duì)外開放程度成反向關(guān)系，即勞動(dòng)貢獻(xiàn)率隨著對(duì)外開放程度的增大而減??；資本對(duì)GDP的貢獻(xiàn)份額為：，其與對(duì)外開放程度成正向關(guān)系，由勞動(dòng)和資本各自貢獻(xiàn)份額的函數(shù)形式可知，在1997～2007年期間，資本對(duì)經(jīng)濟(jì)增長的貢獻(xiàn)約為勞動(dòng)對(duì)經(jīng)濟(jì)增長貢獻(xiàn)的兩倍左右，且兩者均是的函數(shù)。由分析結(jié)果可得其余要素的變動(dòng)均基于資本彈性系數(shù)的異質(zhì)性，即各省資本彈性系數(shù)是隨著DWKFi的變化而變化，因此根據(jù)各省的DWKFi指標(biāo)，可分別估算出各省的資本貢獻(xiàn)份額，具體結(jié)果如圖1所示，其中橫坐標(biāo)按DWKFi指標(biāo)由小到大排序。

由圖1可知，廣東、上海、天津、江蘇四省市的資本貢獻(xiàn)份額均在68.5%以上，表示這些地區(qū)資本投入量及對(duì)GDP的貢獻(xiàn)均較高，且這些地方均為東部沿海省份，也是改革開放政策施行以來的首批試點(diǎn)省份，其較高的對(duì)外開發(fā)程度導(dǎo)致吸收較多的資本量，從而推動(dòng)GDP的高速增長；福建、北京、遼寧、吉林、浙江、山東六省次之，資本的貢獻(xiàn)份額在67.5～68%，這些地區(qū)的改革開放政策與廣東、上海、天津、江蘇四省相比實(shí)施較晚，因此其對(duì)外開放程度、資本吸收程度均次之；而其他省份的資本貢獻(xiàn)份額大都保持在66～68%之間。由此說明一地區(qū)資本對(duì)GDP的貢獻(xiàn)大小與此地區(qū)對(duì)外開放程度成正比，對(duì)外開放程度越高資本對(duì)GDP的貢獻(xiàn)份額越大。

4 結(jié)論

宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)明顯呈現(xiàn)多種水平結(jié)構(gòu)（或?qū)哟谓Y(jié)構(gòu)），基于多水平數(shù)據(jù)提出的多水平模型在理論上首先是適用的。通過實(shí)證分析，多水平模型較一般模型而言有其獨(dú)特之處：（1）多水平模型的建立是完全基于數(shù)據(jù)的層次結(jié)構(gòu)，特別是在變量的選取上，按不同的水平選取不同的變量；（2）在參數(shù)估計(jì)方法上采用的是迭代廣義最小二乘估計(jì)和限制迭代廣義最小二乘估計(jì)；（3）對(duì)回歸系數(shù)、各水平殘差的方差和協(xié)方差均給出了估計(jì)和統(tǒng)計(jì)推斷過程，對(duì)全面研究模型結(jié)構(gòu)和處理實(shí)際問題提供了更詳細(xì)的信息；（4）在描述參數(shù)的異質(zhì)性問題上，多水平模型提出了詳細(xì)的函數(shù)結(jié)構(gòu)，這使得研究變量關(guān)系變得較為明顯。

通過多水平C-D生產(chǎn)函數(shù)模型估算的資本的貢獻(xiàn)份額再次證明，首先我國保持較高經(jīng)濟(jì)增長速度的主要源動(dòng)力任然是資本要素，資本貢獻(xiàn)份額較高的省份仍然集中于東部地區(qū)，中西部地區(qū)相對(duì)較弱，而資本要素在各省之間的差異與各地區(qū)間的對(duì)外開發(fā)程度有著密切的關(guān)系；其次，在我國中西部地區(qū)對(duì)外開發(fā)程度與東部地區(qū)差距仍然較大。因此我國在走可持續(xù)發(fā)展道路的同時(shí)，應(yīng)繼續(xù)加大中西部地區(qū)的開發(fā)力度，從而保證我國整體經(jīng)濟(jì)穩(wěn)步增長。

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