高 鵬 謝里陽

東北大學(xué),沈陽,110004

0 引言

機(jī)械零件及系統(tǒng)的載荷一般可以用復(fù)雜的時(shí)間-載荷歷程來描述,也即可以用隨機(jī)過程來對載荷歷程進(jìn)行數(shù)學(xué)描述。因此,當(dāng)零件承受載荷多次作用時(shí),則不能簡單地應(yīng)用載荷-強(qiáng)度干涉模型進(jìn)行計(jì)算,而應(yīng)該從載荷歷程的統(tǒng)計(jì)特性出發(fā),考慮載荷作用次數(shù)對于零件及系統(tǒng)可靠度的影響。近年來,有學(xué)者對載荷多次作用下零件的可靠度計(jì)算進(jìn)行了研究[1-5]。文獻(xiàn)[4]假設(shè)強(qiáng)度不退化,分析了載荷作用次數(shù)對可靠度的影響。文獻(xiàn)[5]通過遞推公式得到多級(jí)載荷下考慮強(qiáng)度退化的可靠度計(jì)算。但是,這些模型中沒有考慮載荷的隨機(jī)性,并且沒有對載荷的隨機(jī)歷程進(jìn)行詳細(xì)闡述,導(dǎo)致模型中隨機(jī)變量物理意義不明確,無法全面表達(dá)隨機(jī)載荷多次作用時(shí)的可靠度變化規(guī)律。

本文首先對載荷歷程進(jìn)行了分析,提出隨機(jī)載荷的二維分布：橫向分布和縱向分布;然后,根據(jù)組成系統(tǒng)的零件間的結(jié)構(gòu)關(guān)系,提出考慮共因失效時(shí)機(jī)械系統(tǒng)的可靠度計(jì)算公式。

1 基于載荷縱向分布的零件可靠性分析

載荷-強(qiáng)度干涉模型是機(jī)械零件靜態(tài)可靠度分析的基礎(chǔ)。用f s(s)、f r(r)分別表示載荷和強(qiáng)度的概率密度函數(shù),Fr(?)表示強(qiáng)度的分布函數(shù),則載荷小于強(qiáng)度的概率也即可靠度為

這就是Freudenthal于1947年提出的著名的載荷-強(qiáng)度干涉模型[6]。其中,載荷和強(qiáng)度是廣義的,載荷可以是應(yīng)力、溫度、腐蝕、載荷的作用次數(shù)等,強(qiáng)度可以是疲勞強(qiáng)度、抗熱性、抗腐蝕性、零件的失效循環(huán)數(shù)等。該模型適用于隨機(jī)載荷作用一次或者考慮個(gè)體差異的恒幅載荷作用下的可靠度計(jì)算。實(shí)際上,零件往往承受隨機(jī)載荷的多次作用,這時(shí),載荷需要用一個(gè)隨機(jī)過程來描述。工程上,經(jīng)常通過多次記錄載荷的整個(gè)時(shí)間歷程來獲得多個(gè)樣本,并通過對樣本的統(tǒng)計(jì)分析得到載荷的統(tǒng)計(jì)特性。

對于確定時(shí)刻(或者確定載荷作用次數(shù))通過統(tǒng)計(jì)得到的載荷概率密度函數(shù),稱為載荷的縱向概率密度函數(shù),而不同時(shí)刻的縱向概率密度函數(shù)一般是不同的。用f si(si)、F ri(r i)分別表示第i次作用時(shí)載荷概率密度函數(shù)和強(qiáng)度的分布函數(shù),Ri表示載荷作用第i次時(shí)零件不發(fā)生失效的概率,假設(shè)零件的初始可靠度為R0,則隨機(jī)載荷作用n次(n≥1)后的可靠度為

這就是基于載荷縱向分布的零件可靠度模型。

2 強(qiáng)度不退化時(shí)基于載荷橫向分布的零件可靠性分析

對于載荷整個(gè)時(shí)間軸的統(tǒng)計(jì)分析得到的概率密度函數(shù)稱為載荷的橫向概率密度函數(shù)。通常使用的各種計(jì)數(shù)法(如雨流計(jì)數(shù)法等)得到的分布是這種分布。值得注意的是,每個(gè)樣本得到的概率密度函數(shù)一般都不相同,通常使用的概率密度函數(shù)可以看作是載荷橫向分布的一次實(shí)現(xiàn)(只統(tǒng)計(jì)一個(gè)樣本),或者載荷橫向分布的平均分布。為了對此進(jìn)行描述,用Xj表示載荷橫向分布某一具體實(shí)現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)(例如對于正態(tài)分布,其統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)為均值和方差;對于三參數(shù)威布爾分布,其特征參數(shù)為位置參數(shù)、形狀參數(shù)、尺度參數(shù)),定義F(X)為載荷特征分布函數(shù),f X(Xj)d X表示載荷橫向分布為某一特定分布的概率,并且該分布的統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)為Xj,fX(Xj)為載荷特征概率密度函數(shù)。

對于某一確定樣本統(tǒng)計(jì)得到的橫向分布,假設(shè)該確定分布的概率密度函數(shù)為 f sj(s)(注意：該概率密度函數(shù)不是特征概率密度函數(shù)),特征參數(shù)為Xj,載荷作用次數(shù)為n,則某一確定載荷si出現(xiàn)的次數(shù)為ni=nf sj(si)d s。令強(qiáng)度的概率密度函數(shù)為 f r(r),則si作用ni次后零件的可靠度為

那么,隨機(jī)載荷作用n次后的可靠度為

由式(3)可知,載荷每次作用的平均可靠度為

考慮到載荷橫向分布的不確定性,得到隨機(jī)載荷作用n次后零件的可靠度為

式(5)為基于載荷橫向分布的零件可靠度計(jì)算公式。

為了便于工程應(yīng)用,對于已經(jīng)得到的多個(gè)樣本,可以利用式(5)的離散化形式進(jìn)行可靠性評估,也即先通過計(jì)數(shù)擬合出每個(gè)樣本的概率密度函數(shù),再按照下式進(jìn)行計(jì)算：

式中,Pj為經(jīng)過擬合后載荷概率密度函數(shù)為fsj(s)的概率,并且可以近似地認(rèn)為該概率等于概率密度函數(shù)為fsj(s)的樣本個(gè)數(shù)占全體樣本的比例。

這樣就得到了基于載荷橫向分布的、適合實(shí)際應(yīng)用的零件可靠度計(jì)算公式。

3 考慮強(qiáng)度退化時(shí)基于載荷橫向分布的零件可靠性分析

以上分析中假設(shè)了強(qiáng)度不退化,當(dāng)考慮強(qiáng)度退化時(shí),可以采用以下的近似計(jì)算方法：

對于某一確定的橫向概率密度函數(shù) f sj(s),當(dāng)載荷作用n次時(shí),大小為si的載荷的出現(xiàn)次數(shù)為ni=nf sj(si)d s次,其造成的損傷為nf sj(si)d s/Nsi,Nsi為si作用下的零件使用壽命。由線性損傷等效原理(這里只是為了敘述方便,實(shí)際上可以采用其他非線性等效原理),si作用ni次,相當(dāng)于大小為sj0的載荷作用ni0次,并且

式中,Nsj0為sj0作用下的零件使用壽命。

又由零件的S-N曲線,近似得到Nsm=C,其中m、C近似為常數(shù),得到

因此隨機(jī)載荷作用n次相當(dāng)于載荷sj0作用nsj0次 ,并且

于是,可以認(rèn)為強(qiáng)度符合確定載荷sj0作用下的變化規(guī)律,而且sj0作用第q-1次時(shí)的剩余強(qiáng)度分布函數(shù)為Frq-1|sj0(r)。于是得到

同樣,式(8)的離散化形式為

4 橫向概率密度函數(shù)與縱向概率密度函數(shù)的關(guān)系

以上分析了基于載荷橫向分布和縱向分布零件可靠度的計(jì)算模型。從模型的建立過程中可以發(fā)現(xiàn),基于零件縱向分布的可靠度模型需要對各個(gè)時(shí)刻(或者不同載荷作用次數(shù))的載荷概率密度函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。然而這在實(shí)際上是做不到的,因?yàn)檫@需要記錄大量的載荷 -時(shí)間歷程樣本,并且進(jìn)行大量的統(tǒng)計(jì)。為便于工程應(yīng)用,往往假設(shè)載荷歷程為各態(tài)歷經(jīng)過程,也即認(rèn)為各個(gè)時(shí)刻的載荷概率密度函數(shù)相同。這對載荷-時(shí)間歷程樣本數(shù)目和時(shí)刻的選擇提出了較高的要求,樣本應(yīng)該具有一定的代表性。更重要的是,當(dāng)?shù)玫降妮d荷-時(shí)間歷程樣本數(shù)量不足,不能通過各個(gè)時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)得到各態(tài)歷經(jīng)假設(shè)下的載荷概率密度函數(shù),并且每個(gè)樣本計(jì)數(shù)后擬合的概率密度函數(shù)相差比較大時(shí),基于載荷橫向分布的可靠度模型則可以充分地利用有限的樣本直接對零件可靠度進(jìn)行近似計(jì)算。

下面通過分析載荷橫向分布和縱向分布概率密度函數(shù)的關(guān)系,給出在有限樣本條件下,根據(jù)載荷的橫向分布統(tǒng)計(jì)特性近似得到載荷縱向分布概率密度函數(shù)的方法,從而可以方便地使用基于載荷縱向分布的可靠度模型。這種方法避免了對樣本進(jìn)行各個(gè)時(shí)刻的統(tǒng)計(jì),更適于利用傳統(tǒng)可靠性模型進(jìn)行計(jì)算。假設(shè)載荷歷程為各態(tài)歷經(jīng)過程,每個(gè)時(shí)刻的概率密度函數(shù)相同,均為 f s(s)。那么每次載荷大小為s0的概率為P0=f s(s0)d s,該載荷不出現(xiàn)的概率為1-P0。如果載荷作用了n次(假設(shè)n足夠大),那么該載荷出現(xiàn)的次數(shù)n0的期望值為E(n0)=nP 0=nf s(s0)d s。另外,在載荷作用的n次中,載荷s0出現(xiàn)次數(shù)為x的概率,即

令P0為定值,對P(n0=x)取極值,得到 x=nP0=nfs(s0)d s。由此可以近似認(rèn)為各個(gè)載荷-時(shí)間歷程樣本中,通過計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)得到的出現(xiàn)概率最大的概率密度函數(shù)就是各態(tài)歷經(jīng)假設(shè)下載荷的縱向概率密度函數(shù)?；蛘叻謩e求出各個(gè)樣本中相同級(jí)別大小的載荷的平均出現(xiàn)次數(shù),擬合出載荷的平均橫向概率密度函數(shù),并將其作為縱向概率密度函數(shù)。這樣就可以結(jié)合載荷 -強(qiáng)度干涉模型,使用基于載荷縱向分布的可靠度模型計(jì)算零件及系統(tǒng)的可靠度。

假設(shè)不考慮強(qiáng)度退化,零件強(qiáng)度服從N(600,302)MPa的正態(tài)分布,載荷分布服從 N(500,302)MPa的正態(tài)分布,初始可靠度為1。當(dāng)載荷的概率密度函數(shù)為縱向概率密度函數(shù)時(shí),利用式(2)可以得到可靠度隨載荷作用次數(shù)的關(guān)系。當(dāng)載荷的概率密度函數(shù)為橫向概率密度函數(shù)時(shí),應(yīng)用式(3)得到可靠度隨載荷作用次數(shù)的變化規(guī)律。二者的對比如圖1所示。

圖1 可靠度隨載荷作用次數(shù)變化規(guī)律

由圖1可以看出,兩種情況下零件可靠度隨載荷作用次數(shù)的增加而下降。對于相同的載荷作用次數(shù),當(dāng)載荷的概率密度函數(shù)為橫向概率密度函數(shù)時(shí),零件可靠度小于概率密度函數(shù)為縱向概率密度函數(shù)時(shí)的可靠度,并且開始隨著載荷作用次數(shù)的增加,其差值逐漸增大,當(dāng)載荷作用次數(shù)較大,零件趨于失效時(shí),其差值逐漸縮小。產(chǎn)生差值的原因是,縱向概率密度函數(shù)是橫向分布中出現(xiàn)概率最大的概率密度函數(shù)或者是平均橫向概率密度函數(shù),但是出現(xiàn)概率并非絕對等于1。從圖1中可以看出,二者在一定載荷作用次數(shù)范圍內(nèi)差值并不是很大,可以進(jìn)行近似計(jì)算,并且能夠反映出零件可靠度的基本變化規(guī)律。所以,當(dāng)獲得的載荷-時(shí)間歷程樣本比較少時(shí),也可以采用以上提出的近似方法,使用基于縱向載荷分布的可靠性模型進(jìn)行零件的可靠度計(jì)算。從另外一個(gè)角度講,在本例中,如果假設(shè)基于載荷縱向分布的計(jì)算結(jié)果是準(zhǔn)確值,那么基于載荷橫向分布的計(jì)算結(jié)果就是估算值。而由之前的推導(dǎo)過程可以看出,與縱向分布概率密度函數(shù)相同的橫向概率密度函數(shù)出現(xiàn)的概率最大。因此更加說明了在有限數(shù)目樣本情況下使用基于載荷橫向分布的可靠性模型進(jìn)行近似估算的合理性。

5 考慮共因失效時(shí)基于載荷橫向分布的系統(tǒng)可靠度分析

以上著重分析了基于載荷橫向分布的零件可靠度計(jì)算模型,對于由零件組成的系統(tǒng),可以根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)求解系統(tǒng)的可靠度。本文著重分析考慮共因失效的系統(tǒng)可靠度。當(dāng)系統(tǒng)多個(gè)零件受到相同載荷作用時(shí),如果作零件相互獨(dú)立的假設(shè)將引起較大的誤差。目前,研究人員提出了很多考慮共因失效的可靠度計(jì)算模型,如α因子模型、β因子模型、BFR模型等。但是這些方法仍然基于元件層面,物理意義不明確[7-9]。本文直接應(yīng)用之前建立的可靠度模型,分析當(dāng)系統(tǒng)元件承受同一載荷多次作用時(shí)的可靠度變化規(guī)律。

為了敘述方便,以下均假設(shè)組成系統(tǒng)的零件相同,并且不考慮強(qiáng)度退化,每個(gè)零件具有相同的強(qiáng)度概率密度函數(shù)和分布函數(shù)f r(r)、Fr(r)。對于由a個(gè)零件組成的串聯(lián)系統(tǒng),當(dāng)大小為確定值s的載荷作用一次時(shí),系統(tǒng)可靠度為

假設(shè)載荷的橫向分布概率密度函數(shù)為 f sj(s),特征概率密度函數(shù)為 f X(Xj),則利用與式(3)類似的推導(dǎo)過程,可以得到隨機(jī)載荷作用n次后串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度：

離散化模型為

同理,由a個(gè)零件組成的并聯(lián)系統(tǒng),當(dāng)大小為確定值s的載荷作用一次時(shí),系統(tǒng)可靠度為

隨機(jī)載荷作用n次后并聯(lián)系統(tǒng)的可靠度為

離散化模型為

由a個(gè)零件組成的k/a系統(tǒng),當(dāng)大小為確定值s的載荷作用一次時(shí),系統(tǒng)可靠度為

隨機(jī)載荷作用n次后k/a系統(tǒng)的可靠度為

離散化模型為

以上模型在建立的過程中考慮了零件承受的載荷為同一載荷這個(gè)信息,并且沒有作零件相互獨(dú)立的假設(shè),因此反映了共因失效這種失效相關(guān)性。

以上分析了隨機(jī)載荷作用下系統(tǒng)可靠度隨載荷作用次數(shù)的變化規(guī)律。如果考慮載荷出現(xiàn)次數(shù)的隨機(jī)性,則可以得到當(dāng)強(qiáng)度退化時(shí)零件的時(shí)變可靠度計(jì)算模型。如果載荷出現(xiàn)的次數(shù)滿足以下條件[10]：①當(dāng)t=0時(shí),n(0)=0;②在互不重疊的時(shí)間段內(nèi)載荷出現(xiàn)的次數(shù)相互獨(dú)立;③在時(shí)刻t和足夠小的時(shí)間段Δt＞0,有

則時(shí)間t內(nèi)出現(xiàn)n次載荷的概率為

也即將載荷出現(xiàn)的次數(shù)看作是強(qiáng)度為λ(t)的泊松過程。這時(shí),由全概率公式,可以得到系統(tǒng)可靠度隨時(shí)間的變化規(guī)律。假設(shè)系統(tǒng)初始可靠度為1。對于串聯(lián)系統(tǒng),由式(11)得到的系統(tǒng)可靠度為

由式(13),得到并聯(lián)系統(tǒng)的可靠度為

由式(15),得k/a系統(tǒng)的可靠度為

假設(shè)有分別由3個(gè)相同零件組成的串聯(lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)及2/3系統(tǒng)。對已得到的載荷-時(shí)間樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到的各個(gè)樣本均服從雙參數(shù)威布爾分布。特征參數(shù)的分布律如表1所示。λ(t)=0.6h-1,初始可靠度為 1,零件強(qiáng)度服從均值為650MPa、標(biāo)準(zhǔn)差為20MPa的正態(tài)分布,則零件可靠度隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖2所示。

表1 載荷特征參數(shù)分布律

圖2 可靠度與時(shí)間的關(guān)系

從圖3可以看出,系統(tǒng)可靠度隨時(shí)間逐漸降低,并且在初始階段下降速度最快,隨后下降速度趨于平緩。其中串聯(lián)系統(tǒng)下降速度最快,可靠度最低,2/3系統(tǒng)其次,并聯(lián)系統(tǒng)下降最慢。實(shí)際上該例中串聯(lián)系統(tǒng)相當(dāng)于1/3系統(tǒng),并聯(lián)系統(tǒng)相當(dāng)于3/3系統(tǒng),結(jié)果與實(shí)際相吻合。

6 結(jié)論

(1)機(jī)械零件及系統(tǒng)往往承受隨機(jī)載荷的多次作用,在分析隨機(jī)載荷下的零件可靠度時(shí)應(yīng)該首先對隨機(jī)載荷的統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行分析。本文提出載荷的二維分布,也即載荷的橫向分布和縱向分布。傳統(tǒng)載荷-強(qiáng)度干涉模型適用于載荷作用一次的可靠度計(jì)算。在計(jì)算隨機(jī)載荷指定作用次數(shù)后的可靠度時(shí),應(yīng)該使用載荷的縱向概率密度函數(shù)。但是,工程上得到的是載荷-時(shí)間歷程樣本。由于樣本數(shù)量的限制以及載荷縱向分布統(tǒng)計(jì)特性獲得的困難,使得基于載荷縱向分布的可靠性模型難以應(yīng)用,因此,本文重點(diǎn)分析了基于載荷橫向分布的可靠度計(jì)算模型。該模型可以直接根據(jù)獲得的樣本進(jìn)行可靠度計(jì)算,并從理論上分析了該計(jì)算方法的合理性。

(2)本文在建立基于載荷的橫向分布的計(jì)算模型時(shí),分別考慮了強(qiáng)度退化以及強(qiáng)度不退化兩種情況,可以應(yīng)用于零件早期失效期(強(qiáng)度不退化或者退化不明顯)以及偶然失效期和耗損失效期(需要考慮強(qiáng)度退化)。此外,通過分析載荷縱向概率密度函數(shù)與橫向概率密度函數(shù)的關(guān)系,提出了根據(jù)載荷橫向分布統(tǒng)計(jì)特征,近似得到各態(tài)歷經(jīng)假設(shè)下載荷縱向概率密度函數(shù)的方法,這樣便可以結(jié)合載荷-強(qiáng)度干涉模型計(jì)算零件可靠度與載荷作用次數(shù)的關(guān)系。通過實(shí)例驗(yàn)證了該方法可以近似反映零件可靠度的變化規(guī)律,并同時(shí)從另一個(gè)角度驗(yàn)證了基于載荷橫向分布的可靠性模型的合理性和正確性。

(3)由基于載荷橫向分布的零件可靠度計(jì)算模型分析了幾種典型機(jī)械系統(tǒng)的可靠度計(jì)算方法。傳統(tǒng)的模型需要假設(shè)零件間相互獨(dú)立,但實(shí)際上由于載荷的相關(guān)性,使得獨(dú)立假設(shè)往往不能反映系統(tǒng)的實(shí)際可靠度。本文沒有作零件相互獨(dú)立的假設(shè),直接根據(jù)系統(tǒng)中零件的組成結(jié)構(gòu)推導(dǎo)出串聯(lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)以及表決系統(tǒng)的可靠度計(jì)算方法。本文進(jìn)一步考慮了載荷作用次數(shù)的隨機(jī)性,通過假設(shè)載荷作用次數(shù)為泊松過程,建立了系統(tǒng)的時(shí)變可靠度計(jì)算模型。

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