張 俊，宋軼民，張 策，王建軍

NGW型直齒行星傳動自由振動分析

張 俊，宋軼民，張 策，王建軍

(天津大學機械工程學院，天津 300072)

為揭示NGW型直齒行星傳動的自由振動特性，在系桿隨動參考坐標系下建立該型傳動的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學模型．模型設定系統(tǒng)中每個構件均擁有3自由度，并計入各構件的支承剛度、輪齒時變嚙合剛度及陀螺效應等影響因素．通過分析各構件間的相對位移關系，推導出系統(tǒng)的運動微分方程，進而求解其特征值問題，即可獲知系統(tǒng)的固有頻率和相應振型．依照傳動系統(tǒng)的運動特征，可將NGW型直齒行星傳動的自由振動分為3種典型振動模式，即扭轉(zhuǎn)振動模式、平移振動模式和行星輪振動模式．比較本模型與前人模型的仿真結果發(fā)現(xiàn)，兩種模型所得的系統(tǒng)各階固有頻率相同，但其中心構件平移振動模式所對應的系統(tǒng)振型向量存在較大差異．由于更正了前人模型中的推導錯誤，現(xiàn)有模型能更為準確地反映系統(tǒng)的自由振動特性．

行星齒輪傳動；動力學建模；自由振動

作為齒輪傳動的基本形式之一，行星齒輪傳動的自由振動特性對整個傳動系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定性及參數(shù)共振特性具有重要影響，也是進行傳動系統(tǒng)動態(tài)設計的起點．

為滿足工業(yè)界對高速重載、低振動噪聲、高可靠性和長壽命的要求，學術界圍繞行星齒輪傳動的動力學問題進行了相關研究[1-8]．Kahraman[1-2]曾在絕對坐標系下創(chuàng)建了NGW型直齒行星傳動的動力學模型，分析了中心構件浮動與行星輪制造、安裝誤差對系統(tǒng)動力學性能的影響，但其推導過程極為繁瑣，不易用于指導工程設計．為明晰各構件間的相對運動關系，Lin等[3]在系桿隨動坐標系下建立了直齒行星傳動的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學模型，并利用該模型分析了NGW型直齒行星傳動的自由振動特性．但是，在Lin所創(chuàng)建的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學模型中，行星輪的加速度表達式與其質(zhì)心坐標的定義不符，直接影響了后續(xù)各構件相對位移的表達及分析結果的可信性．

為準確揭示行星齒輪傳動的自由振動特性，本文以NGW型直齒行星傳動為研究對象，重新在系桿隨動坐標系下建立了該類傳動系統(tǒng)的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學模型．

1 平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學模型

行星傳動系統(tǒng)中可動構件數(shù)目較多，且存在若干虛約束，各構件間的相對運動關系極為復雜．為便于表達行星輪系中各構件間的相對運動關系，選擇如圖1所示的系桿隨動坐標系作為參考坐標系[9]．

圖1 系桿隨動坐標系Fig.1 Carrier-attached coordinate system

圖1 中，OXY為絕對參考坐標系，Oxy為系桿隨動坐標系，并設定坐標系原點O為系桿理論安裝中心，x軸指向行星輪1的平衡位置，y軸正方向由x軸正方形逆時針轉(zhuǎn)過90°，Oxy以系桿的理想角速度cω勻速轉(zhuǎn)動．對任一時刻t，可知系桿隨動坐標系Oxy相對X軸轉(zhuǎn)過的角度cctθω=．設ir為行星傳動中某構件質(zhì)心的位移矢量，顯然ir可表示為

式中：μ、ν分別為x、y方向的單位矢量；xi、yi分別為ri在x、y軸的投影．

將式(1)對時間t求二次導數(shù)，并注意到μ˙=ωcν，ν˙=-ωcμ，則有

式(2)表明在系桿隨動坐標系Oxy中，ri的加速度可表示為μ、ν方向的加速度分量的矢量和．

以系桿隨動坐標系為基礎，建立NGW型直齒行星傳動的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學模型，如圖2所示．各符號的含義如下：kpn為行星輪支承剛度(n= 1,2,…,N)；ψn為第n個行星輪中心與坐標原點的連線與x軸正向的夾角(ψn=2π(n-1)/N )；kij為中心構件的支承剛度(i=c,r,s；j=x,y,u)；(xi,yi,ui)為構件位移(i=c,r,s,1,2,…,N )；ui=riθi；ui、θi分別為各構件的扭轉(zhuǎn)線位移與扭轉(zhuǎn)角位移；ri為各構件的回轉(zhuǎn)半徑(若i=c，則為行星輪軸心到系桿幾何形心的距離；若i=r,s,1,2,…,N，則為各齒輪的基圓半徑)．

圖2 平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學模型Fig.2 Translational-rotational-coupling dynamic model

2 各構件間相對位移關系

在系桿隨動坐標系下，行星輪系中各構件間的相對位移關系見圖3[10]．為表達清晰，圖3中未繪出系桿．圖中，sα、rα分別為太陽輪和行星輪以及行星輪和內(nèi)齒圈的嚙合角；snk、rnk分別為外、內(nèi)嚙合剛度．

圖3 行星輪系各構件間的相對位移Fig.3 Displacement relationship between components of planetary gear set

由圖3可導出各構件間的相對位移．

1)太陽輪與行星輪相對位移沿嚙合線方向投影

2)行星輪與內(nèi)齒圈相對位移沿嚙合線方向投影

3)行星輪與系桿相對位移沿cx、cy和cu方向投影

4)行星輪與系桿相對位移沿nx、ny方向投影

式(3)～式(9)即為系統(tǒng)的位移協(xié)調(diào)方程．

3 系統(tǒng)動力學方程

假定NGW型直齒行星傳動的內(nèi)齒圈固定，系桿、太陽輪分別連接輸入端與輸出端，輸入扭矩為Tc，輸出扭矩為Ts．設系桿、內(nèi)齒圈、太陽輪和行星輪的質(zhì)量分別為mc、mr、ms和mpn，其轉(zhuǎn)動慣量分別為Ic、Ir、Is和Ipn．分析系統(tǒng)中各構件的受力狀況，依據(jù)牛頓第二定律可建立如下的運動方程．

1)系桿運動微分方程

2)內(nèi)齒圈運動微分方程

3)太陽輪運動微分方程

4)行星輪運動微分方程

將式(3)～式(9)所示的位移協(xié)調(diào)方程代入式(10)～式(13)，整理后表示成矩陣形式，可得系統(tǒng)的動力學方程為

式中q、M、cω、G、bK、mK、ωK和T分別為系統(tǒng)的廣義坐標列陣、廣義質(zhì)量矩陣、系桿角速度、陀螺矩陣、支承剛度矩陣、嚙合剛度矩陣、向心剛度矩陣和外激勵列陣，且有

篇幅所限，其他各矩陣的元素不再詳列．

4 自由振動分析

為方便分析，對行星輪系做如下假定：各行星輪的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量分別相等；各構件的支承剛度恒定；各處嚙合剛度取時變嚙合剛度的均值；忽略系統(tǒng)的阻尼和摩擦．

當系桿角速度較小時，科氏力、離心力均可忽略，則由式(14)可得系統(tǒng)的無阻尼自由振動方程為

與式(15)對應的特征值問題為

式中iω、iφ分別為系統(tǒng)第i階固有頻率和振型，且有

不失一般性，仍以文獻[3]中的系統(tǒng)為例進行數(shù)值仿真，其基本參數(shù)如表1所示．此處假定各處嚙合角、嚙合剛度相等，且各構件的支承剛度也相等．

表1 NGW型直齒行星傳動的基本參數(shù)Tab.1 Primary parameters of NGW spur planetary gear set

當行星輪個數(shù)為3、4和5時，求得系統(tǒng)各階固有頻率，如表2所示，其中m為固有頻率的重根數(shù)．

進一步分析可知系統(tǒng)各階固有頻率對應的振型坐標．篇幅所限，僅給出行星輪個數(shù)為5時系統(tǒng)的振型坐標，如表3所示．

經(jīng)歸納可知NGW型直齒行星傳動存在3種典型振動模式，即中心構件扭轉(zhuǎn)振動模式、中心構件平移振動模式和行星輪振動模式．

表2 系統(tǒng)各階固有頻率Tab.2 Natural frequencies of the system Hz

表3 修正模型與原模型振型比較Tab.3 Comparison of vibration mode coordinates between two models

以行星輪個數(shù)為5的系統(tǒng)為例，上述3種典型振動模式的振型分別如圖4(a)～圖4(c)所示．圖中，實線為構件振動后的位置，虛線為構件的原始位置，實線段為各構件振動后的橫軸線．為清晰計，圖中未繪出系桿的位置．

進一步分析可得如下結論．

(1)中心構件扭轉(zhuǎn)振動模式．當1m=時，各中心構件(太陽輪、系桿、內(nèi)齒圈)僅做扭轉(zhuǎn)振動，各行星輪做復雜平面振動，且各行星輪的的振動狀態(tài)相同，而與行星輪個數(shù)無關．

(2)中心構件平移振動模式．當2m=時，各中心構件做平移振動，各行星輪做復雜平面振動且振動狀態(tài)與行星輪個數(shù)相關．N=4時，行星輪振動狀態(tài)呈軸向反對稱；其他情況下行星輪振動狀態(tài)各不相同．

圖4 系統(tǒng)振動模式示意Fig.4 Vibration modes of the system

(3)行星輪振動模式．當m=N-1(N＞3)時，各中心構件不振動，僅行星輪振動且振動狀態(tài)與行星輪個數(shù)相關．N=4時，行星輪振動狀態(tài)呈軸向?qū)ΨQ；其他情況下行星輪振動狀態(tài)各不相同．

將本文的分析結果與文獻[3]的分析結果對比，可以發(fā)現(xiàn)對于同一階固有頻率，采用兩種模型所求解出的系統(tǒng)的振型坐標不盡相同．以N=4的傳動系統(tǒng)為例，兩種模型獲得的系統(tǒng)部分振型如表3所示．由表3可知，模型修正前后，平移振動模式下系統(tǒng)同一階固有頻率所對應的各構件的振型坐標存在較大差異；相反，在中心構件扭轉(zhuǎn)振動模式和行星輪模式下，兩種模型所求的振型坐標完全一致．

5 結 語

在系桿隨動坐標系下重新建立了NGW型直齒行星傳動的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學模型，并通過自由振動分析歸納出系統(tǒng)的3種典型振動模式及相應的振動特征．與前人分析結果的比較表明，盡管兩種模型所得的系統(tǒng)各階固有頻率相同，但是在中心構件平移振動模式下兩種模型所求得的系統(tǒng)振型向量存在較大差異．相比之下，采用現(xiàn)有模型能更為準確地反映系統(tǒng)中各構件的振動特性，故可將本研究的結論作為后續(xù)動力學研究的基礎，如動態(tài)激勵響應分析、參數(shù)靈敏度分析和相位調(diào)諧振動抑制等．

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Wang Jianjun. Elastodynamics of Spur Planetary Gear Transmissions in Consideration of Ring Gear Flexibility [D]. Tianjin：School of Mechanical Engineering，Tianjin University，2006(in Chinese).

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Liu Xin. Dynamics of Spur Planetary Gear Trains Based on Virtual Prototyping [D]. Tianjin：School of Mechanical Engineering，Tianjin University，2007(in Chinese).

Analysis of Free Vibration of NGW Spur Planetary Gear Set

ZHANG Jun，SONG Yi-min，ZHANG Ce，WANG Jian-jun
(School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

A translational-rotational-coupling dynamic model has been developed in the carrier-attached coordinate system to investigate the free vibration characteristics of NGW spur planetary gear set. The proposed model admits three degrees-offreedom for each component and includes the key factors affecting planetary gears vibration such as component bearing stiffness，time-varying mesh stiffness and gyroscopic effect. Through analysis of the displacement relationship between different components，differential equations of the system have been derived，and the natural frequencies and vibration modes of the planetary gear set have been obtained through solution of the associated eigenvalue problem. Based on the unique properties of the transmission system，the vibration modes of NGW spur planetary gear set can be classified into three categories，i.e.，rotational mode，translational mode，and planet mode. Comparison between the proposed and previous models indicates that the two models have the same natural frequencies but different mode shapes.As the deductive errors in the previous studies have been corrected，the proposed dynamic model can reveal the free vibration characteristics of the planetary gear system more accurately.

planetary gear transmission；dynamic modeling；free vibration

TH132.4

A

0493-2137(2010)01-0090-05

2009-04-20；

2009-09-06．

國家自然科學基金資助項目(50905122)．

張 ?。?981— ），男，博士，講師．

張 俊，zhang_jun@tju.edu.cn．