陳崇德，唐東明

（湖北省漳河工程管理局，湖北 荊門448156）

1 概述

漳河水庫是以灌溉為主，兼有防洪、城市供水、發(fā)電、水產(chǎn)養(yǎng)殖、旅游、航運(yùn)、生態(tài)環(huán)境保護(hù)等多目標(biāo)運(yùn)用的大型水利工程，總庫容21.19億m3，其中興利庫容9.24億m3，調(diào)洪庫容4.24億m3。從運(yùn)用實(shí)踐看，水庫多年平均缺水量為3.01億m3，若遇干旱或特大干旱年，則需水缺口更大。因此，水資源數(shù)量明顯不足是該水庫的一大問題。由于R/S分析對(duì)時(shí)間序列具有預(yù)測(cè)功能，故根據(jù)水庫來水變化的歷史實(shí)測(cè)資料，利用R/S分析的原理和方法，對(duì)未來水庫水資源的豐枯變化趨勢(shì)進(jìn)行分析，對(duì)指導(dǎo)水庫的調(diào)度運(yùn)用有較大的作用。

2 計(jì)算方法

R/S分析法（Rescaled Range Analysis，重新標(biāo)度極差分析法）是由英國(guó)學(xué)者赫斯特（H.E.Hurst）在總結(jié)尼羅河的多年水文觀測(cè)資料時(shí)，于1965年提出的一種處理時(shí)間序列的方法，它在分形理論中有著重要作用［1］。R/S分析法計(jì)算簡(jiǎn)單，其基本原理與方法如下：

2.1 計(jì)算均值

設(shè)時(shí)間序列{X（t）}，t=1，2，…，n，對(duì)于任意正整數(shù)τ≥1，定義均值序列則：

2.2 計(jì)算累積離差

2.3 計(jì)算極差序列

2.4 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差序列

2.5 計(jì)算比值

式中 α為常數(shù)；H為Hurst指數(shù)。

由式（5）得：

根據(jù)時(shí)間序列{X（t）}，利用最小二乘法，可得式（6）的直線回歸方程，則直線的斜率即為H指數(shù)。

水庫年來水量的豐枯變化在時(shí)間軸上表現(xiàn)為不連續(xù)點(diǎn)分布，是一種不規(guī)則的Cantor集合，即來水量具有時(shí)間分形結(jié)構(gòu)。為了對(duì)水庫來水變化趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，采用分布式布朗（Fractional Brownian motion）模型。設(shè)有一“粒子”在X軸上隨機(jī)游動(dòng)，它每一時(shí)間間隔τ向左或向右移動(dòng)的步長(zhǎng)為X，那么X的分布函數(shù)密度為:

式中 G為擴(kuò)散系數(shù)。

又設(shè){X1，X2，…，Xn}為步長(zhǎng)序列，是一個(gè)獨(dú)立同分布的時(shí)間序列，經(jīng)過n步行走后，“粒子”在X軸上的“位置”為:

式（8）為布朗函數(shù)，經(jīng)過簡(jiǎn)化計(jì)算得到相關(guān)函數(shù)γ（t）：

由式（9）可知，當(dāng)H=1/2時(shí)，γ（t）=0，即為一般的布朗運(yùn)動(dòng)；當(dāng)H≠1/2時(shí)，γ（t）≠0，即為分式布朗運(yùn)動(dòng)。Mandelbrot將H指數(shù)推廣為0＜H＜1。

為了預(yù)測(cè)未來的水庫來水趨勢(shì)Xn+1，則式（1）可得：

令R（n+1）/S（n+1）=［α（n+1）］H=K，并將式（3）、（4）代入式（10），可解得：

式中 A=（n+1）［（n+1）2-nK2］

最后將X（τ）代回式（7），即可得未來水庫來水量變化趨勢(shì)Xn+1。

3 應(yīng)用實(shí)例

湖北省漳河水庫已有1957～2008年52a的實(shí)測(cè)水庫降水資料，多年平均降水量989.6mm，若將年降水量大于1100mm稱為豐水年，則自1957年以來，共出現(xiàn)過15個(gè)豐水年（見表1），若把1956年作為計(jì)算零點(diǎn)，那么得到的時(shí)間序列為（將1989年以后的資料留作驗(yàn)證之用）：

表1 漳河水庫降水量大于1100mm的年份及R（τ）/S（τ）計(jì)算

經(jīng)過計(jì)算，可得到H、α及R（τ）/S（τ）的關(guān)系式，從預(yù)報(bào)效果來看，雖然整個(gè)過程都是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程，但有部分年份計(jì)算結(jié)果不太理想。究其原因，一是豐水年出現(xiàn)的時(shí)間序列并非是真正意義上的布朗運(yùn)動(dòng)［3］；二是誤差是客觀存在的，如預(yù)測(cè)下一個(gè)豐水年的K值，是以平均值代替的，且模型容納誤差的能力不夠；三是H指數(shù)的計(jì)算是通過雙對(duì)數(shù)回歸分析得到的，這個(gè)結(jié)論的可靠性有多大，其顯著性如何，以及如何修正，目前缺少有效的分析評(píng)價(jià)方法。但通過對(duì)歷史資料的模擬，發(fā)現(xiàn)誤差還是有一定規(guī)律，即隨著資料系列的延長(zhǎng)，誤差呈減少的趨勢(shì)，且誤差范圍比較穩(wěn)定（見表2）。

表2 誤差統(tǒng)計(jì)

將誤差項(xiàng)代入公式（10）：

式中 e為誤差率。

經(jīng)計(jì)算，H=0.3155，α=2.3294，相關(guān)函數(shù)γ（11）=-0.2257≠0（屬于分式布朗運(yùn)動(dòng)），則：

根據(jù)公式（11）、（12）計(jì)算，漳河水庫下一個(gè)豐水年為γ11=33.43≈33，計(jì)算零點(diǎn)還原后，即1956+33=1989年。1989年實(shí)際降水量為1332.5mm＞1100mm，故預(yù)測(cè)正確。將1989年信息加入{X（t）}，得到新的時(shí)間序列：

經(jīng)計(jì)算，H=0.2968，α=2.3294，相關(guān)函數(shù)γ（12）=-0.2455≠0（屬于分式布朗運(yùn)動(dòng)），則：

根據(jù)公式（11）、（12）計(jì)算，漳河水庫下一個(gè)豐水年為X12=39.69≈40，計(jì)算零點(diǎn)還原后，即1956+40=1996年。1996年實(shí)際降水量為1427.9mm＞1100mm，故預(yù)測(cè)正確。將1996年信息加入{X（t）}，得到新的時(shí)間序列：

經(jīng)計(jì)算，H=0.2779，α=3.6647，相關(guān)函數(shù)γ（13）=-0.265≠0（屬于分式布朗運(yùn)動(dòng)），則：

根據(jù)公式（11）、（12）計(jì)算，漳河水庫下一個(gè)豐水年為X13=41.9≈42，計(jì)算零點(diǎn)還原后，即1956+42=1998年。1998年實(shí)際降水量為1114mm＞1100mm，故預(yù)測(cè)正確。將1998年信息加入{X（t）}，得到新的時(shí)間序列：

經(jīng)計(jì)算，H=0.2521，α=5.5063，相關(guān)函數(shù)γ（14）=-0.2908≠0（屬于分式布朗運(yùn)動(dòng)），則：

根據(jù)公式（11）、（12）計(jì)算，漳河水庫下一個(gè)豐水年為X14=43.99≈44，計(jì)算零點(diǎn)還原后，即1956+44=2000年。2000年實(shí)際降水量為1186.9mm＞1100mm，故預(yù)測(cè)正確。將2000年信息加入{X（t）}，得到新的時(shí)間序列：

經(jīng)計(jì)算，H=0.2281，α=8.8221，相關(guān)函數(shù)X（15）=-0.3140≠0（屬于分式布朗運(yùn)動(dòng)），則：

根據(jù)公式（11）、（12）計(jì)算，漳河水庫下一個(gè)豐水年為X15=50.99≈51，計(jì)算零點(diǎn)還原后，即1956+51=2007年。2007年實(shí)際降水量為1321.4mm＞1100mm，故預(yù)測(cè)正確。

4 結(jié)語

目前，R/S分析方法在水庫年來水趨勢(shì)預(yù)測(cè)中成功應(yīng)用的例子還不多，有些問題還沒有得到有效解決，但并不影響該方法的有效使用［3］。 大量研究結(jié)果表明［4-11］，水文系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的巨系統(tǒng)，水文要素的時(shí)空變化具有高度的非線性特點(diǎn)。R/S分析是自仿射分形衍生出來的時(shí)間序列分析方法，對(duì)于非線性具有統(tǒng)計(jì)特性的數(shù)據(jù)系統(tǒng)，采用R/S分析法可以很好地揭示其變化過程的內(nèi)在規(guī)律性，并可對(duì)其分形特征進(jìn)行定量描述。應(yīng)該指出的是：盡管應(yīng)用了分形和R/S分析理論中的概念、方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，但仍無法減小或消除系統(tǒng)的內(nèi)在隨機(jī)因素而造成的不可預(yù)報(bào)部分，如觀測(cè)資料的誤差（噪聲影響）等，因此進(jìn)一步探索洪水發(fā)生的規(guī)律，改進(jìn)模型，提高模型的穩(wěn)定性，對(duì)于提高洪水的預(yù)見期和預(yù)測(cè)精度是很有意義的。

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