楊海燕

(煙臺(tái)工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院,山東煙臺(tái) 264000)

人造地球衛(wèi)星“變軌”問(wèn)題,是一個(gè)很“時(shí)尚”的問(wèn)題,由于很“時(shí)尚”,所以這一問(wèn)題常以不同形式出現(xiàn)在各類(lèi)考題里.事實(shí)上,要清楚地解釋這一問(wèn)題,僅用高中教材的知識(shí)是不夠的.鑒于很多人對(duì)這一問(wèn)題感到興趣,筆者在此對(duì)這一問(wèn)題作一詳細(xì)解釋.為了清楚地解釋這一問(wèn)題,先對(duì)關(guān)于人造衛(wèi)星的知識(shí)作如下補(bǔ)充.

1 關(guān)于在圓軌道上運(yùn)行的人造地球衛(wèi)星的動(dòng)能、引力勢(shì)能、總能量的表達(dá)式

設(shè)地球和衛(wèi)星的質(zhì)量分別為M和m,衛(wèi)星的軌道半徑為 r,它受的萬(wàn)有引力提供向心力,即

衛(wèi)星的動(dòng)能為

由(1)、(2)式可得

由上式可見(jiàn),衛(wèi)星圓軌道的半徑r越大,它的動(dòng)能越小.

設(shè)衛(wèi)星在離地心的距離r為無(wú)限大時(shí),它的引力勢(shì)能為零(這樣假設(shè)符合國(guó)際慣例),由這一假設(shè)可知,衛(wèi)星在任一軌道上運(yùn)行時(shí)它的引力勢(shì)能均為負(fù)值.理論上可以證明,當(dāng)衛(wèi)星的軌道半徑為r時(shí),它的引力勢(shì)能為

衛(wèi)星的總能量為

由以上分析可見(jiàn),r越大,Ek越小,Ep和E越大,所以發(fā)射軌道半徑r較大的衛(wèi)星,火箭需要做較多的功.

2 關(guān)于衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)行時(shí)總能量的表達(dá)式

當(dāng)衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)行時(shí),地心必定在橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上,在圖1中,O點(diǎn)是地球的中心,若橢圓的半長(zhǎng)軸為 a,則衛(wèi)星的總能量為

圖1

由此式可見(jiàn),橢圓軌道的半長(zhǎng)軸 a越大,衛(wèi)星的總能量也越大.軌道上的 A點(diǎn)離地心的距離最近,稱(chēng)為軌道的近地點(diǎn);軌道上的B點(diǎn)離地心的距離最大,稱(chēng)為遠(yuǎn)地點(diǎn).由開(kāi)普勒定律可知,衛(wèi)星在沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,速率是變化著的,在近地點(diǎn)的速率最大;在遠(yuǎn)地點(diǎn)的速率最小.由(6)式可見(jiàn),衛(wèi)星的總能量越大,它沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的半長(zhǎng)軸就越大.若軌道的半長(zhǎng)軸a為無(wú)限大,這意味著衛(wèi)星具有的總能量可使衛(wèi)星飛到無(wú)限遠(yuǎn)處,即飛出了地球的引力范圍.設(shè)衛(wèi)星飛到無(wú)限遠(yuǎn)處的動(dòng)能為零,而它的引力勢(shì)能也為零,所以它的總能量為零,由于衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能是守恒的,所以它在近地點(diǎn)時(shí)的總能量也為零.設(shè)衛(wèi)星的近地點(diǎn)在地球表面附近,它到地心的距離近似地等于地球的半徑 R0,則它在近地點(diǎn)的引力勢(shì)能為設(shè)它在近地點(diǎn)的速度為v2,則它的動(dòng)能為由它的總能量為零可得

在地球表面附近,物體受到的萬(wàn)有引力等于重力,即

由(7)、(8)式可得

v2稱(chēng)為第二宇宙速度.由以上分析可見(jiàn),若衛(wèi)星在地球表面附近的速度大于第二宇宙速度,它將飛出地球引力場(chǎng),進(jìn)入其他天體的引力場(chǎng)中運(yùn)行,而速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s的衛(wèi)星,均沿橢圓軌道繞地球運(yùn)行,而繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星,其最大速率為7.9 km/s,圓軌道離地面越近的衛(wèi)星,速率越大,圓軌道半徑越大的衛(wèi)星,其速率越小.

3 什么是衛(wèi)星“變軌”?衛(wèi)星“變軌”的條件是什么?

我們以1998年上海市的高考題為例說(shuō)明這一問(wèn)題,該題如下:

圖2

發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí),先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1,然后經(jīng)點(diǎn)火,使其沿橢圓軌道2運(yùn)行,最后點(diǎn)火,將衛(wèi)星送入同步軌道3.如圖2所示,軌道 1、2相切于Q點(diǎn),軌道 2、3相切于 P點(diǎn),則當(dāng)衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí),以下說(shuō)法正確的是

(A)衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率.

(B)衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度.

(C)衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度.

(D)衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度.

當(dāng)衛(wèi)星在軌道1上運(yùn)行到Q點(diǎn)時(shí)(Q點(diǎn)是軌道上的任意點(diǎn)),火箭“點(diǎn)火”,使衛(wèi)星在極短的時(shí)間內(nèi)速度增加到適當(dāng)值,衛(wèi)星將離開(kāi)軌道1,進(jìn)入橢圓軌道2運(yùn)行,這一過(guò)程稱(chēng)為“變軌”,衛(wèi)星在 Q點(diǎn)加速后,為什么會(huì)離開(kāi)軌道1進(jìn)入軌道2呢?對(duì)這一問(wèn)題可作如下解釋:衛(wèi)星在軌道1上運(yùn)行時(shí),它的速率和總能量是與軌道半徑 r相“適應(yīng)”的,當(dāng)它在 Q點(diǎn)被加速后,軌道 1不“適應(yīng)”它的運(yùn)行了,它必定進(jìn)入能量更大的橢圓軌道2運(yùn)行.由圖2可見(jiàn),橢圓軌道2半長(zhǎng)軸a大于軌道1的半徑,所以它在軌道2上的總能量大于在軌道1上的總能量,即E2＞E1.至此,或許有的人會(huì)問(wèn),衛(wèi)星在Q點(diǎn)被加速后,是否會(huì)直接進(jìn)入軌道半徑 r更大(總能量也更大)的圓軌道上運(yùn)行呢?這是絕對(duì)不可能的.這是因?yàn)樾l(wèi)星在半徑 r更大的圓軌道上運(yùn)行時(shí),對(duì)速率的要求十分嚴(yán)格:其一,速度方向必須始終與軌道半徑相垂直.其二,速度大小必須與軌道半徑 r相“適應(yīng)”,衛(wèi)星在圓軌道半徑r更大的軌道上運(yùn)行時(shí),它的速率反而比在軌道1上的速率更小一些.基于以上兩點(diǎn),衛(wèi)星在 Q點(diǎn)被加速后,不可能直接進(jìn)入圓形軌道運(yùn)行,它只能直接進(jìn)入橢圓軌道2運(yùn)行.

當(dāng)衛(wèi)星沿軌道 2運(yùn)行到P點(diǎn)時(shí),火箭“點(diǎn)火”,使衛(wèi)星的速度增加一適當(dāng)值,它就可從P點(diǎn)開(kāi)始沿圓軌道3運(yùn)行.這里應(yīng)特別注意的是,由于衛(wèi)星沿圓軌道運(yùn)行時(shí),它的速度和總能量必須與圓軌道半徑 r嚴(yán)格地對(duì)應(yīng),所以衛(wèi)星在P點(diǎn)“點(diǎn)火”后的速度必須與軌道半徑嚴(yán)格地對(duì)應(yīng),這一點(diǎn)也正是發(fā)射同步衛(wèi)星的關(guān)鍵之一.此外,要使衛(wèi)星從橢圓軌道2進(jìn)入軌道3,火箭“點(diǎn)火”的位置也十分關(guān)鍵,只有衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)到橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)P時(shí)“點(diǎn)火”,才可能實(shí)現(xiàn)這樣的“變軌”,因?yàn)橹挥性赑點(diǎn),衛(wèi)星速度的方向才與軌道的半長(zhǎng)軸垂直,“變軌”后才能與新的圓形軌道的半徑相垂直,這是衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的必要條件.如果在橢圓軌道2的其他位置“點(diǎn)火”,衛(wèi)星只能進(jìn)入能量更大的橢圓軌道運(yùn)行,不可能進(jìn)入圓形軌道運(yùn)行.由以上分析可見(jiàn),衛(wèi)星在由橢圓軌道進(jìn)入能量更大的圓形軌道的變軌,其技術(shù)關(guān)鍵有兩點(diǎn):其一,火箭“點(diǎn)火”的位置必須在橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn);其二,變軌后的速率必須與新的軌道半徑相適應(yīng).

衛(wèi)星返回地面的過(guò)程與發(fā)射過(guò)程相反,當(dāng)衛(wèi)星在軌道3上運(yùn)行到P點(diǎn)時(shí)(在軌道3上的任意點(diǎn)都可以),令制動(dòng)火箭“點(diǎn)火”,使衛(wèi)星的速度適當(dāng)?shù)販p小,衛(wèi)星將離開(kāi)軌道3進(jìn)入能量較小的橢圓軌道2運(yùn)行(如果點(diǎn)火位置不在 P點(diǎn),衛(wèi)星將沿其他的橢圓軌道運(yùn)行),如果衛(wèi)星在軌道2上運(yùn)動(dòng)到 Q點(diǎn)時(shí),制動(dòng)火箭點(diǎn)火,使衛(wèi)星的速度適當(dāng)?shù)販p小,衛(wèi)星就可離開(kāi)軌道2進(jìn)入能量更小的軌道1運(yùn)行.這里應(yīng)特別注意的是,要使衛(wèi)星從軌道2進(jìn)入軌道1,制動(dòng)火箭必須在 Q點(diǎn)“點(diǎn)火”,因?yàn)橹挥性?Q點(diǎn)(橢圓軌道2的近地點(diǎn)),衛(wèi)星的速度方向才與軌道的半長(zhǎng)軸垂直,變軌后,衛(wèi)星的速度才可能與軌道圓的半徑垂直.如果制動(dòng)火箭在橢圓軌道2的其他位置點(diǎn)火,衛(wèi)星軌道只能為能量更小(半長(zhǎng)軸更短)的橢圓運(yùn)動(dòng),不可能變?yōu)閳A形軌道.若在軌道 1上的 A點(diǎn)(圖3示)再次令制動(dòng)火箭“點(diǎn)火”,使衛(wèi)星的速度適當(dāng)?shù)販p小,衛(wèi)星就可沿著能量較小的橢圓軌道落到地面上的B點(diǎn),若衛(wèi)星在A點(diǎn)時(shí),制動(dòng)火箭使它的速度減為零,衛(wèi)星將做自由落體運(yùn)動(dòng),沿直線落到地面上的C點(diǎn).

圖3

4 衛(wèi)星變軌遵循的規(guī)律

由以上分析可知,衛(wèi)星變軌遵循以下規(guī)律:

(1)若衛(wèi)星在橢圓軌道上運(yùn)行,在遠(yuǎn)地點(diǎn)(如圖2中的P點(diǎn))使衛(wèi)星的速度適當(dāng)增大,可使衛(wèi)星進(jìn)入能量更大的圓形軌道運(yùn)行;若在近地點(diǎn)(如圖 2中的 Q點(diǎn))使其速度適當(dāng)?shù)販p小,可使衛(wèi)星進(jìn)入能量更小的圓形軌道運(yùn)行.如果在橢圓軌道上的其他位置改變(增大或減小)衛(wèi)星的速度,只能使衛(wèi)星由一個(gè)橢圓軌道進(jìn)入另一個(gè)能量不同的橢圓軌道.

(2)若衛(wèi)星在圓形軌道上運(yùn)行,若在軌道上的任一點(diǎn)(如圖2中的Q點(diǎn))使衛(wèi)星的速度增加,衛(wèi)星將進(jìn)入能量更大的橢圓軌道運(yùn)行;若在軌道上的任一點(diǎn)(如圖2中的 P點(diǎn))使衛(wèi)星的速度減小,衛(wèi)星將進(jìn)入能量更小的橢圓軌道上運(yùn)行.也就是說(shuō),衛(wèi)星在變軌過(guò)程中,不可能由圓形軌道經(jīng)過(guò)一次變軌就進(jìn)入另一個(gè)圓形軌道,要從一個(gè)圓形軌道進(jìn)入另一個(gè)圓形軌道,最低限度也需經(jīng)過(guò)兩次變軌.實(shí)際上,在發(fā)射同步衛(wèi)星時(shí),是經(jīng)過(guò)多次變軌才使衛(wèi)星進(jìn)入預(yù)定軌道的.