趙清香 王建中

(長(zhǎng)治學(xué)院附屬太行中學(xué),山西長(zhǎng)治 046000)

圖1

題目.如圖 1,在 x軸下方有勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B,方向垂直于xy平面向外.P是y軸上距原點(diǎn)為h的一點(diǎn),N0為x軸上距原點(diǎn)為a的一點(diǎn).A是一塊平行于x軸的擋板,與 x軸的距離為的中點(diǎn)在y軸上,長(zhǎng)度略小于.帶點(diǎn)粒子與擋板碰撞前后,x方向的分速度不變,y方向的分速度反向、大小不變.質(zhì)量為 m,電荷量為q(q＞0)的粒子從P點(diǎn)瞄準(zhǔn)N0點(diǎn)入射,最后又通過(guò)P點(diǎn).不計(jì)重力,求粒子入射速度的所有可能值.

解法1:利用通項(xiàng)求解

圖2

如圖2所示,設(shè)粒子的入射速度為 v,第 1次射出磁 場(chǎng)的點(diǎn)為 N0′,與板碰撞后再次進(jìn)入磁場(chǎng)的位置為 N1,粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為 R,有

粒子速率不變,每次進(jìn)入磁場(chǎng)與射出磁場(chǎng)的位置間距離 x1保持不變

粒子射出磁場(chǎng)與下一次進(jìn)入磁場(chǎng)位置間的距離 x2始終不變,與 N0′N1相等,由圖可知

設(shè)粒子最終離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)與擋板相撞 n次,其中n=0、1、2、3……,若粒子能回到 P點(diǎn),由對(duì)稱性,出射點(diǎn) x的坐標(biāo)應(yīng)為-a,即

由(3)、(4)兩式,得

若粒子與擋板發(fā)生碰撞,則

聯(lián)立,得

由(1)、(2)、(5)式有

代入,得

解法2:按碰撞次數(shù)分別羅列求解

設(shè)粒子的入射速度為 v,第 1次射出磁場(chǎng)的點(diǎn)為 N0′,與板碰撞后再次進(jìn)入磁場(chǎng)的位置為N1,粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為 R,有

(1)與擋板不發(fā)生碰撞時(shí),由圖 3可得

由(1)～(3)式,可得

圖3

圖4

(2)與擋板發(fā)生一次碰撞時(shí),由圖 4可得

由(1)、(2)、(4)式,可得

(3)同理與擋板第二次碰撞時(shí),從圖 5還可得

由(1)、(2)、(5)式,可得

當(dāng)粒子欲與擋板第3次碰撞時(shí),必滿足

化簡(jiǎn),得

圖5

圖6

如圖 7,由對(duì)稱性可知,粒子第 1次返回 x軸上的位置坐標(biāo)可能為

其中 n=0、1、2、3 ……為粒子打在 A板上可能的次數(shù).

由圖可得

由幾何關(guān)系得

圖7

(3)

將(1)～(3)式聯(lián)立,可得

所以

圖8

解法4:通過(guò)碰撞點(diǎn)的橫坐標(biāo)求解

其中 n=0、1、2、3……

則由圖 8知

聯(lián)立(1)、(2)式,得

當(dāng) n=1時(shí),碰撞點(diǎn)在“x=0處”,即 A板的中點(diǎn),此時(shí)粒子與 A板相碰1次后回到P點(diǎn),此時(shí)粒子速度

當(dāng) n≥3時(shí),由(1)式知,粒子與 A板的碰撞點(diǎn)在“x≥處”,由于 A板在第 1象限最長(zhǎng)小于故粒子將直接從 A板的右端外側(cè)飛走,不再與 A板發(fā)生碰撞,因而n的可能取值只有n=0、n=1、n=2.