于 玫，黃 平

（華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640）

彈性流體動(dòng)力潤(rùn)滑（elasto-hydrodynamic lubrication，EHL）（以下簡(jiǎn)稱彈流潤(rùn)滑）問題，從數(shù)學(xué)本質(zhì)上講，需聯(lián)立求解流體潤(rùn)滑方程（Reynolds方程）、固體表面彈性變形方程、潤(rùn)滑膜幾何方程、潤(rùn)滑劑黏度方程和密度方程［1］，由于彈流系統(tǒng)的復(fù)雜性和強(qiáng)烈的非線性，其幾乎不可能求得解析解。彈流潤(rùn)滑的完全數(shù)值解就成為全面了解彈流潤(rùn)滑機(jī)理和特性的有效途徑［2］。

在彈流潤(rùn)滑研究中，所討論的流體大多是Newton流體，即流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律符合Newton的推斷：黏性剪切應(yīng)力與剪切應(yīng)變率成正比［3］。潤(rùn)滑脂具有較強(qiáng)的非Newton流體特性，因此其彈流問題的理論研究更加復(fù)雜。隨著彈流理論研究的不斷深入和彈流應(yīng)用的推廣，基于非Newton流體的彈流潤(rùn)滑研究日益受到關(guān)注。文獻(xiàn)［4］對(duì)脂潤(rùn)滑彈流問題進(jìn)行了全面的理論分析和試驗(yàn)研究，推導(dǎo)出了適用于Herschel-Bulkley流變模型的一維潤(rùn)滑方程，用分區(qū)解法求得線性彈流潤(rùn)滑完全數(shù)值解。特殊工況下使用的滾動(dòng)軸承的接觸潤(rùn)滑分析技術(shù)在近年來(lái)取得顯著進(jìn)展［5］。然而由于脂潤(rùn)滑彈流問題的復(fù)雜性，目前能見到的對(duì)脂潤(rùn)滑數(shù)值分析的研究還不多［6］。這里以O(shè)stwald模型為基礎(chǔ)建立脂潤(rùn)滑控制方程，運(yùn)用多重網(wǎng)格法對(duì)等溫線接觸脂潤(rùn)滑彈流潤(rùn)滑方程進(jìn)行求解，并以轎車輪轂軸承為例，分析了主要工況參數(shù)對(duì)潤(rùn)滑膜壓力分布和潤(rùn)滑膜形狀的影響。

1 輪轂軸承潤(rùn)滑脂流變特性本構(gòu)方程

這里研究的輪轂軸承為圓錐滾子軸承，其常采用潤(rùn)滑脂實(shí)現(xiàn)終身潤(rùn)滑。在彈流脂潤(rùn)滑中，脂潤(rùn)滑膜的重要特征是分層流動(dòng)，即內(nèi)層無(wú)剪切流動(dòng)，外層為剪切流動(dòng)［3］。描述潤(rùn)滑脂流變特性的本構(gòu)方程目前主要采用Ostwald，Bingham及Herschel-Bulkley 3種模型［7］。文獻(xiàn)［8］通過大量試驗(yàn)認(rèn)為國(guó)產(chǎn)潤(rùn)滑脂的特性符合Herschel-Bulkley模型，它含有3個(gè)參數(shù)。而這里認(rèn)為該模型的特例就是Ostwald模型，兩者的特性有較大的共性。文獻(xiàn)［9］認(rèn)為，工業(yè)上80%的廣義Newton體均可用Ostwald模型，它僅需確定2個(gè)參數(shù)，使用簡(jiǎn)單，因此被廣泛采用。所以，這里以O(shè)stwald模型為基礎(chǔ)建立脂潤(rùn)滑的控制方程。Ostwald模型的本構(gòu)方程為：

式中：τ為剪切應(yīng)力；?為塑性黏度；u為潤(rùn)滑膜流動(dòng)速度；z為潤(rùn)滑膜厚度方向；n為流變指數(shù)；γ·為剪應(yīng)變率。

嚴(yán)格說來(lái)，流變參數(shù)?和n都應(yīng)是溫度和壓力的函數(shù)，對(duì)于等溫潤(rùn)滑問題不考慮溫度的影響，而流變參數(shù)與壓力的關(guān)系通常按簡(jiǎn)化處理，即認(rèn)為n與壓力p無(wú)關(guān)［10］。

另外，密度的變化對(duì)脂潤(rùn)滑彈流計(jì)算的影響較小，通常在彈流脂潤(rùn)滑研究中，假設(shè)潤(rùn)滑膜為不可壓縮介質(zhì)［3］。

2 數(shù)值分析與求解

2.1 經(jīng)典脂潤(rùn)滑Reynolds方程的修正

根據(jù)（1）式，由文獻(xiàn)［4］得等效Reynolds方程為：

2.2 脂彈流潤(rùn)滑其他方程

線接觸接觸體的長(zhǎng)度和曲率遠(yuǎn)大于接觸寬度，可認(rèn)為屬于平面應(yīng)變狀態(tài)，相當(dāng)于平直的彈性半無(wú)限體受分布載荷作用［11］，如圖1所示。表面上各點(diǎn)沿垂直方向的彈性位移為：

圖1 線接觸彈性變形

式中：s是x軸上的附加坐標(biāo)，表示任意線載荷p（s）ds與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離；p（s）為載荷分布函數(shù)；s1和s2為載荷p（x）的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)；c為待定常數(shù)。

如圖2所示，將（7）式與潤(rùn)滑膜壓力作用下的彈性變形疊加，可以求得膜厚方程為：

圖2 潤(rùn)滑膜的間隙

Roelands提出了較符合實(shí)際的等溫條件下的黏壓關(guān)系式：

式中：z為試驗(yàn)常數(shù)，近似為0.1～1.5。

2.3 基本方程的無(wú)量綱化

在數(shù)值分析前，需要將線接觸潤(rùn)滑基本方程無(wú)量綱化［12］。無(wú)量綱膜厚方程為：

脂潤(rùn)滑狀態(tài)是處于動(dòng)態(tài)的變化過程，分析脂潤(rùn)滑彈流一般針對(duì)潤(rùn)滑脂在經(jīng)過剪切穩(wěn)定后的流變參數(shù)相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)［13］。用多重網(wǎng)格法計(jì)算（6）和（10）～（12）式組成的方程組［7］。迭代過程包括壓力修正和載荷平衡所需的剛體位移的修正，這些都是在某一特定網(wǎng)格下進(jìn)行的［14］。此處對(duì)較輕的壓力進(jìn)行修正時(shí)采用Gauss-Seidel迭代法；當(dāng)壓力較大時(shí)，由于采用這種方法容易發(fā)散，因此采用Jacobi雙極子迭代法。兩種方法同時(shí)使用，從而解決了脂彈流潤(rùn)滑的入口區(qū)壓力變化劇烈和接觸區(qū)載荷難以平衡的問題，較好地得到問題的收斂數(shù)值解。

3 計(jì)算結(jié)果與分析

根據(jù)運(yùn)算結(jié)果可以對(duì)圓錐滾子軸承的彈流潤(rùn)滑進(jìn)行分析。圖3是基于表1的工況參數(shù)下，載荷、速度、流變指數(shù)n分別對(duì)潤(rùn)滑膜形狀和潤(rùn)滑膜壓力分布的影響示意圖。圖4反映了工況參數(shù)對(duì)潤(rùn)滑膜最小厚度和最大壓力的影響。

圖3 工況參數(shù)對(duì)潤(rùn)滑膜的影響

表1 工況參數(shù)

圖4 工況參數(shù)對(duì)潤(rùn)滑膜最大壓力和最小厚度的影響

從圖3中可看到：（1）脂潤(rùn)滑彈流膜厚形狀和壓力分布與油潤(rùn)滑情況相似。脂潤(rùn)滑彈流膜具有與油潤(rùn)滑膜相同的二次壓力峰和出口區(qū)的頸縮現(xiàn)象；（2）載荷的變化對(duì)潤(rùn)滑膜壓力分布有顯著影響，但對(duì)潤(rùn)滑膜厚度的影響比較小。在轎車輪轂軸承可能的承載條件下，隨著載荷的減小，二次壓力峰的高度降低，其位置向入口區(qū)移動(dòng)。在接觸區(qū)中部，潤(rùn)滑膜壓力接近于Hertz應(yīng)力分布，潤(rùn)滑膜呈近似平行狀。在二次壓力峰對(duì)應(yīng)處，潤(rùn)滑膜開始收縮，形成出口區(qū)的頸縮現(xiàn)象；（3）當(dāng)速度增加時(shí)，膜厚相應(yīng)增加，潤(rùn)滑膜的平行部分縮短，二次壓力峰的高度增加，其位置也向入口區(qū)移動(dòng)。很顯然，卷吸速度增大（軸承轉(zhuǎn)速提高）有利于形成良好的彈流潤(rùn)滑膜，從而讓軸承處于良好的潤(rùn)滑狀態(tài)；（4）軸承在一定的承載和卷吸速度條件下，隨著流變指數(shù)n的增大，二次壓力峰的高度升高，其位置向入口區(qū)移動(dòng)，膜厚相應(yīng)增加。

從圖4中可看到：（1）潤(rùn)滑膜的最大接觸壓力隨著載荷的增大而增大，最小膜厚隨著載荷的增大而減小，并且都呈近似線性關(guān)系；（2）當(dāng)卷吸速度增大時(shí)，潤(rùn)滑膜的最小厚度和最大壓力都隨之增大，并且也都呈近似的線性關(guān)系；（3）潤(rùn)滑膜最大接觸壓力和最小厚度都隨著n的增大而增大，所以n越大越有利于形成良好的彈流潤(rùn)滑膜。

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)經(jīng)典等效脂潤(rùn)滑Reynolds方程存在的問題進(jìn)行了修正，解決了計(jì)算不確定問題。利用輪轂軸承參數(shù)，編制程序?qū)Σ煌髯儏?shù)條件下的彈流脂潤(rùn)滑進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果合理。在一般的工況條件下，計(jì)算得到的膜厚在彈流潤(rùn)滑解的范圍之內(nèi)，并且潤(rùn)滑膜壓力分布與形狀均存在二次壓力峰和頸縮現(xiàn)象。最大壓力和最小膜厚隨工況參數(shù)的變化趨勢(shì)符合實(shí)際。這表明文中給出的求解滾子軸承的脂潤(rùn)滑線性彈流問題的方法是可行的，能夠較好模擬滾子軸承脂潤(rùn)滑情況，可為開發(fā)輪轂軸承提供數(shù)值分析手段。