秦海勤，徐可君，隋育松，孟照國(guó)

(1.海軍航空工程學(xué)院 航空機(jī)械系，山東 青島 266041；2.青島科技大學(xué)，山東 青島 266042)

目前基于故障特征頻率的診斷方法[1-3]是滾動(dòng)軸承常用的診斷手段之一。當(dāng)滾動(dòng)軸承發(fā)生故障時(shí)，不但其特征頻率會(huì)凸顯，而且其振動(dòng)信號(hào)三維和二維譜圖中也包含著豐富的故障信息。提取并利用這些譜圖信息對(duì)于進(jìn)一步完善軸承故障診斷技術(shù)和提高診斷精度具有現(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)意義。

圖像矩陣奇異值能夠反映圖像的本質(zhì)特征，把滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的S變換三維時(shí)頻譜圖轉(zhuǎn)換為二維灰度圖，應(yīng)用奇異值歐氏距離作為兩幅圖像相似程度的度量尺度，即可實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)軸承的故障診斷。

1 S變換三維和二維譜圖的生成

雖然對(duì)于振動(dòng)信號(hào)的三維和二維譜圖有多種生成方法，如短時(shí)Fourier變換、小波變換、Gabor變化、Wigner-Ville變化等。但這些變換均存在一定的固有缺陷，如短時(shí)Fourier變換分辨率固定，Wigner-Ville變化存在交叉項(xiàng)等，其應(yīng)用受到了一定的限制。而由Stockwell提出的S變換不僅吸收了短時(shí)Fourier變換和小波變換的優(yōu)點(diǎn)，而且克服了兩者的缺陷，同時(shí)也不存在交叉項(xiàng)[4]。S變換通過(guò)Gauss窗將短時(shí)Fourier變換和小波變換進(jìn)行了有效的結(jié)合，具體定義為：

(1)

(2)

式中：x(t)為能量有限的信號(hào)時(shí)間序列函數(shù)；X(f)為x(t)的Fourier變換；w(t,f)為Gauss窗函數(shù)；f為頻率；τ為時(shí)窗函數(shù)的中心點(diǎn)，表示Gauss窗函數(shù)在時(shí)間軸上的位置。

從S變換的定義可以看出，時(shí)窗寬度σ=1/|f|與頻率f成反比，具有與小波變換相似的多分辨率特征。在實(shí)際應(yīng)用中，所得到的信號(hào)都是采樣離散時(shí)間序列，因此使用更多的是離散S變化，可直接由連續(xù)變化推導(dǎo)出。

設(shè)采樣間隔為T，采樣時(shí)間為t，則采樣點(diǎn)數(shù)為N=t/T。令f→n/NT，τ→kT，則S變化的離散形式可以表示為：

(k,m=0,1,…,N-1;n=1,2,…,N-1)

(3)

以采樣時(shí)間為x坐標(biāo)，頻率為y坐標(biāo)，S變換的幅值為z坐標(biāo)，所得譜圖即為振動(dòng)信號(hào)的三維S變換譜圖。三維譜圖分別向xy平面、xz平面和yz平面投影即可得到振動(dòng)信號(hào)的二維譜圖。

2 基于奇異值距離的故障診斷

2.1 圖像矩陣的奇異值分解及其特性

設(shè)Ap×q是秩為q的實(shí)矩陣，則存在兩個(gè)酉矩陣U和V滿足：

A=UΛVT

(4)

式中：U為p×p的矩陣；V為q×q的矩陣；Λ=diag(λ1,λ2,…,λq,0,…,0)且λ1≥λ2≥…≥λi(i=1,2,…,q)，則λi就是矩陣Ap×q的奇異值。

由S變換所得的譜圖實(shí)質(zhì)為滾動(dòng)軸承不同故障模式下的處理圖像。處理時(shí)該圖像常常以矩陣的形式表示，因此圖像的各種特性以及紋理特征等包含在矩陣元素中。而矩陣的度量特征與奇異值密切相關(guān)，故奇異值反映了圖像的一種代數(shù)本質(zhì)，這種本質(zhì)是一種內(nèi)在屬性[5-6]。

由于：‖A‖F(xiàn)=‖UΛVT‖F(xiàn)

=‖U‖F(xiàn)‖Λ‖F(xiàn)‖VT‖F(xiàn)

(5)

式中：F表示范數(shù)。因此，圖像的能量也完全可以由圖像的奇異值表示。同時(shí)奇異值還具有一系列良好的特性，主要表現(xiàn)為：

(1)穩(wěn)定性。對(duì)圖像噪聲、光照條件等引起的灰度變化不敏感。

(2)旋轉(zhuǎn)不變性。表示對(duì)原始圖像旋轉(zhuǎn)后其奇異值保持不變。

(3)比例不變性。表示對(duì)圖像進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理后其奇異值保持不變。

這些良好的特性保證了奇異值代表圖像特征具有一定的魯棒性。

2.2 奇異值距離

由于圖像矩陣奇異值能夠很好地表示圖像特征，因此可直接利用奇異值作為故障特征進(jìn)行診斷。為了更好地區(qū)分不同故障狀態(tài)，以奇異值歐氏距離作為兩幅圖像相似程度的度量尺度。

對(duì)于任意的向量X=[x1,x2,…,xn]和Y=[y1,y2,…,yn]，其歐氏距離定義為：

(6)

若向量X和Y相等，則D(X,Y)=0。若X和Y相差越多，則D(X,Y)越大。

3 實(shí)例分析

為了驗(yàn)證該方法在滾動(dòng)軸承故障診斷中的有效性，以Case Western Reserve University(CWRU)的軸承試驗(yàn)數(shù)據(jù)為例進(jìn)行說(shuō)明[7]。試驗(yàn)所用軸承為SKF的6205-2RS型深溝球軸承。利用電火花加工模擬軸承的內(nèi)圈故障、外圈故障、鋼球故障以及正常情況下的4種模式，軸承故障參數(shù)如表1所示。利用加速度傳感器進(jìn)行拾振，采樣頻率為12 kHz，采樣時(shí)各故障狀態(tài)軸承轉(zhuǎn)速均為1 772 r/min。

表1 軸承故障參數(shù)表 mm

每一故障模式下分別提取25組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為2 048個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。其中前5組數(shù)據(jù)用來(lái)構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)故障模式，后20組數(shù)據(jù)作為測(cè)試樣本。首先通過(guò)S變換求取振動(dòng)信號(hào)的三維時(shí)頻譜圖，圖1為狀態(tài)Ⅱ下4種軸承模式的三維時(shí)頻譜圖。

圖1 狀態(tài)Ⅱ下不同模式的三維頻譜圖

從圖中可以看出這4種模式存在明顯的差別。在正常狀態(tài)下信號(hào)的能量主要集中在2 kHz以內(nèi)的低頻段；發(fā)生內(nèi)圈故障時(shí)信號(hào)的能量集中在2～5 kHz；發(fā)生外圈故障時(shí)信號(hào)的能量集中在4 kHz左右且1 kHz附近也分散少許能量；發(fā)生鋼球故障時(shí)能量集中在3～4 kHz。

為了提取圖像奇異值特征，需把三維時(shí)頻譜轉(zhuǎn)換為二維灰度圖。在進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)既可以向時(shí)間頻率平面內(nèi)投影，也可以向頻率幅值平面內(nèi)或時(shí)間幅值平面內(nèi)投影。這3種投影方式各有優(yōu)缺點(diǎn)，但都舍棄了圖像某一維的信息。為了提高故障診斷的精度，應(yīng)該盡量綜合利用這3方面的信息。而三維時(shí)頻譜本身就是一種三維信息在二維平面的投影，現(xiàn)采用這種投影方式把三維時(shí)頻譜直接轉(zhuǎn)換為灰度圖，圖2即為圖1經(jīng)過(guò)平滑、濾波處理后的灰度圖。

圖2 不同模式灰度圖

首先，對(duì)得到的每一幅灰度圖矩陣進(jìn)行奇異值分解，得到其圖像奇異值特征向量。然后，取每一故障模式前5組數(shù)據(jù)各個(gè)圖像奇異值特征向量的平均值作為該故障模式的標(biāo)準(zhǔn)特征向量。最后，通過(guò)歐氏距離對(duì)測(cè)試樣本特征向量與標(biāo)準(zhǔn)特征向量進(jìn)行度量即可實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)軸承的故障診斷。

取3種狀態(tài)下每種故障類型各20個(gè)樣本進(jìn)行診斷，結(jié)果見(jiàn)表2。分析可得，該方法具有較高的診斷精度，尤其在故障尺寸較小時(shí)，4種故障都被正確識(shí)別出來(lái)。但值得注意的是隨著故障尺寸的增加，診斷平均正確率反而有所降低。究其原因可能是由于故障的加劇，軸承各部件相互引起的調(diào)頻效果增強(qiáng)，使得故障特征頻率產(chǎn)生相互交疊的可能性大大增強(qiáng)。同時(shí)隨著故障尺寸的增加，各部件的振動(dòng)加劇，但由于相互影響有可能使反映在軸承座上的振動(dòng)在不同故障模式下量值比較接近。正是由于這兩方面的原因使得故障加劇時(shí)診斷平均正確率反而有所降低。

表2 基于圖像奇異值特征的診斷結(jié)果

為了進(jìn)一步比較，通過(guò)提取各灰度圖紋理特征，利用灰關(guān)聯(lián)對(duì)各故障狀態(tài)進(jìn)行了識(shí)別。表3為通過(guò)灰關(guān)聯(lián)，利用圖像紋理特征對(duì)各故障模式的詳細(xì)識(shí)別結(jié)果。

表3 基于圖像紋理特征的灰關(guān)聯(lián)診斷結(jié)果

通過(guò)比較表2和表3可以發(fā)現(xiàn)。雖然對(duì)于個(gè)別故障基于圖像紋理特征的識(shí)別效果好于基于圖像奇異值特征向量的識(shí)別效果，但絕大多數(shù)情況后者優(yōu)于前者，且后者的平均識(shí)別正確率高。進(jìn)一步說(shuō)明本文方法的有效性。

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)實(shí)測(cè)不同故障狀態(tài)數(shù)據(jù)的分析表明：該方法具有較高的故障模式分類精度，但隨著故障尺寸的增加，由于軸承各部件之間的影響，診斷正確率會(huì)有所降低。同時(shí)，與基于圖像紋理特征的灰關(guān)聯(lián)識(shí)別結(jié)果對(duì)比表明，該方法總體識(shí)別效果更好。