?安徽省利辛縣教育局 夏 飛

【重點(diǎn)分析】

本節(jié)內(nèi)容是利用反比例函數(shù)來解決生活中的實(shí)際問題，其關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出函數(shù)關(guān)系，從而將文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，通過反比例函數(shù)的概念列出函數(shù)關(guān)系式，再利用反比例函數(shù)的性質(zhì)、思想方法去解決實(shí)際問題．

利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是：建立反比例函數(shù)模型，列出反映實(shí)際問題的反比例函數(shù)解析式：

（1）列出反映實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式首先應(yīng)分析清楚各變量之間應(yīng)滿足的分式，即：實(shí)際問題中的變量之間的關(guān)系→建立反比例函數(shù)模型→解決實(shí)際問題.

（2）在列反映實(shí)際問題的函數(shù)關(guān)系式時，一定要在列出的關(guān)系式后面注明自變量的取值范圍.

【學(xué)法指津】

1.學(xué)會把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識來源于實(shí)際生活又服務(wù)于實(shí)際生活這一原理．

2.要熟悉一些常見的函數(shù)模型，能用函數(shù)的觀點(diǎn)分析、解決實(shí)際問題，讓實(shí)際問題中的量的關(guān)系在數(shù)學(xué)模型中相互聯(lián)系，并得到解決．

3.要認(rèn)真閱讀題目，理解題意，抓住關(guān)鍵量，主要是題目中的定值、常量和恒定不變的數(shù)據(jù)等，準(zhǔn)確地抽象出函數(shù)關(guān)系，然后正確設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，用待定系數(shù)法求出待定系數(shù)．

4.由于實(shí)際問題中有很多限制條件，因此當(dāng)自己認(rèn)為解決了問題后，還要回頭再把題目看一看，是否有疏忽的地方，以免求出的答案不符合題意．

【典例解析】

例1：如下圖，市煤氣公司要在地下修建一個容積為104m3的圓柱形煤氣儲存室．

（1）儲存室的底面積S（單位：m2）與其深度d（單位：m）有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

（2）公司決定把儲存室的底面積S定為500m2，施工隊(duì)施工時應(yīng)該向下掘進(jìn)多深？

（3）當(dāng)施工隊(duì)按（2）中的計劃掘進(jìn)到地下15m時，碰上了堅硬的巖石，為了節(jié)約建設(shè)資金，儲存室的底面積應(yīng)改為多少才能滿足需要（保留兩位小數(shù)）？

分析：（1）根據(jù)圓柱體的體積公式，我們有S×d=104，變形可得

（2）把S=500代入所求得的解析式，即可求得深度d；

（3）把d=15代入解析式，即可求得儲存室的底面積S．

答：如果把儲存室的底面積定為500m2，施工時應(yīng)向地下掘進(jìn)20m深．

答：當(dāng)儲存室的深為15m時，儲存室的底面積應(yīng)改為666.67m2才能滿足需要．

例2：某地上年度電價為0.8元，年用電量為1億度，本年度計劃將電價調(diào)至0.55～0.75元之間，經(jīng)測算，若電價調(diào)至x元，則本年度新增用電量y億度與（x-0.4）元成反比例，又當(dāng)x=0.65時，y=0.8；

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若每度電成本價為0.3元，則電價調(diào)至多少元時，本年度電力部分收益將比上年度增加20%？［收益=用電量×（實(shí)際電價－成本價）.］

分析：（1）此題屬于把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求反比例函數(shù)的解析式的問題．

（2）此題屬于函數(shù)解析式的應(yīng)用問題．要解決的問題是：若每度電成本價為0.3元，本年度電力部分收益將比上年度增加20%？須考慮“收益=用電量×（實(shí)際電價－成本價）”這一關(guān)系．而上年度電價為0.8元，年用電量為1億度．于是可算出本年度電力部分收益為0.6億元．

解：（1）由于本年度新增用電量y億度與（x-0.4）元成反比例，所以可設(shè)所求的關(guān)系式為，又當(dāng)x=0.65時，y=0.8；代入，可求得k=0.2，

解得：x1=0.5，x2=0.6；根據(jù)實(shí)際問題，這兩個值都符合題意．

答：電價調(diào)至0.5或0.6元時，本年度電力部分收益將比上年度增加20%．

例3：制作一種產(chǎn)品，需先將材料加熱達(dá)到60℃后，再進(jìn)行操作．設(shè)該材料溫度為y（℃），從加熱開始計算的時間為x（分鐘）．據(jù)了解，設(shè)該材料加熱時，溫度y與x時間成一次函數(shù)關(guān)系；停止加熱進(jìn)行操作時，溫度y與x時間成反比例關(guān)系（如下圖）．已知該材料在操作加工前的溫度為15℃，加熱5分鐘后溫度達(dá)到60℃．

（1）分別求出將材料加熱和停止加熱進(jìn)行操作時，y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)工藝要求，當(dāng)材料的溫度低于15℃時，須停止操作，那么從開始加熱到停止操作，共經(jīng)歷了多少時間？

分析：本題主要考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)解析式的求法．但由于本題是由一次函數(shù)和反比例函數(shù)組成的分段函數(shù)，所有要注意分類討論，分別寫出函數(shù)關(guān)系式．（1）顯然將材料加熱時，即0≤x≤5，y與x是一次函數(shù)，直線過點(diǎn)（0，15），（5，60）；停止加熱時，即 x≥5，y與 x是反比例函數(shù)，圖像過點(diǎn)（5，60），易求得函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)材料的溫度低于15℃時，需停止操作，即令y=15，求對應(yīng)的自變量的值．

解：（1）將材料加熱時，y與x是一次函數(shù)關(guān)系，可設(shè)y=kx+b（0≤x≤5）.

∵當(dāng)x=0時，y=15；當(dāng)x=5時，y=60；

∴當(dāng)0≤x≤5時，y與x的關(guān)系式為：y=9x+15．

∴x=20.即從開始加熱到停止操作，共經(jīng)歷了20min．

分析：綜合運(yùn)用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的知識解題，一般要先根據(jù)題意畫出圖像，然后可借助圖像和題目中提供的信息解題．

（2）解法一：

y=-x+2，當(dāng) y=0 時，x=2，M（2，0）．

∴OM=2．作AC⊥x軸于C，作BD⊥x軸于D．

解法二：

y=-x+2，當(dāng) 時 x=0 時，y=2，N（0，2）．∴ON=2 ．

作AC⊥y軸于C，BD⊥y軸于D．

【總結(jié)反思】

用函數(shù)觀點(diǎn)處理實(shí)際問題，關(guān)鍵在于分析實(shí)際情境，建立函數(shù)模型，并進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)問題，將實(shí)際問題置于已有的知識背景之中，用數(shù)學(xué)知識重新解釋這是什么？可以看到什么？逐步形成解決實(shí)際問題的能力．而在解決問題時不僅要充分利用函數(shù)的圖像，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，還要注意函數(shù)不等式、方程之間的聯(lián)系，以及學(xué)科之間知識滲透．重要的有以下幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)：

1.通過分析，把實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系；利用構(gòu)建好的數(shù)學(xué)模型、函數(shù)思想來解決這類問題．

2.通過觀察圖像，把圖像中提供、展現(xiàn)的信息轉(zhuǎn)化為與函數(shù)有關(guān)的知識來解題．

3.綜合運(yùn)用一次函數(shù)和反比例函數(shù)求解兩種函數(shù)解析式，往往仍用待定系數(shù)法．

【典題演練】（供教師做習(xí)題參考.）

1.已知某矩形的面積為20cm2．

（1）寫出其長y與x寬之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)矩形的長為12cm時，求寬為多少？當(dāng)矩形的寬為4cm時，其長為多少？

（3）如果要求矩形的長不小于8cm，其寬最多應(yīng)是多少?

2.某蓄水池的排水管每時排水8m3,6h可將滿池水全部排空．

（1）蓄水池的容積是多少?

（2）如果增加排水管，使每時的排水量達(dá)到Q（m3），那么將滿池水排空所需的時間t（h）將如何變化?

（3）寫出t與Q之間的函數(shù)關(guān)系式；

（1）分別寫出這兩個函數(shù)的表達(dá)式．

（2）你能求出點(diǎn)B的坐標(biāo)嗎？你是怎樣求的？

（3）若點(diǎn)C坐標(biāo)是（-4，0），請求△BOC的面積．

4.為了預(yù)防流行性感冒，某學(xué)校對教室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知，藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如下圖所示）．現(xiàn)測得藥物8分鐘燃盡，此室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克，請你根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題：

（2）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過_______分鐘后，學(xué)生才能回到教室；

（3）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？

答案與提示：

2.（1）蓄水池的容積為：8×6=48（m3）．（2）答：此時所需時間t（h）將減少．（3）t與Q之間的函數(shù)關(guān)系式為：

3.（1）正比例函數(shù)表達(dá)式為：y=2x；反比例函數(shù)表達(dá)式為2）①可利用圖像，根據(jù)對稱性來求；②可將y=2x與組成方程組，求出方程組的解．答案：B的坐標(biāo)為．（3）由于點(diǎn)C坐標(biāo)是（-4，0），B的縱坐標(biāo)為，所以△BOC的底邊長為4，高為，則（面積單位）．