周 丹，辛 江，馬志剛

（1.北京大興電力公司,北京102600;2.石家莊供電公司，河北 石家莊050000）

0 引言

配電網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)是一個多目標(biāo)非線性混合優(yōu)化問題[1-7]，已經(jīng)發(fā)表的配網(wǎng)重構(gòu)方法有以下幾種：數(shù)學(xué)優(yōu)化理論算法，如分支定界法，它存在嚴(yán)重的“維數(shù)災(zāi)”問題；啟發(fā)式方法，如支路交換法[8]、最優(yōu)流模式算法[9]，它們?nèi)狈?shù)學(xué)意義上的全局最優(yōu)性；人工智能算法，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[10]、模擬退火法、遺傳算法（GA）[11-23]等，這些方法在保證得到全局最優(yōu)解方面效果很好。人工智能算法中遺傳算法只需要目標(biāo)函數(shù)本身，而不需要目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或其他輔助的信息，因而具有廣泛的適應(yīng)性[23]。但該算法同樣還面臨許多問題，如計算速度慢，距離在線應(yīng)用的要求還有一定的距離；用遺傳算法解決電網(wǎng)重構(gòu)的主要問題是計算過程中生成過多不可行解，易產(chǎn)生早熟現(xiàn)象，計算效率低下，以及生成染色體解的范圍過大，存在難以承受的計算代價。人們開始對如何減少算法時間和提高算法效率進行研究，文獻[24]針對遺傳算法的編碼方式做了一定的改進，采用了直接編碼方案，并提出通過模糊規(guī)則在線地改變交叉率和變異率的值，改進了算法性能，提高了收斂速度，避免了不成熟收斂。由于配電網(wǎng)重構(gòu)的結(jié)果必定為輻射型網(wǎng)絡(luò)，文獻[25]提出了一種減少生成樹數(shù)量的重構(gòu)算法，但最終要一一計算，比較減少后的每棵樹的網(wǎng)損。

針對遺傳算法存在的問題，結(jié)合前人的改進方法，對遺傳算法在綜合考慮降低網(wǎng)損收益和開關(guān)操作費用的多目標(biāo)重構(gòu)問題進行全面分析，導(dǎo)出不影響最優(yōu)解前提下的必選擇支路，縮小了可行染色體解空間范圍；改進了原有遺傳算法的二進制編碼方式和遺傳操作，采用支路實數(shù)編碼和與之對應(yīng)的遺傳操作，提高了遺傳算法的計算效率；最后將編碼方式與輻射狀網(wǎng)絡(luò)潮流計算[26-27]結(jié)合起來，使之能夠給潮流計算提供關(guān)聯(lián)矩陣等重要中間變量，加快適應(yīng)度函數(shù)的計算。綜合以上幾個方面的改進，使遺傳算法計算時間大大減少，并且理論上能夠保證得到全局最優(yōu)解。

1 配電網(wǎng)重構(gòu)的數(shù)學(xué)模型

按照不同的場合和目的可以定義不同的重構(gòu)模型，一般來說，其數(shù)學(xué)模型描述如下

式中，f(S,X)是數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)；S為控制變量；X為狀態(tài)變量；h是等式約束；g為不等式約束；T為所求問題的解空間。

1.1 目標(biāo)函數(shù)

1)考慮開關(guān)操作次數(shù)最少。

式中，yi和Zj分別是表示分段開關(guān)和聯(lián)絡(luò)開關(guān)在重構(gòu)后的狀態(tài)，閉合時為1，斷開時為0；m1和n1分別為配電網(wǎng)中的分段開關(guān)和聯(lián)絡(luò)開關(guān)數(shù)。

2)考慮網(wǎng)損最小。

式中，ri是饋線上的阻抗；Pi和Qi分別是饋線i上流過的有功功率和無功功率；Ui為饋線i上的電壓；FC為網(wǎng)絡(luò)中所有閉合饋線的集合。

本文為使配電網(wǎng)在一段時間T內(nèi)的收益最大，并且綜合考慮降低網(wǎng)損的收益和開關(guān)的操作費用，得到配電網(wǎng)重構(gòu)的多目標(biāo)函數(shù)：

式中，k1為單位電價；T為重構(gòu)時間間隔；Ploss1和Ploss分別為重構(gòu)前后的網(wǎng)損；k2為開關(guān)操作一次的費用；Fk為重構(gòu)一次的開關(guān)操作次數(shù)。

1.2 罰函數(shù)

對于節(jié)點電壓，其罰函數(shù)為：

式中，m1和m2表示懲罰程度，為大于0的常數(shù)，通常取2。

1.3 綜合目標(biāo)函數(shù)

將g1和g2加入到原目標(biāo)函數(shù)F中，得到新的目標(biāo)函數(shù)f：

式中，β1和β2均為大于0的常數(shù)，稱懲罰因子。

2 改進遺傳算法

2.1 編碼策略

由于電網(wǎng)中的開關(guān)數(shù)量巨大，采用0-1編碼染色體的長度十分驚人，編碼解碼的計算量都會很大，不利于縮短計算時間。為了加快重構(gòu)速度，采用十進制的非常規(guī)編碼方式，選擇斷開的支路編號作為基因編號。將所有支路都閉合，這樣網(wǎng)絡(luò)中將形成一些環(huán)，依次打開這些環(huán)，系統(tǒng)就恢復(fù)到輻射狀的結(jié)構(gòu)。設(shè)環(huán)的個數(shù)是N，每個環(huán)路當(dāng)中的支路形成一個集合，每個集合中選取一條支路斷開，每個集合中選擇出的支路編號成為染色體的一位，最終染色體長度為N。

以一典型的三饋線系統(tǒng)為例，見圖1，共有16條支路，按照一般二進制編碼方式染色體長度為16，則染色體空間將有216=32 768個個體。通過數(shù)學(xué)組合可以得出圖1中可行染色體個體為60個，二進制編碼有效候選解只占60/32 768=0.183 11%，搜索效率非常低。應(yīng)用十進制編碼，閉合所有支路，系統(tǒng)中有3個環(huán)集合存在，它們分別是（1、5、10、9、7、6）、（6、11、16、15、12）、（1、2、3、4、14、13、12），此時生成染色體空間中個體數(shù)目為=210,有效候選解占60/210=28.571%，搜索效率與二進制相比得到了很大提高。

圖1 IEEE典型三饋線系統(tǒng)

基于圖論理，論文獻[28]給出了以網(wǎng)損最小為目標(biāo)函數(shù)時必須閉合支路的一般規(guī)則：與電源點相連的支路開關(guān)一般應(yīng)閉合。文獻[24]根據(jù)基于理想網(wǎng)絡(luò)的規(guī)則，導(dǎo)出了不影響解最優(yōu)性的必須閉合支路開關(guān)的規(guī)則。應(yīng)用這2條規(guī)則，系統(tǒng)中支路1、6、12為必須閉合支路，將它們從個個環(huán)路空間中刪除，進一步減小了解空間范圍，此時染色體空間中個體數(shù)目為60。此系統(tǒng)由于饋線多而環(huán)路少造成了生成的染色體空間恰好等于可行解空間，但是應(yīng)用上述規(guī)則確定出必閉合支路一定能夠減少染色體空間的范圍。

2.2 初代染色體生成

初始種群依次從N個環(huán)路集合中隨機選取的方式生成，每生成染色體的一位都要判斷系統(tǒng)連通性，過程如下：以圖1系統(tǒng)為例，系統(tǒng)中存在3個環(huán)路集合，經(jīng)規(guī)則約簡后為I（5、10、9、7），II（11、16、15），III（2、3、4、14、13），隨機從這3個環(huán)路集合中選取一個集合，從這個集合中隨機選取一條支路作為染色體的第一個基因，設(shè)選中I集合中的10支路。從剩下的2個環(huán)路集合中選取一個，在集合中隨機選取第二條支路，判斷網(wǎng)絡(luò)連通性，連通則選取的支路編號作為染色體的第二個基因，否則從該集合中重新選取開關(guān)，再驗證連通性，直到找到一個適合的支路，設(shè)選中II中支路16，判斷系統(tǒng)連通，16為染色體的第二個基因。依此類推，選中III中的4號支路，打開系統(tǒng)所有環(huán)路，形成一個合法的染色體（10、16、4）。

每形成一個合法染色體后還要檢查該染色體是否和已經(jīng)形成的染色體有重復(fù)，有則舍棄，重新生成。最后檢查總的染色體數(shù)目是否達到種群規(guī)模，是則停止，否則繼續(xù)生成下一個個體。

2.3 交叉和變異

由于應(yīng)用十進制編碼方式，大大減小了染色體長度，避免了對不必要基因的遺傳操作。采用單點交叉的方式，交叉概率取0.5。隨機選取交叉點，交換父、母染色體中該點基因，形成2個新的個體，每交換一個基因都需要驗證交換的合法性（交換后網(wǎng)絡(luò)是否連通）。如果2個后代都不合法，則重新選取父母進行交叉，直到產(chǎn)生至少一個合法個體。交叉產(chǎn)生的合法后代不進行比較，全部直接進入下一代。

十進制的編碼方式，變異操作不同于二進制編碼的變異位基因取反，所采取的辦法是：隨機選取一位變異基因，用該基因（支路）所屬環(huán)中的另外一條支路來替換它。實驗證明，如果隨機選取替換支路，形成非法染色體的概率很大，這里從變異基因?qū)?yīng)支路的相鄰支路中選取，若左右相鄰支路都不符合標(biāo)準(zhǔn)，則尋找第二個相鄰支路，依此類推。

結(jié)合十進制編號配網(wǎng)重構(gòu)的特點，變異操作對尋優(yōu)的影響較大，應(yīng)取較高的變異概率，但當(dāng)變異概率過高時，可能會使當(dāng)代最優(yōu)解發(fā)生變異從而偏離最優(yōu)，通過試驗本文中變異概率取0.5。

2.4 連通性判定

網(wǎng)絡(luò)拓撲辨識問題通常使用搜索算法（廣度優(yōu)先、深度優(yōu)先），這些算法一般使用鏈表法描述網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，在求解過程中需要完全占用CPU時間[28]。本文采用基于關(guān)聯(lián)矩陣法的網(wǎng)絡(luò)拓撲辨識算法，辨識速度快，具有很強的實時性。具體操作如下：

根據(jù)華沙爾算法定義矩陣乘法運算：

此時公式（10）中A為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點-支路關(guān)聯(lián)矩陣，用A表示，式（10）中B為節(jié)點-支路關(guān)聯(lián)矩陣的轉(zhuǎn)置AT，C=A·AT=[cij]表示了節(jié)點i與節(jié)點j通過任意支路的關(guān)聯(lián)情況，若cij=1則必有支路連接ij節(jié)點，矩陣C稱為一級節(jié)點—節(jié)點連通矩陣，計為C1。運用連通關(guān)系C2=C1·C1，求得C2它代表了節(jié)點之間的部分連接關(guān)系，依次類推，直至C陣不再變化為止。若C陣為一全1矩陣，則表示矩陣連通，否則非連通。

3 樹狀網(wǎng)潮流計算

3.1 前推回代

在系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)損耗最小的單目標(biāo)優(yōu)化問題當(dāng)中，文獻[25]以網(wǎng)損的倒數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù),方法簡潔有效。本文也采用此種方法。適應(yīng)度函數(shù)的計算時間很大程度上影響著整體算法的時間。通常的牛拉法、PQ分解法在輻射網(wǎng)潮流計算時，常常會出現(xiàn)收斂問題，計算速度較慢，前推回代法能夠很好解決這個問題。此次應(yīng)用支路電流計算染色體適應(yīng)度。

式中，I觶Ni為節(jié)點i注入電流矢量；S觶i為節(jié)點i注入功率；V觶i為節(jié)點i電壓。

式中，A為電源點添加無源虛擬支路的節(jié)點-支路關(guān)聯(lián)矩陣（電流流入方向為負）；U是為與A同階的單位陣；A0是對角元素為“0”，非對角元素與A完全相同的矩陣。

式中，I觶L為支路電流列矢量；I觶N為節(jié)點注入電流矢量。

顯然，式（14）左端最后一個元素，即最后一個支路電流等于它末端節(jié)點注入電流的負值（I觶N取注入節(jié)點為正方向），因而采用回代的方法就可以很容易將各支路電流求得。

電壓電流的關(guān)系式為：

顯然，式（15）左右兩端第一個元素均為V觶1，應(yīng)用前推方法，給定根節(jié)點電壓，由第二行開始計算，即可將各節(jié)點電壓求得。具體步驟為：

1)設(shè)定各節(jié)點電壓初值V(0)，其中根節(jié)點電壓為給定值V1；

2)由各節(jié)點電壓值求得各節(jié)點注入電流；3)由式（14）計算各支路電流；

4)由給定根節(jié)點電壓V1，以式（15）計算各節(jié)點電壓；

5)檢查是否滿足收斂條件．若滿足即結(jié)束計算，否則返回2)進行計算。

3.2 二次編號

前推回代法之所以能夠快速計算系統(tǒng)潮流，很大程度上是由于特殊的編號方式（沿著供電的路徑，節(jié)點編號依次增大），使得A陣為一上三角矩陣，回代變得很方便。而隨機生成的染色體對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)可能改變線路的功率方向，即原來編號大的節(jié)點功率流向編號小的節(jié)點，這樣形成的A陣不是一個上三角矩陣，不能用于回代計算，需要進行二次編號。

具體做法如下：采用深度優(yōu)先搜索方法搜索整個網(wǎng)絡(luò)，記錄各個節(jié)點搜索的先后順序，按照搜索的先后順序依次對節(jié)點進行重新標(biāo)號，新編號的節(jié)點滿足從節(jié)點0沿供電路徑節(jié)點編號依次增大的要求。對應(yīng)將支路編號，支路編號與它所連接的末節(jié)點新編號相同。將原節(jié)點、支路的信息賦給新的節(jié)點、支路，從而完成二次編號操作。

二次編號是計算適應(yīng)度時候的內(nèi)部編號，為了使前推回代得以進行，二次編碼操作只適應(yīng)在計算染色體適應(yīng)度函數(shù)中，在遺傳算法的其他操作中仍沿用以前的編碼方式。

4 算例結(jié)果及分析

本算例采用如圖2所示的美國PG&E的69節(jié)點配電系統(tǒng)。額定電壓為12.66 kV，總負荷為3 802 kW+j2 694 kV·A。其他參數(shù)定為：基準(zhǔn)功率100MV·A，基準(zhǔn)電壓12.66 kV。對該配電網(wǎng)進行簡化處理，線路1-2，2-3，3-28，28-29，29-30，30-31，31-32，32-33，33-34，34-35，8-40，40-41，12-57，57-58，11-55和55-56之間的開關(guān)均不能斷開，否則就會有孤島出現(xiàn)。

圖2 美國PG&E的69節(jié)點配電系統(tǒng)圖

用本文算法與文獻[29]模糊自適應(yīng)遺傳算法的對比計算結(jié)果如表1所示。

由表1可知，本文的重構(gòu)方法需打開隔離開關(guān)14-15，47-48，50-51，閉合聯(lián)絡(luò)開關(guān)15-69，27-54，39-48，開關(guān)操作6次，比文獻[29]的開關(guān)操作費用多，但是利用本文的方法有效降低了網(wǎng)損，提高了電壓質(zhì)量，并且在重構(gòu)時間間隔T為24 h時，總收益比文獻[29]高，進一步驗證了本算法的可行性。

表1 配電網(wǎng)重構(gòu)前后各項指標(biāo)比較

按本文的方法，連續(xù)運行優(yōu)化程序50次，最好的一次迭代到17代就收斂，最差的一次是迭代到42代收斂，大部分在30代左右收斂。

5 結(jié)論

本文綜合考慮降低網(wǎng)損的收益和開關(guān)操作的費用，使配電網(wǎng)在一段時間T內(nèi)的收益最大，得到配電網(wǎng)重構(gòu)的多目標(biāo)函數(shù)。以美國PG&E的69節(jié)點配電系統(tǒng)為算例進行了試算，并對仿真結(jié)果進行了具體分析，驗證了用于配網(wǎng)重構(gòu)實數(shù)編碼的遺傳算法的有效性和快速收斂性。實例表明所用方法對于避免陷入局部最優(yōu)解或接近全局最優(yōu)解顯示了良好的優(yōu)越性，進一步拓展了遺傳算法在配電網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)中的應(yīng)用。

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