王 偉,謝學(xué)斌,黃 東

(中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院,湖南 長沙410083)

對基坑變形進(jìn)行準(zhǔn)確的監(jiān)測和有效的預(yù)測是基坑工程成敗的關(guān)鍵因素之一[1]。目前采用較多的預(yù)測方法是利用深基坑位移監(jiān)測時間序列,建立各類時序分析模型的方法。深基坑位移預(yù)測的時間序列方法主要有:灰色理論預(yù)測方法[2-3];時間序列分析方法[4],如AR模型,ARMA模型;智能算法[5-8],如BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法,RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法,遺傳算法;組合預(yù)測方法[9]。以上每種方法各有其適應(yīng)條件及優(yōu)缺點,如灰色理論模型適用于累加生成數(shù)列具有灰指數(shù)規(guī)律,但有一些時間序列的累加生成數(shù)列常常不具有灰指數(shù)規(guī)律,因此預(yù)測出的數(shù)據(jù)就會存在較大誤差。

自憶性原理強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)的前后承續(xù)性,強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)自身演變對過去歷史的依賴。也就是要預(yù)測未來,就得立足現(xiàn)在,回溯過去。對于只有一組時間序列值的系統(tǒng),如深基坑支護(hù)系統(tǒng)一般只有一系列動態(tài)觀測值,此時,可把現(xiàn)有觀測資料看作描述實際非線性系統(tǒng)動力模式的一系列特解,通過反演計算得到描寫系統(tǒng)的非線性動力模式。求得系統(tǒng)的動力模式后,建立自記憶模型進(jìn)行系統(tǒng)模擬或預(yù)報[10]。這種方法不需要分析確定影響深基坑支護(hù)系統(tǒng)位移變化的主要因素,也不需要收集整理與深基坑支護(hù)系統(tǒng)位移動態(tài)觀測序列相應(yīng)的多種影響因素數(shù)據(jù),避免了大量數(shù)據(jù)的收集整理,只涉及深基坑支護(hù)系統(tǒng)位移觀測序列本身,方便實用且具有較好的預(yù)測精度。

1 系統(tǒng)自記憶原理與建模[11-12]

1.1 自憶性原理

設(shè)系統(tǒng)演化動態(tài)方程組可寫為

式中J—整數(shù);x—為第i個變量;λ—參數(shù);r—空間;t—時間。

為簡便計,下文只考慮單個變量x。設(shè)所討論的變量和函數(shù)皆連續(xù)、可微、可積,定義記憶函數(shù)β(r,t)∈ H,β為r,t的函數(shù) ,且|β(r,t)|≤1,在以下推導(dǎo)中固定在空間點ri上,故在β中省去r,在上式中省去i,在希爾伯特空間中定義內(nèi)積

將式(2)定義的內(nèi)積運(yùn)算運(yùn)用到式(1)上得

顯然式(3)為對式(1)的一種加權(quán)積分,權(quán)重即為記憶函數(shù)。

運(yùn)用分部積分及微分中值定理對式(3)進(jìn)行變換和運(yùn)算,并令,其余符合類推,可以得到

對于多個時次 ti,i=-p,-p+1,…,0,1,對式(1)進(jìn)行積分并進(jìn)行以上類似處理可得

這是一個差分-積分方程,稱它為自憶性方程。令 p=0,則式(5)變?yōu)槭?4),稱式(4)為 0階自憶性方程,式(5)為p階自憶性方程。

由式(6)可知,在ri點的預(yù)報值在時次t的值由兩項組成。只涉及到本空間點(即 ri點)的初始時次t-p和中間時刻的值,故稱S1為自憶項;而S2為其他空間點對ri點在時間間隔[t-p,t] 中的總效應(yīng),故稱為他效項。式(6)的物理意義是,第ri點在時次t的x值等于本點過去x值的自憶效應(yīng)加上源函數(shù)F(x,λ,t)與記憶函數(shù)乘積的累計和。

1.2 自記憶方程的離散表達(dá)

設(shè)時次為t,t0,t-1,…,t-p,取等距時次間隔,可令△ti=ti+1-ti=1。將 βt和βi合寫,則得離散形式的自憶性方程

1.3 記憶系數(shù)的求解

正如只有很少量微分方程有解析解,自憶性方程也一樣。因此只有用計算機(jī)求其數(shù)值解。用L個時次的歷史資料,用最小二乘來求記憶系數(shù) αi,θi,設(shè)空間共 N 個點 。記

可得矩陣方程為

令

則式(9)變?yōu)?/p>

其最小二乘解為

求出系數(shù)矩陣W后就可以對時間序列進(jìn)行擬合和預(yù)測,最后還原為原始數(shù)據(jù)。

2 趨勢曲線模型[13-15]

趨勢曲線預(yù)測模型即假設(shè)數(shù)據(jù)變量大致沿某一趨勢曲線變化,從而用曲線方程模擬這一變化,進(jìn)而對未來數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。常用的為多項式趨勢曲線。

假設(shè)多項式趨勢曲線為

當(dāng)函數(shù)的個數(shù)等于m+1時,能唯一解得所有的待定參數(shù),當(dāng)函數(shù)值的個數(shù)大于m+1時,按最小二乘法也能唯一解得所有的待定參數(shù)。待求得所有待定參數(shù)后可得到趨勢曲線預(yù)測模型為^Yt=

3 趨勢曲線-自記憶模型的建立

基于物理運(yùn)動不可逆性提出的自記憶性原理,針對有微分方程描述的動力系統(tǒng),可以建立相應(yīng)的自記憶模型。但在很多情況下往往只有時間序列觀測值,而沒有現(xiàn)成的描寫系統(tǒng)的微分方程。如果對一次累加(1-AGO)時間序列x(1)(i)求多項式趨勢曲線為f(x)=a0+a1t++…+,一次累加生成序列x(1)(i)可視為函數(shù)f(x)在ti處的離散點,即X(1)(i)=a0+a1ti+對上式求微分既可得到系統(tǒng)動力微分方程以此式作為系統(tǒng)動力微分方程可以建立趨勢曲線-自記憶組合預(yù)測模型。

4 工程實例

取某工程2009年6月13日到2009年9月26日監(jiān)測數(shù)據(jù),每隔三天取一個監(jiān)測數(shù)據(jù),見表1。

首先對表1中數(shù)據(jù)系列按除以最大值的方法進(jìn)行壓縮處理,使各數(shù)值均變換到0至1之間(圖1),再對其進(jìn)行一次累加生成(1-AGO),得X(1)(圖2)。從圖1和圖2可以看出,原始序列X(0)為一波動較大的不規(guī)則時間序列,難以用解析函數(shù)擬合,而經(jīng)過一次累加生成序列X(1)具有較明顯曲線特性,可以對其進(jìn)行趨勢曲線擬合。

表1 監(jiān)測點監(jiān)測數(shù)據(jù)Tab.1 Monitoring data of one monitoring point

分別用上述建立的兩種預(yù)測模型和灰色GM(1,1)模型對表1中2009年6月13日到2009年9月8日的位移監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合計算,并對2009年9月11日到2009年9月26日的監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測檢驗。

4.1 灰色GM(1,1)模型

表2 灰色GM(1,1)模型預(yù)測值與監(jiān)測值比較Tab.2 Comparison between monitoring values and predicted values

對X(1)擬合成一階線性微分方程,并按最小二乘法求解,得最小二乘估計參數(shù)數(shù)列^a=(a,b)T=(-0.01317,0.64037)T。則時間響應(yīng)函數(shù)為

再做累減生成,可得模型的還原擬合值

灰色GM(1,1)模型預(yù)測值與監(jiān)測值比較見表2。

4.2 趨勢曲線模型

在建立趨勢曲線模型過程中,使用等維新息建模法[16],即采取增加新信息和去掉老信息同時進(jìn)行的方式建模,使數(shù)列維數(shù)保持不變。如對X(1)建立模型預(yù)測x(1)(n+1)后,對X(1)進(jìn)行等維新息處理后得到新數(shù)列X(1)=(x(1)(2),x(1)(3),…,x(1)(n),x(1)(n+1)),再用此數(shù)列建模預(yù)測x(1)(n+2),以此類推。趨勢曲線預(yù)測值和監(jiān)測值對比見表3。

表3 趨曲線預(yù)測模型預(yù)測值與監(jiān)測值比較Tab.3 Comparison between monitoring values and predicted values of trend curve prediction model

4.3 趨勢曲線-自記憶模型

建立趨勢曲線-自記憶模型過程時,取回溯階p=5(根據(jù)擬合情況通過試算法確定),在建模過程中同樣采取等維信息建模方法,可獲得位移預(yù)測方程為

用上述建立的自記憶模型對表1中2009年6月13日到2009年9月8日的位移監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合計算,并對2009年9月11日到2009年9月26日的監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測檢驗。趨勢曲線-自記憶模型預(yù)測值與監(jiān)測值比較見表4。

表4 趨勢曲線-自記憶模型預(yù)測值與監(jiān)測值比較Tab.4 Comparison between monitoring values and predicted values of the trend curve-self-memory model

5 基坑位移預(yù)測對比分析

分析三種模型擬合和預(yù)測計算結(jié)果可知,使用GM(1,1)預(yù)測模型時,參與擬合計算的三十個樣本擬合相對誤差范圍為0.39%～19.26%,平均相對誤差為6.27%。預(yù)測計算結(jié)果中,相對誤差范圍為 13.3%～20.6%,平均相對誤差為18.47%。使用趨勢曲線預(yù)測模型時,擬合計算的相對誤差范圍為0.06%～9.99%,平均相對誤差為3.23%。預(yù)測計算結(jié)果中,相對誤差范圍為1.9%～19.0%,平均相對誤差為11.38%。使用趨勢曲線-自記憶模型時,擬合計算的相對誤差范圍為0.01%～7.51%,平均相對誤差為2.99%。預(yù)測計算結(jié)果中,相對誤差范圍為2.05%～18.01%,平均相對誤差為8.9%。

6 結(jié)論

1)三種預(yù)測模型中,灰色GM(1,1)模型預(yù)測精度較低,趨勢曲線模型相對較高,本文提出的趨勢曲線-自記憶模型預(yù)測精度最高。

2)趨勢曲線-自記憶模型利用多個歷史資料提供的記憶信息,某個監(jiān)測值出現(xiàn)一定誤差對擬合和預(yù)測整體影響較小,提高了預(yù)測穩(wěn)定性。

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