劉道文,馮浩

(許昌學院教育技術與信息部,河南許昌461000)

利用Duffing混沌振子對系統(tǒng)參數極其敏感而對噪聲免疫的特性,可以檢測出引入系統(tǒng)的待測微弱周期信號[1],其實質就是利用待測微弱周期信號實現混沌控制,使系統(tǒng)的輸出狀態(tài)發(fā)生躍變。微弱的周期信號可以使處于大尺度周期臨界狀態(tài)的檢測系統(tǒng)的相空間狀態(tài)由混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)躍變,從而檢測出微弱信號的存在,這是當前基于混沌理論檢測微弱信號的主要依據,因此,基于混沌理論微弱信號檢測的一個關鍵的內容就是判定系統(tǒng)是處于混沌狀態(tài)還是大尺度周期狀態(tài)。當前,判定動力系統(tǒng)的狀態(tài)主要通過直觀觀察相圖、Melnikov解析計算等方法。直觀觀察相圖法可以簡單、方便的判定系統(tǒng)的狀態(tài),但該方法因缺乏嚴密理論判據而存在一定的主觀性;Melnikov法能計算出系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)的閥值,但無法準確地計算出系統(tǒng)進入大尺度周期狀態(tài)的閥值,文獻[2] 利用Melnikov法計算出系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)的閥值后,通過實驗法確定系統(tǒng)進入大尺度狀態(tài)的閥值。

Lyapunov特性指數是衡量系統(tǒng)動力學特性的一個重要定量指標,它表明系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道收斂或發(fā)散的平均指數率,是判斷和描述非線性時間序列是否為混沌系統(tǒng)的重要參數,是區(qū)分系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)或非混沌狀態(tài)的最直接的特征量之一[3]。本文提出通過Lyapunov指數定量地描述檢測系統(tǒng)由混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)的變化,為檢測出待測微弱周期信號提供可靠的依據。

1 系統(tǒng)狀態(tài)判定方法

噪聲背景中的微弱周期信號會使系統(tǒng)狀態(tài)由混沌態(tài)向大尺度周期外軌轉換發(fā)生相變,這是當前混沌檢測的主要依據,也被認為是根據參數敏感性進行檢測,其原理方程就是Holmes型Duffing方程[4]

式中k—阻尼比;fr—周期策動力。

通過分析Duffing系統(tǒng)的Lyapunov指數,可以清楚的判斷混沌檢測系統(tǒng)瞬間動力學運動狀態(tài),從而確定待測信號的存在,以及較為準確地找到系統(tǒng)狀態(tài)轉變與待測信號幅值參數的關系。

表1 Lyapunov指數與系統(tǒng)狀態(tài)Tab.1 Lyapunov exponent and the system's state

2 Lyapunov指數算法

2.1 Jocobian法

目前計算Lyapunov指數的數值方法除了定義法外,大體上分為兩大類:Wolf法和Jocobian法。Jocobian法適用于噪聲較大的系統(tǒng),切空間中小向量的演變接近線性[8],是一種在實際應用中發(fā)展起來的計算Lyapunov指數的方法。

考慮下面的微分方程系統(tǒng)

這里J是F的Jocobian矩陣。對于三維連續(xù)動力系統(tǒng)[6]

的Jocobian矩陣為

式(3)的解能夠表示為

其中U:e(0)→e(t)是線性算子映射。這個映射U的漸近行為可用指數刻畫為

所以,由式(2)構成的系統(tǒng)的Lyapunov指數可以描述為上述重復過程的平均數[7]。

美的以賒銷或分期收款方式進行結算，納稅義務時間就是合同約定的收款日期。公司可以對短時間內無法收回的貨款采取這樣的結算方式，從而延期確認收入，減少當期應繳納的所得稅。以美的2017年7月發(fā)生的銷售業(yè)務為例，當期銷售了價值600萬元的商品，假如合同約定付款期限為一年，每季度初支付150萬元，則該筆業(yè)務在2017年應確認的收入為300萬元，相應的應納稅額為75萬元。與直接收款的方式相比，采取賒銷或分期收款方式，美的可以遞延繳納的稅額為75萬元，可以利用這筆資金為企業(yè)創(chuàng)造更多的收益。

2.2 Duffing系統(tǒng)的Lyapunov指數

對于由式(1)構成的正弦信號檢測系統(tǒng),用 x+δ x和x表示初始位置不同的兩點,δ x為兩點的偏差,將 x+δ x和x分別代入式(1),并相減可以得到如下的偏差方程

式中 c(t)=3x2-5x4。

將式(9)改寫成狀態(tài)方程的形式,令 δ x=δ y,則有

將式(10)寫成矢量微分方程形式

因為X(t)為周期函數,所以H(t)是連續(xù)的周期性的2×2階實矩陣,其最小周期T=2π,有下式成立

因為H(t)為周期矩陣,所以式(11)為一周期系數線性微分方程。為求出Duffing系統(tǒng)的Lyapunov指數,需要將式(11)轉化為自治系統(tǒng)。

由周期系數線性微分方程理論,設D(t)為式(11)的基本解矩陣,則D(t+T)也是基本解矩陣。因為存在常數矩陣C,使得D(t+T)=D(t)C

當 t=0時,D(0)=I,從而有

又因為D(T)是非退化的,所以存在一個用 lnD(T)表示的矩陣,使得elnD(T)=D(T)。

所以,式(11)的標準基本解矩陣可表示為

其中F(t)是一個非退化的周期矩陣。

對式(11)做線性變換

則周期系統(tǒng)式(11)、式(12)變成自治系統(tǒng)

設矩陣D(T)的兩個特征根為 λ1和 λ2,則兩個Lyapunov指數可表示為

由以上分析可知,可以通過求解D(T)的特征根即可得到式(11)的Lyapunov指數[9]。

3 仿真分析

3.1 臨界狀態(tài)仿真

本文將Duffing混沌檢測系統(tǒng)構造成三維系統(tǒng),系統(tǒng)Lyapunov指數計算時間步長設置為0.01,每次演化的步驟為10,繪制Lyapunov指數譜時,擯棄了前200次不穩(wěn)定的迭代。指數譜中均存在一定的過渡區(qū)域[10],此區(qū)域中的Lyapunov指數取值的正負變化呈現不穩(wěn)定的狀態(tài),為了能夠應用Lyapunov指數準確地判斷系統(tǒng)的狀態(tài),最好選取指數譜中穩(wěn)定的Lyapunov指數值,本文中選取 n=900點處的Lyapunov指數值。圖2顯示了檢測系統(tǒng)由混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)躍變時Lyapunov指數譜變化情況。當系統(tǒng)的內置驅動信號幅值fr=0.718 8時,λ1＞0,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。當fr=0.718 9時,λ1＜0,λ3＜0,系統(tǒng)處于大尺度周期狀態(tài)。由此可知,fr=0.718 8是系統(tǒng)由混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)轉變的分叉閥值。

3.2 瞬態(tài)仿真

由式(1)構成的Duffing混沌檢測系統(tǒng),設初值x(0)=1,x′(0)=1,積分時間間隔為 h=0.01,用四階Runge-Kutta積分方程,去除前200次不穩(wěn)定的迭代。fr的取值的初始值為0.68,終止值為0.76,步長為 0.001,混沌檢測系統(tǒng)各個瞬態(tài)的Lyapunov指數如圖3所示。從圖3可以看出,Duffing混沌檢測系統(tǒng)的Lyapunov指數隨fr變化呈對稱分布,對稱軸為 a=(λ1+λ3)/2=-0.25,而對稱位置源于式(1)中的K=0.5,其物理機制可能源于該混沌檢測系統(tǒng)的固有性質[9];Lyapunov指數數值符號的變化可以方便地判斷出系統(tǒng)所處的狀態(tài),同樣可以精確的計算出臨界狀態(tài)的系統(tǒng)內置驅動信號的幅值。所以,利用Lyapunov指數可以很準確的判斷混沌檢測系統(tǒng)的狀態(tài),從而提高了利用Duffing混沌檢測系統(tǒng)檢測微弱周期信號的準確性與可靠性。

4 結論

利用Lyapunov指數定量分析混沌檢測系統(tǒng)的動力學特性,可準確地判定檢測系統(tǒng)的瞬間狀態(tài)和系統(tǒng)相變的閥值,而且通過不斷的提高fr的精度能夠更加準確地判定系統(tǒng)狀態(tài)。利用Lyapunov指數判定Duffing混沌檢測系統(tǒng)狀態(tài),在很大程度上克服了直觀判定相變方法所具有的主觀性,提高了利用Duffing混沌檢測系統(tǒng)檢測微弱信號的可靠性。但Lyapunov指數譜具有一定的過渡區(qū)域,在此區(qū)域內Lyapunov指數取值的正負變化不穩(wěn)定,一般選取穩(wěn)定區(qū)間的Lyapunov指數值來作為判定系統(tǒng)狀態(tài)的指標。

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