楊 威,李勝家

判斷一類雙系統(tǒng)同時(shí)精確可觀測(cè)的充分條件

楊 威,李勝家

(山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西太原030006)

利用反自伴算子生成系統(tǒng)是精確可觀測(cè)的Hautus條件,得到判斷如下雙系統(tǒng)同時(shí)精確可觀測(cè)的充分條件.

線性系統(tǒng);Hautus條件;同時(shí)精確可觀測(cè)性

彈性系統(tǒng)的振動(dòng)控制和邊界控制是數(shù)學(xué)工作者和工程人員們一直以來(lái)所關(guān)心的一種重要的分布參數(shù)系統(tǒng)問(wèn)題.近些年來(lái),人們對(duì)于彈性系統(tǒng)的邊界控制進(jìn)行了廣泛的研究,在分布參數(shù)邊界控制系統(tǒng)的精確可控性、可觀測(cè)性、穩(wěn)定性和最優(yōu)控制的研究中得取了一些很好的結(jié)果,見(jiàn)文獻(xiàn)[1-3].此外,在分布參數(shù)系統(tǒng)已得結(jié)論的基礎(chǔ)上,許多學(xué)者開(kāi)始尋找雙系統(tǒng)乃至多系統(tǒng)同時(shí)可控和同時(shí)可觀測(cè)的判斷條件.本文考慮如下兩個(gè)無(wú)窮維抽象線性系統(tǒng)(A1,C1)和(A2,C2)的同時(shí)精確可觀測(cè)性,其狀態(tài)分別用z1和z2表示:

其中,“·”表示對(duì)時(shí)間t的微分,A1和A2分別是相應(yīng)狀態(tài)空間上強(qiáng)連續(xù)算子半群的生成元,C1和C2為相容性觀測(cè)算子.

同時(shí)精確可控性和可觀測(cè)性首先是由Russell在文[4]中所提出的,它也是Lions在文[5]第六章所研究的內(nèi)容.該問(wèn)題主要討論如何判斷無(wú)窮維雙系統(tǒng)是同時(shí)精確可控和同時(shí)精確可觀測(cè)的.但是到目前為止還沒(méi)有一個(gè)能夠從本質(zhì)上判斷無(wú)窮維雙系統(tǒng)是同時(shí)精確可控和同時(shí)精確可觀測(cè)的充要條件,它仍然是一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題.許多學(xué)者都對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究,并且得到了一些比較好的結(jié)果,見(jiàn)文獻(xiàn)[6-8].本文利用反自伴算子生成系統(tǒng)是精確可觀測(cè)的Hautus條件,得到了判斷上述雙系統(tǒng)同時(shí)精確可觀測(cè)的充分條件.

1 主要定理及其應(yīng)用

假設(shè)X是Hilbert空間,算子A是空間X上強(qiáng)連續(xù)半群(T(t))t≥0的無(wú)窮小生成元.定義Hilbert空間X1=(D(A),‖·‖1),其中‖z‖1=‖(βI-A)z‖,β∈ρ(A)固定.在文[9]中,關(guān)于無(wú)窮維空間上反自伴算子生成系統(tǒng)是精確可觀測(cè)的Hautus條件為:設(shè)反自伴算子A在Hilbert空間X上生成C0-半群(T(t))t≥0, Y是Hilbert空間且算子C∈L(X1,Y)是對(duì)于半群(T(t))t≥0的相容性觀測(cè)算子,那么系統(tǒng)(A,C)是精確可觀測(cè)的當(dāng)且僅當(dāng)存在正常數(shù)M,m使得:

定理1 對(duì)于j∈{1,2},設(shè)反自伴算子Aj是Hilbert空間Xj上強(qiáng)連續(xù)半群(Tj(t))t≥0的無(wú)窮小生成元,Y是Hilbert空間且Cj∈L(Xj1,Y)是對(duì)于半群Tj的相容性觀測(cè)算子.設(shè)系統(tǒng)(A1,C1)和(A2,C2)都是精確可觀測(cè)的,如果系統(tǒng)還滿足對(duì)于任意的z1∈D(A1),z2∈D(A2),函數(shù)

在x=0處有φ′(0)≥0,那么一定存在時(shí)刻T0>0,使得雙系統(tǒng)(A1,C1)和(A2,C2)在任何時(shí)刻T>T0是同時(shí)精確可觀測(cè)的.

證明:由于系統(tǒng)(A1,C1)和(A2,C2)都是精確可觀測(cè)的,故存在Mi,mi>0(i=1,2),滿足:

定義:

為了說(shuō)明雙系統(tǒng)(A1,C1)和(A2,C2)的同時(shí)精確可觀測(cè)性,只需證明系統(tǒng)(A,C)是精確可觀測(cè)的.利用(1), (2)兩式:對(duì)于任意的Φ∈H1(R),z1∈D(A1),z2∈D(A2),有:

即:

事實(shí)上,取M2=M21+M22,m2=2(m21+m22),并且利用(3),(4)式有:

由于對(duì)于任意的z1∈D(A1),z2∈D(A2),函數(shù)φ(x)=‖C1T1tz1+xC2T2tz2‖2在x=0處有φ′(0)≥0.所以有

即:對(duì)于任意的Φ∈H1(R),z1∈D(A1),z2∈D(A2),存在正常數(shù)M,m使(6)式成立.

下面給出(6)式左端的一個(gè)下界,由于算子A1,A2均是反自伴算子,故算子仍然為一個(gè)反自伴算子,故半群是一個(gè)酉群,因此:

其中

對(duì)ψ≠0且τ充分大時(shí),就有Iτ(ψ)>0.因此,便得雙系統(tǒng)(A1,C1)和(A2,C2)同時(shí)精確可觀測(cè)不等式:

如果選取:

則當(dāng)τ>Mπ時(shí),Iτ(ψ)>0,故系統(tǒng)(A1,C1)和(A2,C2)在時(shí)刻T>T0=Mπ是同時(shí)精確可觀測(cè)的.

例1 考慮長(zhǎng)度為π的彈性弦波動(dòng)方程:定義狀態(tài)空間為X=H10(0,π)∩L2[0,π],在下述內(nèi)積的定義下,該空間為一個(gè)Hilbert空間:定義算子A:D(A)→X為:其中D(A)=[H2(0,π)∩H10(0,π)]×H10(0,π).用Z＊表示非零整數(shù),那么對(duì)于任意的n∈Z＊,記φn(x)=sin(nx).容易驗(yàn)證下面一組向量(Φn)n∈Z＊:

為算子A的相應(yīng)于特征值λn=in,n∈Z＊的特征向量,并且構(gòu)成空間X的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.同時(shí),算子A還生成空間X上的等距半群T(t):

其中,ψn(x)=cos(nx),?n∈Z＊.利用指數(shù)族{eint}n∈Z＊在L2[0,2π]中的正交性,可知:

因?yàn)棣?n=-φn且ψ-n=ψn,故有:

再利用(ψn)n≥0和(φn)n≥0在L2[0,π]中的正交性,有:

因此,可知算子C是相容性觀測(cè)算子且系統(tǒng)(9)在時(shí)刻T≥2π是精確可觀測(cè)的.同樣的方法,還是考慮系統(tǒng)(9),但此時(shí)選用的觀測(cè)算子為:

所以,仍然有算子～C是相容性觀測(cè)算子且系統(tǒng)(A,～C)在時(shí)刻T≥2π是精確可觀測(cè)的.

利用定理1可知:系統(tǒng)(A,C)和(A,～C)在T>2π的某個(gè)時(shí)刻以后是同時(shí)精確可觀測(cè)的.

[1] KOMORNIK V.Exact Controllability and Stabilization-The Multiplier Method[M].RAM Res Appl Math,John Wiley Chichester U K Masson Paris,1994.

[2] YAO Peng-fei.On the Observability Inequalities for Exact Controllabiltiy of Wave Equations with Variable Coefficients [J].S IA M J Control Optim,1999,37:1568-1599.

[3] CHAI Shu-gen,LIU Kang-sheng.Observability Inequalities for the Transmission of Shallow Shells[J].S ystems Control Letters,2006,55:726-735.

[4] RUSSEL D L.The Dirichlet-Neumann Boundary Control Problem Associated with Maxwell’s Equations in a Cylindrical Region[J].S IA M J Control Optim,1986,24:199-229.

[5] LIONS J L.Exact Controllability,Stabiliztion and Perturbations for Distributed Systems[J].S IA M Review,1988,30:1-68.

[6] HANSEN S W,ZHNAGB Y.Boundary Control of a Linear Thermoelastic Beam[J].J Math A nal A ppl,1997,210:182-205.

[7] TUCSNAK M,WEISS G.Simultaneous Exact Controllability and some Applications[J].S IA M J Control Optim,2000, 38:1408-1427.

[8] AVDONIN S A,WILLAM.Simultaneous Control Problems for Systems of Elastic Strings and Beams[J].S ystems Control Letters,2001,44:147-155.

[9] RAMDANI K,TAKAHASHI T,TENENBAUM G,et al.A Spectral Approach for the Exact Observability of Infinite-dimensional Systems with Skew-adjoint Generator[J].J ournal of Functional A nalysis,2005,226:193-299.

Sufficient Conditions for Judging Simultaneous Exact Observability of a Class of Two Systems

YANG Wei,LI Sheng-jia
(School of Mathematical Science,S hanxi University,Taiyuan030006,China)

By using of Hautus conditons for exact observability with a skew-adjoint generator,we obtain the sufficient conditons for simultaneous exact observability of the following two systems.

linear system;Hautus conditions;simultaneous exact observability

O177

A

0253-2395(2010)02-0169-04

2009-04-08

山西省自然科學(xué)基金(2007011002)

楊 威(1982-),男,山西大同人,助教,主要從事分布參數(shù)控制系統(tǒng)研究.E-mail:yangwei@sxu.edu.cn

文章編號(hào):0253-2395(2010)02-0238-06