楊 慧,王 光

速降函數(shù)S和緩增廣義函數(shù)S′的性質(zhì)和判別定理

楊 慧1,王 光2

(1.太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,山西太原030012;2.山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西太原030006)

對速降函數(shù)S,緩增廣義函數(shù)S′的性質(zhì)作了系統(tǒng)的討論與分析,并給出了緩增廣義函數(shù)的一個判別定理.關(guān)鍵詞:速降函數(shù);緩增廣義函數(shù);Fourier變換

上世紀五十年代廣義函數(shù)的出現(xiàn)為線性偏微分算子理論提供了一個極好的框架,使得近代微分方程理論有了突飛猛進的發(fā)展.在廣義函數(shù)理論中起著重要作用的三個基本空間D,S和E及其相應(yīng)的廣義函數(shù)空間D′,S′和E′中,速降函數(shù)S和緩增廣義函數(shù)S′具有特殊的性質(zhì)和意義.例如Fourier變換建立了它們各自到自身的同構(gòu)對應(yīng)等,使之在廣義函數(shù)理論中占有重要的地位.

本文討論了S和S′上的一些性質(zhì)及相關(guān)結(jié)論,并且給出了S′上的一個判別定理:

定理 線性泛函T∈S′(Rn)的充要條件為:存在非負整數(shù)k,m和Ck,m>0,使得

1 記號與定義

則稱φ(x)為速降函數(shù),其全體為速降函數(shù)空間,記為S(Rn).

易見,S(Rn)為線性空間,在S(Rn)上定義半范數(shù)

對x=(x1,x2,…,xn)∈Rn,記|x|=(∑in=1|xi|2)12,對n重指標α=(α1,α2,…,αn),記|α|=α1+α2+… +αn.記基本空間D(Rn)=C∞0(Rn),E(Rn)=C∞(Rn),其相應(yīng)的廣義函數(shù)空間記為D′(Rn),E′(Rn).

定義1.1[1]如果定義在Rn上的函數(shù)φ(x)滿足下列條件:

(1)φ(x)∈E(Rn);

(2)對于任意的n重指標α,β(這里均指非負整數(shù)重指標),皆有:

這一族半范數(shù)(pα,β)定義了S(Rn)上的局部凸拓撲,在此拓撲下S(Rn)成為一個Fréchet空間.

定義1.2[1]S(Rn)上的線性連續(xù)泛函全體稱為緩增廣義函數(shù)空間,記為S′(Rn).

定義1.3[2]設(shè)T∈S′(Rn),T的Fourier變換F[T]定義為:

同樣可利用對偶性定義其Fourier逆變換F-1[T]為:

2 S(Rn)和S′(Rn)的性質(zhì)與定理

首先我們給出S(Rn)的一些性質(zhì).

命題2.1[1,2]設(shè)φ∈E(Rn),則下列條件等價:

(1)φ∈S(Rn);

(3)對任意n重指標α,β∈N0n,有

(4)對任意n重指標α,β∈Nn0,函數(shù)xα?βφ(x)在Rn上一致有界;

(5)對任意n重指標α,β∈Nn0,當|x|→∞時,?βφ

命題2.2[3]D?S?E,且每一個空間在其后一個空間中稠密,前一個空間的拓撲比后一個強.

我們知道對于f∈E(Rn),F[f]不一定存在;對于f∈D(Rn),F[f]雖存在卻不一定仍屬于D(Rn),但對于f∈S(Rn),F[f]存在且仍屬于S(Rn),且有

命題2.3[3]Fourier變換建立了S(Rn)到S(Rn)的同構(gòu)對應(yīng).

引理2.4[1]S(Rn)在線性偏微分算子的作用下是封閉的.即:設(shè),則對?φ∈ S(Rn),有P(x,D)φ∈S(Rn).

我認為，每位教師不只是學(xué)習(xí)業(yè)務(wù)知識，還必須學(xué)習(xí)《教育法》、《教師法》和《未成年人保護法》等法律法規(guī)，并深刻認識到不懂法律，否則不依法執(zhí)教就是不合格的教師。例如：要想讓學(xué)生熱愛環(huán)境，保護公共衛(wèi)生，我們必須得先彎下腰，去主動拾起地上的字紙；要想讓學(xué)生學(xué)會文明用語，不用暴力解決問題，我們必須先注意自己的言行，不體罰和打罵學(xué)生。要想讓學(xué)生遵守《中小學(xué)生守則》和《小學(xué)生日常行為規(guī)范》，我們必須先遵守學(xué)校的各項規(guī)章制度，哪怕是排隊打飯不講小話的日常生活問題。

其次,S′(Rn)具有下面的一些性質(zhì):

引理2.5[3]E′(Rn)?S′(Rn)?D′(Rn).

引理2.6[1](1)對任給的1

(2)一切在無窮遠處具有多項式增長性的連續(xù)函數(shù)f(x)=O(1)|x|N都定義一個S′(Rn)廣義函數(shù).

命題2.7[3]Fourier變換建立了S′(Rn)到S′(Rn)的同構(gòu)對應(yīng).

引理2.8[4]設(shè)X為線性拓撲空間,那么X上非零線性泛函T連續(xù)的充要條件為:存在V∈N(0),使得|T(x)|<∞.其中N(0)表示0點的鄰域集.

下面我們用兩種不同的方法給出定理的證明.

證明 充分性:取一列{φn}?S(Rn),設(shè)φn(x)→0(S(Rn)),那么,對任意的→

所以〈T,φn〉→0,n→∞.故T為線性連續(xù)泛函.

必要性:方法一:反證之.假設(shè)不存在非負整數(shù)k,m和Ck,m>0使得(＊)式成立.那么取Ck,m=k=m= j,則存在相應(yīng)的φj∈S(Rn)使得0(n→∞).由題設(shè)

成立.取

那么,對任意的k′,m′∈N0,當j≥max{k′,m′}時,即有

根據(jù)ψj的取法,ψj∈S(Rn).由S(Rn)的拓撲性質(zhì)知ψj(x)→0(S(Rn)).而

故T不連續(xù).這與T為S(Rn)上的線性連續(xù)泛函矛盾.

方法二:由于S(Rn)在半范數(shù)pα,β(φ)=|xα?βφ(x)|下成為Fréchet空間,由引理2.8,存在S(Rn)中零點的一個領(lǐng)域V,V={φ∈S(Rn)|pα,β(φ)<ε},使得:

對S(Rn)中任意φ,若pα,β(φ)≠0,則有:

從而有:

若pα,β(φ)=0,則必有|〈T,φ〉|=0.若不然,假設(shè)≠0,由pα,β(φ)=0知φ∈V.又對任取的λ∈K,pα,β(λ φ)=|λ|pα,β(φ)=0.所以λ φ∈V.而當|λ|→∞時,

這與(＊＊)式矛盾!證畢.

由命題2.1可得.

推論2.9 線性泛函T∈S′(Rn)的充要條件為:存在非負整數(shù)k,m與Ck,m>0,使得

定理2.10 (1)S′(Rn)對求導(dǎo)運算封閉.即:若T∈S′(Rn),則對任給的γ∈Nn0,有?γT∈S′(Rn).

(2)反之,對每個T∈S′(Rn),存在一個有界連續(xù)函數(shù)G(x),以及α∈Nn0,k∈N,使得

證明 (2)的證明參見文獻[2].

(1)設(shè)T∈S′(Rn),由定理2.10知存在k,m∈N0及Ck,m>0,使得對任意φ∈S(Rn)有:

由定理2.10充分性,可知?γT∈S′(Rn).

[1] H?MANDER L.The Analysis of Linear Partial Differential Operators[M].Berlin:Springer-Verlag,1963.

[2] 巴羅斯-尼托.廣義函數(shù)引論[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1981:73-102.

[3] 陳恕行.現(xiàn)代偏微分方程導(dǎo)論[M].北京:科學(xué)出版社,2005:1-38.

[4] 劉培德.拓撲線性空間基礎(chǔ)[M].湖北:武漢大學(xué)出版社,2002:7-43.

Properties and a Criterion Theorem of Rapidly Decreasing Functions Sand Temperate DistributionsS′

YANG Hui1,WANG Guang2
(1.Department of Mathematics,Taiyuan Normal University,Taiyuan030012,China; 2.School of Mathematical Sciences,S hanxi University,Taiyuan030006,China)

The properties of rapidly decreasing functions and temperate distributions are discussed,and a criterion theorem is given to judge temperate distributions.

rapidly decreasing functions;temperate distributions;Fourier transform

O177.4

A

0253-2395(2010)03-0326-03

2009-03-24;

2009-05-30

山西省回國人員基金

楊 慧(1976-),女,山西祁縣人,講師,碩士,主要從事泛函分析研究.E-mail:yh3f@163.com