李祖鋒,高建軍,繆志選,張明山

(中國水電顧問集團(tuán)西北勘測設(shè)計研究院測繪工程大隊,甘肅 蘭州,730050)

利用最優(yōu)抵償投影面算法限制GPS邊長投影變形

李祖鋒,高建軍,繆志選,張明山

(中國水電顧問集團(tuán)西北勘測設(shè)計研究院測繪工程大隊,甘肅 蘭州,730050)

為了限制 GPS邊長投影變形,可選擇將邊長歸算至某一抵償投影面上。基于抵償投影原理,提出使控制網(wǎng)長度綜合變形更小的最優(yōu)抵償投影面算法。通過實例驗證,該方法在限制 GPS邊長投影變形方面優(yōu)于其他方法。關(guān)鍵詞:GPS;長度變形抵償;最優(yōu)抵償投影面

工程使用中需要將三維的 GPS基線向量觀測值及其方差陣投影轉(zhuǎn)換到工程坐標(biāo)系的二維平面上,即將 GPS基線網(wǎng)投影變換成工程使用測量控制網(wǎng)。其轉(zhuǎn)換的核心是使 GPS基線向量網(wǎng)與常規(guī)地面網(wǎng)測量控制點原點重合,起始方向一致[1]。為便于工程使用,要求由轉(zhuǎn)換的控制點坐標(biāo)直接反算的邊長與實地量得的邊長,在長度上應(yīng)該相等,即由歸算投影改正而帶來的變形或改正數(shù),不得大于工程各階段的精度要求。當(dāng)邊長的歸算投影改正不能滿足精度要求時,為保證測量結(jié)果的直接利用和計算的方便,可采用抵償投影面高斯正形投影,任意帶高斯正形投影,或尺度強(qiáng)制約束等變換方式限制邊長投影變形。

抵償投影面算法平差過程中,約束條件一般是一點一方位,即 GPS基線向量網(wǎng)與地面網(wǎng)在一個起算點上位置重合,在一條空間基線方向上重合,該方法是從投影變換方面保持了高斯平面上邊長尺度的一致性,不會改變平差后 GPS網(wǎng)的相對構(gòu)型。只要選取合適的橢球參數(shù),GPS網(wǎng)在高斯平面上的邊長尺度就能與地面網(wǎng)坐標(biāo)系中應(yīng)有的邊長尺度相一致。其優(yōu)點是,歸算到地面網(wǎng)坐標(biāo)系后仍保持 GPS網(wǎng)形的高精度,避免了地面網(wǎng)的固有誤差對 GPS網(wǎng)形的扭曲[2],同時,約束平差的工程測量控制網(wǎng)不需要其他轉(zhuǎn)換即與國家測量系統(tǒng)相聯(lián)系。

本文提出了使 GPS邊長尺度與工程控制網(wǎng)邊長歸算尺度一致的最優(yōu)抵償投影面算法。取一理想的抵償投影面,使投影到該面上的測區(qū)內(nèi)邊長綜合變形盡可能小[3]。

1 抵償投影面最優(yōu)算法

1.1 抵償投影面算法

根據(jù)文獻(xiàn)[4],邊長歸算到橢球面上,實量邊長歸算至參考橢球面上的變形ΔS1,橢球面上的邊長歸算至高斯投影面上的變形ΔS2。

式中:Hm為邊長歸算所選投影面高出參考橢球面的平均高程,S0=S+ΔS1,Ym為歸算邊兩端點橫坐標(biāo)自然值的平均值,Rm為參考橢球面平均曲率半徑。

R與Rm一般皆取為6 371 km,S與S0數(shù)值接近,可視為相等。于是邊長投影綜合變形為

式中:H′m為歸算邊高出抵償投影面的平均高程。則抵償投影面的高程為 Hm-H′m。

1.2 至中央子午線最佳距離的確定

對于較大區(qū)域的控制測量,采用抵償投影面算法,由于高斯正形投影的影響,在遠(yuǎn)離計算所選擇的中央子午線的位置,也會產(chǎn)生較大的投影變形。為了讓投影綜合變形達(dá)到最小,本文提出了最優(yōu)抵償投影面選擇的問題,其關(guān)鍵問題就是求定用于計算抵償高程的到中央子午線的最佳距離。

文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[3]根據(jù)最小二乘法原理提出了一種在使長度綜合變形平方之和為最小的條件下直接求得長度變形抵償值和相應(yīng)歸算邊高出抵償高程面的平均高程。這個方法對于測區(qū)整體邊長投影變形的把握較好,但不能很精確地解決類似長隧洞施工軸向的貫通邊長綜合投影變形問題。本文提出的公式,其最初使用的目的就是為了滿足施工要求很高的長距離引水發(fā)電隧洞的準(zhǔn)確貫通需要,其以隧洞軸線整體的投影變形為0為標(biāo)準(zhǔn)推導(dǎo),實踐證明,其在一定范圍內(nèi)要優(yōu)于其他算法。下邊就該公式推導(dǎo)過程予以介紹。

式中:D1為測距邊在參考橢球面的長度,m;ΔY為測距邊兩端點近似橫坐標(biāo)的之差,m;D2為測距邊在高斯投影面上的長度,m;Ym為測距邊兩端點橫坐標(biāo)平均值,m;Rm為參考橢球面上測距邊中點的平均曲率半徑,m。

根據(jù)式(6)可以看出,高斯投影變形實際上是一個以距離中央子午線距離為自變量的二次曲線。通過取最小和最大距離中央子午線距離 Y1和 Y2算數(shù)平均值,不能使其兩端間的邊長綜合變形量最小。為了進(jìn)一步減小測區(qū)邊長綜合變形,需要采用一定的算法求出最優(yōu)的距離中央子午線距離。

為了求定到中央子午線的最佳距離 Y0,在區(qū)間[Y1,Y2]對式(6)變量 Ym進(jìn)行定積分,則

設(shè) Y0為最優(yōu)的距離中央子午線距離,要求以Y0計算的抵償高程可以保證選定區(qū)域兩端邊長投影值為0,則存在關(guān)系式

式(10)就是推導(dǎo)的到中央子午線的最佳距離的計算公式。

將式(10)計算的到中央子午線的最佳距離 Y0帶入式(4),所計算的 H′m即為推算的歸算邊高出抵償高程面的平均高程。

上面兩種情況前者只有一個正抵償點,后者只有一個負(fù)抵償點,其長度變形的抵償效果較差。當(dāng)|Y1|≥|Y0|＜Y2時,有兩個對稱抵償點±Y0,此時抵償效果較好。當(dāng)|Y1|=Y2時,即測區(qū)對稱于中央子午線,這時抵償長度綜合變形呈對稱分布,且綜合變形小的邊長占的比例最大,抵償效果最佳。因此,在測區(qū)范圍確定后,將中央子午線移動至測區(qū)中部,并采用抵償投影面,是限制長度變形最有效的辦法,特別是需要抵償?shù)膸捿^大時,應(yīng)采用此種方案建立坐標(biāo)系統(tǒng)。

2 實例分析

某水電工程GPS測量控制網(wǎng)等級為D級,涉及干流長度58 km,Y1=35.6 km,Y2=64.5 km,要求邊長歸算投影面高程為900 m,該區(qū)域平均高程異常值為-8.2m。共精密實測了25條邊長,其中大于500m的邊長12條。

為了對各個抵償投影面算法進(jìn)行對比,下面分別列出采用文獻(xiàn)[4]提供的方法,算術(shù)平均方法和本文推導(dǎo)的方法計算的抵償投影面高程值。

由計算結(jié)果可看出,當(dāng)投影區(qū)域沿Y方向距離小于30 km時,式(10)和(12)計算結(jié)果基本一致,為了簡化計算,可采用式(12);但在更大范圍的抵償投影面計算時,宜采用更嚴(yán)密的式(10)。

表1所列依次為實測邊長,文獻(xiàn)[3]、算術(shù)平均、式(12)方法計算的坐標(biāo)反算邊長。表1中未列舉小于500 m的邊長。實測邊長誤差相對誤差很小,可以近似為邊長真值,表1中所列比例誤差就是以實測邊長為基準(zhǔn)計算。

按照最小二乘原理,由表1所列的文獻(xiàn)[3]、算術(shù)平均、本文方法計算的邊長相對于實測邊長投影變形平方之和分別為[△Si△Si]=0.004 2 m2、[△Si△Si]=0.004 6 m2和 [△Si△Si]=0.003 8m2,計算的相對于實測邊長的邊長比例誤差平均值依次為1/11.2萬、1/11.1萬和1/12.4萬。通過上述結(jié)果可以看出,由本文方法推導(dǎo)的Y0值理論公式(10)所對應(yīng)的抵償投影面,在一定范圍內(nèi)具有使測區(qū)內(nèi)各點長度綜合變形達(dá)到更小的特點。

由表1分析結(jié)果可以看出,在本工程實例中,采用本文提供的算法計算的綜合變形結(jié)果要優(yōu)于采用算術(shù)平均的算法,在控制橫向兩端點間變形方面,要優(yōu)于文獻(xiàn)[4]中提供的算法。

表1 不同算法邊長比較表

3 結(jié)束語

根據(jù)上述推導(dǎo),抵償值主要與測區(qū)的地理位置和東西寬度 Y1、Y2有關(guān),與抵償投影面有對應(yīng)關(guān)系。改變測區(qū)投影帶中央子午線,使其為對稱投影,是縮小投影變形的主要措施,采用抵償任意帶投影是解決測區(qū)長度變形的理想方法。按照本文介紹的相關(guān)公式得到的“抵償投影面”,可以保證測區(qū)橫向兩端間整體的投影變形最小,在一定的范圍內(nèi)能有效的抑制測區(qū)內(nèi)的綜合邊長變形。但當(dāng)距離過大時,該方法最大投影變形值會較大。生產(chǎn)中可根據(jù)具體的工作需要,結(jié)合各個算法的特點選擇使用。

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Study on the controlling of GPS length projection deformation with the calculation of optimal com pensation projecting plane

L IZu-feng,GAO Jian-jun,M IAO Zhi-xuan,ZHANGM ing-shan
(Engineering of Survying and Mapping Team,No rthwest Hydro Consulting Engineers,CHECC,Lanzhou 730050,China)

In order to control the p rojection deformation of GPS length,the length could be calculated to a certain compensation p rojecting p lane.Based on the p rincip le of compensation p rojection,the paper put fo rw ard the calculation of op timal compensation p rojecting p lane,w hich could make the comp rehensive defo rmation of controlling net length smaller.By verification of examp les,thismethod in controlling of GPS length p rojection defo rmation w as better than o ther methods.

GPS;length deformation compensation;op timal compensation p rojecting p lane

P228.4

A

1006-7949(2010)01-0075-03

2009-04-02

李祖鋒(1981-),男,工程師.

[責(zé)任編輯劉文霞]