郝全明,羅業(yè)民

(內(nèi)蒙古科技大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院,內(nèi)蒙古包頭 014010)

基于實(shí)物期權(quán)理論的露天采礦邊際品位最優(yōu)化

郝全明,羅業(yè)民

(內(nèi)蒙古科技大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院,內(nèi)蒙古包頭 014010)

以實(shí)現(xiàn)礦山利潤(rùn)最大化為目的,借助金融學(xué)里的實(shí)物期權(quán)理論建立了露天采礦邊際品位最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,并以一個(gè)案例驗(yàn)證了所建模型的優(yōu)越性,為礦山開(kāi)采品位決策提供了新途徑。

邊際品位;實(shí)物期權(quán);最優(yōu)化數(shù)字模型

礦石品位的高低是采礦業(yè)管理中一個(gè)重要的決策問(wèn)題。露天礦邊際品位在露天礦生產(chǎn)的過(guò)程中處于非常重要的地位,它關(guān)系到露天礦的可采礦量、剝巖量、生產(chǎn)能力、開(kāi)采年限等,也與礦山投資,投產(chǎn)、達(dá)產(chǎn)時(shí)間,設(shè)備數(shù)量,礦山人員和礦石成本等一系列技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)有密切聯(lián)系,以至最終影響礦山的經(jīng)濟(jì)效益[1]。為此,本文以實(shí)現(xiàn)礦山利潤(rùn)最大化為目的,借助金融學(xué)實(shí)物期權(quán)理論來(lái)分析露天采礦邊際品位最優(yōu)化問(wèn)題,并建立了經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型,為礦山企業(yè)提供決策依據(jù)。

1 實(shí)物期權(quán)的期權(quán)定價(jià)理論估值模型

西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中用期權(quán)定價(jià)理論對(duì)實(shí)物期權(quán)進(jìn)行估值。期權(quán)定價(jià)理論是對(duì)金融期權(quán)估值的方法,以布萊克與肖萊斯為代表的布-肖期權(quán)定價(jià)模型是期權(quán)定價(jià)理論的重大突破。

t時(shí)刻,用 V表示某個(gè)投資項(xiàng)目的未來(lái)收益的現(xiàn)值,未來(lái)收益符合布朗幾何運(yùn)動(dòng),則有:

式中:μ——期望收益率;

σ——標(biāo)準(zhǔn)差;

dz——維納過(guò)程增量。

當(dāng)可用交易證券復(fù)制投資項(xiàng)目的現(xiàn)金流時(shí),設(shè)交易證券的期望收益率為μ＊,令μ＜μ＊,并設(shè)δ=μ＊-μ,在這里可以把δ理解為與股票紅利相似的投資項(xiàng)目產(chǎn)出現(xiàn)金流。設(shè)投資項(xiàng)目基礎(chǔ)資產(chǎn)的實(shí)物期權(quán)的價(jià)值為 F,V為項(xiàng)目?jī)r(jià)值,F為時(shí)間 t和項(xiàng)目?jī)r(jià)值 V的函數(shù),記 r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。因此,價(jià)值 F為該投資項(xiàng)目擁有的一個(gè)實(shí)物期權(quán),?F/?V為已賣(mài)空的項(xiàng)目資產(chǎn)份額,?F/?V隨 V的變化而調(diào)整。由布朗幾何運(yùn)動(dòng)方程和伊藤引理,可得實(shí)物期權(quán)的估值模型[2,3]:

2 基于期權(quán)定價(jià)理論的露天采礦邊際品位優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

2.1 連續(xù)變量期權(quán)定價(jià)數(shù)學(xué)模型的建立

在邊際品位優(yōu)化研究當(dāng)中,邊際品位是一個(gè)變量,而且是連續(xù)變化的,針對(duì)邊際品位變量的連續(xù)性,可以從實(shí)物期權(quán)的內(nèi)容中找出與之對(duì)應(yīng)的期權(quán)類型,即可以引用連續(xù)變量期權(quán)來(lái)分析礦石價(jià)格變動(dòng)情況下的邊際品位優(yōu)化問(wèn)題。根據(jù)連續(xù)變量期權(quán)的定義,優(yōu)化時(shí)須依據(jù)礦石的市場(chǎng)價(jià)格來(lái)適時(shí)調(diào)整礦山的生產(chǎn)行為,以使礦山企業(yè)利潤(rùn)最大化。

一個(gè)工程或者項(xiàng)目在運(yùn)營(yíng)的過(guò)程中,一般可根據(jù)外部或內(nèi)部環(huán)境對(duì)項(xiàng)目的某些運(yùn)營(yíng)參數(shù)進(jìn)行調(diào)整,比如在某個(gè)時(shí)間點(diǎn),調(diào)整人力、物力和財(cái)力等投入以改善經(jīng)營(yíng)狀況。在某一時(shí)間點(diǎn)或者時(shí)間段內(nèi),這種調(diào)整的最優(yōu)程度取決于那一時(shí)間點(diǎn)或者段內(nèi)產(chǎn)出物的市場(chǎng)價(jià)格,達(dá)到利潤(rùn)最大化時(shí),要滿足邊際收益等于邊際成本這一必要條件。所以,反過(guò)來(lái),當(dāng)產(chǎn)品的市場(chǎng)價(jià)格變化時(shí),要想實(shí)現(xiàn)最佳的效益,項(xiàng)目可通過(guò)調(diào)整其經(jīng)營(yíng)參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn),調(diào)整經(jīng)營(yíng)參數(shù)后,對(duì)項(xiàng)目的估值也需調(diào)整[4]。

在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下商品價(jià)格 K呈隨機(jī)變動(dòng),并且認(rèn)為在價(jià)格變動(dòng)的某一時(shí)刻可對(duì)項(xiàng)目的投入進(jìn)行調(diào)整,其調(diào)整變量為 v,設(shè) h(v)為其產(chǎn)出的生產(chǎn)函數(shù),c(v)為其相應(yīng)產(chǎn)生的成本,I(K)為由此帶來(lái)的利潤(rùn)。因此,使 I(K)最大時(shí)的 v即為最優(yōu)的,即:

根據(jù)一維柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)[5],有:

并可得獲得最大利潤(rùn)時(shí),調(diào)整變量 v為:

其中,價(jià)格 K是變動(dòng)的,c是不變量,為投入物價(jià)格。

將式(5)代入式(4)得產(chǎn)出物函數(shù) h(v):

由此可得最大利潤(rùn):

記 Φ=(1-θ)(θ/c)θ/(1-θ),γ=1/(1-θ),有 :

考慮到 K是隨機(jī)變動(dòng)量,依據(jù)式(2),得:

由上式可得:

式中 :Φ=(1-θ)(θ/c)θ/(1-θ);

以上數(shù)學(xué)模型即為變量呈連續(xù)不斷變化時(shí)的期權(quán)定價(jià)數(shù)學(xué)模型。在投入不斷調(diào)整的時(shí)候,用此模型可對(duì)項(xiàng)目定價(jià)或估值。

2.2 露天采礦邊際品位優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

借助以上的期權(quán)定價(jià)數(shù)學(xué)模型對(duì)礦山采礦品位進(jìn)行優(yōu)化研究。在礦山生產(chǎn)能力一定的時(shí)候,邊際品位的變動(dòng)會(huì)影響到從爆堆礦巖中裝運(yùn)到選礦廠處理的礦石量的多少,邊際品位定得越高,從單位爆堆中獲得的礦石量就越少,為了滿足選廠對(duì)礦石的需求,就必須增加爆堆礦巖量,這種對(duì)應(yīng)關(guān)系正好與式(8)所表達(dá)的關(guān)系是一致的。

記單位爆堆礦巖的成本為 m,所以當(dāng)邊際上增加 1t礦石時(shí),它的邊界成本就是m。當(dāng)?shù)V山生產(chǎn)能力一定并提高邊際品位時(shí),礦山所獲得的金屬產(chǎn)量就增多,增加多少則取決于礦石的品位分布,從前面的分析可知,對(duì)于某個(gè)礦山,可以用生產(chǎn)函數(shù) h(v)來(lái)表示其金屬量的產(chǎn)出,這里的 h(v)由礦石品位分布確定,因此,在礦石價(jià)格變動(dòng)情況下,借助式(8)就可以定價(jià)或評(píng)估采礦邊際品位優(yōu)化調(diào)整后的礦山價(jià)值。

當(dāng)邊際品位為α?xí)r,按照礦山生產(chǎn)能力所需要的爆堆礦巖量為 Qα,設(shè) h(Qα)為金屬量生產(chǎn)函數(shù),則有:

式中:Q——選礦生產(chǎn)能力(常數(shù));

ε——回收率(常數(shù));

b——常數(shù)。

式(9)即為金屬產(chǎn)量和爆堆礦巖量間的函數(shù)關(guān)系。將式(9)代入式(3)可得礦山利潤(rùn)函數(shù)關(guān)系式:

將上式對(duì) Qα求導(dǎo),并令其等于零,有:

由此式解得 Qα為:

上式即為在礦石價(jià)格變動(dòng)情況下,最優(yōu)的爆堆礦巖量計(jì)算式。因此有最大利潤(rùn)函數(shù)式:

根據(jù)式(2),可得:

式(11)求解起來(lái)很復(fù)雜,為了簡(jiǎn)化計(jì)算,在這里利用經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一維柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)[5]來(lái)近似金屬量生產(chǎn)函數(shù),即:

為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化模型,可以不考慮入選成本 c和企業(yè)固定費(fèi)用 f,因?yàn)樗鼈兣c邊際品位的調(diào)整沒(méi)有關(guān)系。在這里只需考慮爆堆礦巖成本 m,所以,礦山利潤(rùn)可表達(dá)為:

解得最優(yōu)的 Qα為:

對(duì)應(yīng)的金屬產(chǎn)出量為:

由式(7)可得:

令 Φ=(1-lθ)(lθ/m)θ/(1-θ)

根據(jù)式(8),可構(gòu)建出露天礦山價(jià)值的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型為:

式中:Φ′=(1-lθ)(lθ/m)θ/(1-θ)

h(Qα)噸金屬賣(mài)出后的收益為:

令 V(K)=V(K) ′,即

Φ′Kγ/δ′=QαεK,解得 :

式(14)即為最優(yōu)邊際品位的計(jì)算式,礦山以此邊際品位為根據(jù)來(lái)進(jìn)行采礦活動(dòng),能夠使礦山利潤(rùn)最大化。

3 案例分析

某金屬露天礦單位爆堆礦巖成本m=10元/t,單位礦石入選成本 c=10元 /t,礦山固定費(fèi)用 f=1950萬(wàn)元,選場(chǎng)處理礦石能力 Q=150萬(wàn) t/a,選礦回收率ε=95%,精礦價(jià)格 K=6000元 /t,邊際品位α=1.2%,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r=0.8,標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.15,rδ=0,b=300。

假設(shè)該金屬露天礦礦體品位分布函數(shù)為負(fù)指數(shù)函數(shù),那么由式(9)知,該礦金屬量生產(chǎn)函數(shù)為:

Qα和 h(Qα)存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,對(duì) Qα取不同的值,就能得出不同 h(Qα)(見(jiàn)表1)。

表1 爆堆礦巖量與金屬產(chǎn)量對(duì)應(yīng)關(guān)系

對(duì)金屬產(chǎn)量進(jìn)行線性擬合,得該礦生產(chǎn)函數(shù)為:

所以,γ=1.5,δ′=0.0716,Φ′Kδ=5102(萬(wàn)元)于是:

V(K)K=6000=71229(萬(wàn)元)

扣除選礦費(fèi)用和固定費(fèi)用后,該礦項(xiàng)目?jī)r(jià)值為:

V(K)=71229-(1950+10×150)×1/0.08=28034(萬(wàn)元)

按式(13)計(jì)算,其年利潤(rùn)為 1797萬(wàn)元,按式(12)計(jì)算,并以 0.08進(jìn)行折現(xiàn)后,其年利潤(rùn)為 2243萬(wàn)元。所以,運(yùn)用本文所建模型來(lái)決策礦山邊際品位,能夠使礦山多盈利約 446萬(wàn)元。

4 結(jié) 論

本文運(yùn)用實(shí)物期權(quán)理論建立了露天采礦邊際品位最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型,這一模型充分地體現(xiàn)了采礦邊際品位的經(jīng)濟(jì)意義,實(shí)現(xiàn)了礦山企業(yè)追求利潤(rùn)最大化目標(biāo)。在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下,該模型為礦山的采礦品位決策提供了一個(gè)新的有效的途徑。

[1] 海躍華,何 琦.七寶山金礦合理邊際品位研究[J].礦冶工程,2009,3:8～12.

[2] 劉玉平.金融學(xué)[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2007.

[3] 廖 奕.金融學(xué)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2008.

[4] 張順堂.金屬礦山經(jīng)營(yíng)參數(shù)動(dòng)態(tài)優(yōu)化綜合模型研究[J].礦業(yè)研究與開(kāi)發(fā),2005,25(3):1～2.

[5] 臧良運(yùn).西方經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2008.

2010-05-18)

郝全明(1957-),男,內(nèi)蒙古包頭人,教授,碩士生導(dǎo)師,主要從事礦業(yè)系統(tǒng)工程、采礦工藝與技術(shù)、礦業(yè)技術(shù)經(jīng)濟(jì)等研究。