● (大冶市第一中學 湖北大冶 435100)

圓的性質(zhì)1直徑所對的圓周角是直角.

如圖1所示，AB是圓的直徑，P是圓周上一點，則∠APB=90°．

若P1是圓外部一點，則∠AP1B<90°，即∠AP1B是銳角；若P2是圓內(nèi)部一點，則∠AP2B>90°，即∠AP2B是鈍角．

利用圓的該性質(zhì)可以進一步得到以下結(jié)論1．

圖1

圖2

圖3

圖4

結(jié)論1以橢圓中心為圓心，以|F1F2|為直徑作圓O,則圓O與橢圓的位置關系如圖2～4所示．

將橢圓方程和圓O的方程聯(lián)立,即

解得

(1)當b>c時，b2>c2，則y2>b2．由圖2可知，y2>b2不成立，即方程組無解．此時橢圓包含圓O，橢圓與圓O沒有公共點，橢圓上的任意一點P(長軸的2個端點除外)與F1F2連線的夾角都是銳角．

(2)當b=c時，b2=c2，則y2=b2．由圖3可知，橢圓與圓O有2個公共點，即短軸的2個端點．設公共點為P，則此時點P與F1,F2連線的夾角是直角,橢圓上的其余各點(長軸的2個端點除外)與F1,F2連線的夾角都是銳角．

(3)當b

圓的性質(zhì)2 圓內(nèi)接四邊形的對角互補．

本文利用圓的這些性質(zhì)巧妙解題，舉例加以應用，供參考.

圖5

解以橢圓中心為圓心，以|F1F2|為直徑作圓O,則圓O的方程為：x2+y2=c2．由上面的結(jié)論可知，要使∠F1PF2為鈍角，一定有圓O和橢圓相交，即b2

解以橢圓的中心為圓心，以|F1F2|為直徑作圓，記作圓O,則圓O的方程為：x2+y2=c2．聯(lián)立方程組

解得

因為圓O和橢圓有公共點,得

即b2≤c2，從而

a2-c2≤c2，

所以

故

以上解法是先構(gòu)造一個圓O，把∠F1PF2放到圓O中去考慮，有效地將圓的知識與解析幾何聯(lián)系起來；再利用圓O和橢圓的位置關系，進一步求出答案．

圖6

圖7

解如圖6所示，以A′A為邊作等邊△A′QA，再作△A′QA的外接圓．由已知條件，橢圓上存在一點P，使得∠A′PA=120°,則根據(jù)圓的性質(zhì)，知點P,A′,Q,A共圓，即點A是橢圓與△A′QA的外接圓的交點.將橢圓方程和△A′QA的外接圓的方程聯(lián)立,得

即

解得

如圖6可知，交點P的縱坐標必須滿足

即

(3c2-2a2)(3c2+6a2)≥0，

得

3c2-2a2≥0,

所以

解得

例4F1,F2是橢圓的2個焦點，若橢圓上存在一點P，使∠F1PF2=120°，求橢圓離心率的取值范圍．

解如圖7，以F1F2為邊作等邊△F1QF2，再作△F1QF2的外接圓．由已知條件，橢圓上存在一點P，使得∠F1PF2=120°,根據(jù)圓的性質(zhì)，知點P,F1,Q,F2共圓，即點P是橢圓與△F1QF2的外接圓的交點.將橢圓方程和△F1QF2的外接圓的方程聯(lián)立,得

即

解得

如圖7可知，交點P的縱坐標要滿足

化簡得

解得

評注從圖中還可以發(fā)現(xiàn)，在橢圓上存在4個(或3個)不同的點，使得∠F1PF2=120°．這樣就可以得到一個新的問題：

例5F1,F2是橢圓的2個焦點，若橢圓上存在4個這樣的點P，使得∠F1PF2=120°，求橢圓離心率的取值范圍．

例6F1,F2是橢圓的2個焦點，若橢圓上存在3個這樣的點P，使得∠F1PF2=120°，求橢圓的離心率．

以上問題有一個相同的條件：已知角是120°．因此可以利用圓的性質(zhì)構(gòu)造一個正三角形，再作出三角形的外接圓，然后進一步確定點是三角形外接圓和橢圓的公共點；最后通過外接圓和橢圓的位置關系解出答案．