劉名生, 崔志鋒

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

一類解析函數(shù)子類的Fekete-Szeg?不等式

劉名生, 崔志鋒

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

定義了解析函數(shù)類Mα(φ) (αgt;1),得到了它精確的Fekete-Szeg?不等式.作為Fekete-Szeg?不等式的應(yīng)用,得到了通過分式微分定義的函數(shù)類的Fekete-Szeg?不等式.

解析函數(shù); 從屬; 卷積; Fekete-Szeg?不等式

記A表示具有如下形式

(1)

的全體解析函數(shù)f(z)所成的函數(shù)類, S表示A中的單葉函數(shù)子類.

1933年，F(xiàn)EKETE和SZEG?在文獻(xiàn)[1]中首先對(duì)單葉函數(shù)類S建立了如下結(jié)果:

由此開始,許多作者對(duì)各種解析函數(shù)子類的Fekete-Szeg?不等式進(jìn)行了研究. 2002 年, 劉名生在文獻(xiàn)[2]中引入了函數(shù)類

并且研究了它的Fekete-Szeg?問題.

本文首先定義了新的解析函數(shù)類Mα(φ) (αgt;1), 得到了它的Fekete-Szeg?不等式. 作為應(yīng)用,本文也得到了通過分式微分定義的函數(shù)的Fekete-Szeg?不等式.

1 定義與引理

為了得到主要結(jié)果, 首先引入下面的引理:

引理2[3]如果p1(z)=1+c1z+c2z2+c3z3+…是Δ內(nèi)具有正實(shí)部的解析函數(shù), 則對(duì)任意的實(shí)數(shù)ν, 有

同時(shí), 當(dāng)0lt;νlt;1 時(shí)不等式還可以改進(jìn)為:

和

2 Fekete-Szeg?不等式

在此首先說明, 本文所得結(jié)果都是精確的,因此不一一寫出.

(2)

定義函數(shù)p1(z)為

(3)

1+b1z+b2z2+…

(4)

根據(jù)式(2)、(3)和式(4),可以得到

(5)

又由式(4)及αgt;1, 可得

(6)

當(dāng)f(z)取A中滿足下面方程的函數(shù)時(shí)等號(hào)成立:

和

定理2 設(shè)φ(z)=1+B1z+B2z2+B3z3+…滿足定義1 的條件. 如果f(z)由式(1)給出, 并且屬于Mα(φ), 則對(duì)任意的實(shí)數(shù)ν, 有

其中

1+b1z+b2z2+…

(7)

(8)

和

□

若σ1≤μ≤σ2, 根據(jù)引理2,定理2可以被改進(jìn)為:

和

3 Fekete-Szeg?不等式在由分式微分定義的函數(shù)類中的應(yīng)用

定義2[7-8]假設(shè)函數(shù)f(z)是z平面上一個(gè)包含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù). 定義函數(shù)f(z)的δ階分式微分為

這里(z-ζ)-δ的重?cái)?shù)當(dāng)z-ζgt;0 時(shí)log(z-ζ)取實(shí)數(shù)的情況下可以去掉.

其中

6:=,

7:=.

和

那么, 由定理 4 和定理 5分別得到下面的推論 3 和推論 4.

其中

[1] FEKETE M, SZEG? G. Eine bermerkung uberungerade schlichte functionen[J]. J London Math Soc,1933,8:85-89.

[2] 劉名生.某類解析函數(shù)的Fekete-Szeg?不等式[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào), 2002,22A(1):8-14.

LIU Mingsheng. The Fekete-Szeg? inequality for certain class of analytic functions[J]. Acta Mathematica Scientia,2002,22A(1):8-14.

[3] MA W, MINDA D. A unified treatment of some special classes of univalent functions[C]// LI Z,REN F,YANG L,et al.Proceedings of the Conference on Complex Analysis.Beijing:International Press Inc,1994:157-169.

[4] SHANMUGAM T N, SIVASUBRAMANIAN S. On the Fekete-Szeg? problem for some subclasses of analytic functions[J]. J Inequal Pure and Appl Math,2005, 6(3):Art 71,6pp.

[5] RAVICHANDRAN V, BOLCAL M, POLATOGLU Y, et al. Certain subclasses of starlike and convex functions of complex order[J]. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 2005,34:9-15.

[6] POMMERNKE C H. Univalent functions[M].G?ttingen:Vandehoeck and Ruprecht,1975.

[7] OWA S. On the distortion theorems I[J]. Kyungpook Math J,1978,18:53-58.

[8] OWA S, SRIVASTAVA H M. Univalent and starlike generalized hypergeometric functions[J].Canad J Math, 1987, 39:1057-1077.

Keywords： analytic functions; subordination; convolution; Fekete-Szeg? inequality

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】

FEKETE-SZEG?INEQUALITIESFORSOMESUBCLASSESOFANALYTICFUNCTIONS

LIU Mingsheng, CUI Zhifeng

(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

A class of analytic functions Mα(φ) (αgt;1) is defined, and some sharp Fekete-Szeg? inequalities are obtained. As the applications, Fekete-Szeg? inequalities of functions defined through fractional derivatives are also obtained.

2009-03-31

國(guó)家教育委員會(huì)博士基金資助項(xiàng)目(20050574002)

劉名生(1965—), 男, 江西大余人, 博士,華南師范大學(xué)教授,主要研究方向：復(fù)分析，Email:liumsh@scnu.edu.cn.

1000-5463(2010)01-0001-04

O174.51

A