李春洋 陳 循 易曉山

國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué),長(zhǎng)沙,410073

0 引言

常規(guī)系統(tǒng)可靠性分析中有兩個(gè)基本假設(shè):①系統(tǒng)或單元只有“正常工作”和“完全失效”兩種狀態(tài);②各單元的失效是相互獨(dú)立的。這樣的假設(shè)確實(shí)能夠?yàn)榻鉀Q實(shí)際問題帶來很大的方便,但是這些假設(shè)又使得問題過于簡(jiǎn)單,并不能真實(shí)地反映實(shí)際情況。首先,很多系統(tǒng)不僅有“正常工作”和“完全失效”兩種狀態(tài),在兩者之間還存在很多種工作狀態(tài),即系統(tǒng)是多態(tài)的[1,2];其次,系統(tǒng)中各單元的失效有時(shí)并不是相互獨(dú)立的,特別是一些大型、復(fù)雜的機(jī)電系統(tǒng),相關(guān)失效是一個(gè)普遍的特征。如果忽略系統(tǒng)失效的相關(guān)性,簡(jiǎn)單地在系統(tǒng)各單元失效相互獨(dú)立的假設(shè)下進(jìn)行系統(tǒng)可靠性分析與計(jì)算,常常會(huì)導(dǎo)致過大誤差[3]。共因失效是相關(guān)失效中一種十分廣泛的形式,它是由于某種共同的原因?qū)е露鄠€(gè)單元同時(shí)失效,共因失效對(duì)利用單元冗余提高系統(tǒng)可靠性的方法有很大影響。

目前,國(guó)外學(xué)者對(duì)多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化做了不少研究工作。文獻(xiàn)[4-5]研究了多態(tài)串—并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性冗余配置優(yōu)化問題,并分析了在可用度的約束下,針對(duì)資源需求固定情況,使系統(tǒng)費(fèi)用最少的問題。文獻(xiàn)[6]研究了考慮維修策略的多態(tài)系統(tǒng)可靠性冗余配置優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[7]利用物理規(guī)劃方法和遺傳算法解決了多態(tài)系統(tǒng)可靠性冗余配置多目標(biāo)優(yōu)化問題。但這些文獻(xiàn)中的優(yōu)化模型都是建立在多態(tài)系統(tǒng)各單元失效相互獨(dú)立的基礎(chǔ)上,而對(duì)于考慮共因失效的多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化沒有研究。雖然文獻(xiàn)[8-9]研究了考慮共因失效的可靠性優(yōu)化問題,但所分析的系統(tǒng)都是常規(guī)系統(tǒng)可靠性中的二態(tài)系統(tǒng),并不是多態(tài)系統(tǒng)。文獻(xiàn)[10]對(duì)考慮共因失效的多態(tài)系統(tǒng)可靠性進(jìn)行了分析,但對(duì)于在多態(tài)系統(tǒng)設(shè)計(jì)階段時(shí)如何進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)沒有分析。本文在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,將共因失效分析和多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化相結(jié)合,分析考慮共因失效的多態(tài)系統(tǒng)可靠性冗余配置優(yōu)化問題,并利用遺傳算法對(duì)考慮共因失效的多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化問題進(jìn)行求解。

1 優(yōu)化模型

圖1所示的多態(tài)串—并聯(lián)系統(tǒng)含有n個(gè)子系統(tǒng),每個(gè)子系統(tǒng)i由mi種可供選擇的單元并聯(lián)組成。定義每種類型單元的性能為gij,可靠度為Rij,價(jià)格為cij,子系統(tǒng)i的單元冗余數(shù)量為ri,系統(tǒng)的費(fèi)用為C,可靠度為R,假設(shè)子系統(tǒng)i由于受環(huán)境因素影響,形成共因失效組。

根據(jù)可供選擇的單元,研究在滿足一定約束條件下,通過確定最優(yōu)的單元類型和最優(yōu)的冗余數(shù)量,使系統(tǒng)費(fèi)用最少或者可靠度最大的問題就是可靠性冗余配置優(yōu)化問題。對(duì)于圖1所示的系統(tǒng),以可靠度為約束條件,以費(fèi)用最少為目標(biāo),建立優(yōu)化模型:

式中,R0為系統(tǒng)允許的最小可靠度;Ni為子系統(tǒng)i允許的最大冗余數(shù)量,i=1,2,…,n;j=1,2,…,mi。

要解決該問題,首先需要計(jì)算系統(tǒng)可靠度R,然后采用優(yōu)化算法對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解。由于該優(yōu)化問題是一個(gè)NP—hard問題,采用傳統(tǒng)的優(yōu)化算法難以求解,文本采用遺傳算法進(jìn)行求解。

2 多態(tài)系統(tǒng)可靠度計(jì)算

分析之前,做如下假設(shè):①系統(tǒng)和單元不可修;②各子系統(tǒng)內(nèi)的單元完全相同,且只有正常工作和完全失效兩種狀態(tài);③不同的單元失效會(huì)引起系統(tǒng)呈現(xiàn)多種狀態(tài),即系統(tǒng)是多態(tài)系統(tǒng)。

2.1 失效獨(dú)立的多態(tài)系統(tǒng)可靠度計(jì)算方法

多態(tài)系統(tǒng)可靠度計(jì)算有結(jié)構(gòu)函數(shù)法、馬爾科夫過程、蒙特卡羅仿真和通用生成函數(shù)(universal generating function)四種方法。通用生成函數(shù)是解決多態(tài)系統(tǒng)可靠度計(jì)算問題應(yīng)用較好的方法,它能夠明確地表達(dá)單元狀態(tài)概率、性能與系統(tǒng)狀態(tài)概率和性能的關(guān)系,并且可以通過簡(jiǎn)單的運(yùn)算由單元的通用生成函數(shù)得到系統(tǒng)的通用生成函數(shù),它具有計(jì)算速度快,適用范圍廣等特點(diǎn),這在多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化分析中很有優(yōu)勢(shì),所以通用生成函數(shù)在多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化中應(yīng)用廣泛[1]。

設(shè)單元有M種狀態(tài),單元的性能和對(duì)應(yīng)的狀態(tài)概率分別為{g1,g2,…,gM}、{q1,q2,…,qM},其中ql=Pr{G=gl},G為單元的性能參數(shù),l=1,2,…,M。則單元的通用生成函數(shù)(U函數(shù))為

U函數(shù)將單元的狀態(tài)和單元處于這些狀態(tài)時(shí)的概率聯(lián)系了起來,利用各單元的U函數(shù),采取復(fù)合運(yùn)算就可以得到系統(tǒng)的U函數(shù):

式中,s為系統(tǒng)狀態(tài),s=1,2,…,M;Ms為系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù);Ps為系統(tǒng)狀態(tài)為s時(shí)的狀態(tài)概率;Ws為系統(tǒng)狀態(tài)為s時(shí)的系統(tǒng)性能。

系統(tǒng)的U函數(shù)表示系統(tǒng)的狀態(tài)分布和系統(tǒng)處于各狀態(tài)時(shí)的概率,如果系統(tǒng)需求是系統(tǒng)性能不低于w,則可以得到系統(tǒng)的可靠度為

根據(jù)假設(shè)條件(2),即單元只有正常工作和完全失效兩種狀態(tài),則gij={gij,0},Rij={Rij,1—Rij},代入式(5),得單元的U函數(shù)為

若子系統(tǒng)的工作任務(wù)由各并聯(lián)單元共同分擔(dān),則子系統(tǒng)i的U函數(shù)為

系統(tǒng)的U函數(shù)通過復(fù)合運(yùn)算式(6)即可得到。

2.2 考慮共因失效的多態(tài)系統(tǒng)可靠度計(jì)算方法

考慮共因失效時(shí),需要對(duì)上面的計(jì)算過程進(jìn)行改進(jìn),分以下兩種情況[10]:

(1)發(fā)生共因失效時(shí),共因失效組中所有單元全部失效。對(duì)于只存在單元獨(dú)立失效和共因失效組全部失效兩種失效形式的情況(如在爆炸和沖擊的作用下,單元全部失效),共因失效組子系統(tǒng)的通用生成函數(shù)為

式中,Ui(z)為單元獨(dú)立失效時(shí),共因失效組的U函數(shù);β為共因失效的發(fā)生概率;xc為共因失效組發(fā)生共因失效時(shí),共因失效組的輸出性能。

將Uic(z)與其他非共因失效組子系統(tǒng)的U函數(shù)通過復(fù)合運(yùn)算式(6)進(jìn)行計(jì)算,即可得系統(tǒng)U函數(shù)。

(2)全面考慮共因失效組各重共因失效。此時(shí),在U函數(shù)中加入指針矢量,將U函數(shù)式(5)改進(jìn)為V函數(shù):

式中,sl為指針矢量,維數(shù)為n,用于表示該單元是否屬于共因失效組,以及屬于哪個(gè)共因失效組。

在計(jì)算系統(tǒng)的V函數(shù)過程中,屬于共因失效組的單元的狀態(tài)概率ql用1代替,非共因失效組的單元的狀態(tài)概率不予置換。通過類似U函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算,得到系統(tǒng)的V函數(shù)如下:

最后,將系統(tǒng)的V函數(shù)轉(zhuǎn)化為U函數(shù),通過下式實(shí)現(xiàn):

式中,~Pi,j(t)為共因失效組i中j重共因失效不發(fā)生的概率。

3 利用遺傳算法求解優(yōu)化模型

遺傳算法求解優(yōu)化模型式(1)～式(4)的相關(guān)流程和設(shè)置如下[12]:

(1)編碼。本文采用實(shí)數(shù)編碼,定義每個(gè)染色體的形式為vk=(bk1,bk2,…,bkn,rk1,rk2,…,rkn),其中,bki表示子系統(tǒng)i選擇的單元類型,rki表示選擇單元的冗余數(shù)量,兩者都為整數(shù)。

(2)產(chǎn)生初始群體。定義種群規(guī)模為pop_size,并隨機(jī)產(chǎn)生pop_size個(gè)染色體,其中,染色體的每個(gè)基因位在其取值范圍內(nèi)隨機(jī)取值,取值范圍為1≤bki≤mi,1≤rki≤Ni。

(3)計(jì)算適應(yīng)值。首先計(jì)算每個(gè)染色體所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)費(fèi)用Ck和系統(tǒng)可靠度Rk,對(duì)于不滿足約束條件的染色體,定義如下的懲罰函數(shù):

如果滿足約束條件式(2),則適應(yīng)值為 fk=Ck,不予懲罰;如果不滿足約束條件式(2),給予懲罰,則適應(yīng)值為 fk=Ck+K(R0—Rk),其中K是一個(gè)很大的正數(shù)。定義懲罰函數(shù)的目的是將優(yōu)化算法引導(dǎo)到臨近的最優(yōu)可行解上,逐漸淘汰不可行解。

(4)選擇。首先對(duì)適應(yīng)值進(jìn)行正規(guī)化標(biāo)定:

式中,fmax和fmin分別為種群中最好和最壞的適應(yīng)值;γ為很小的正實(shí)數(shù),以防止分母為零。

對(duì)適應(yīng)值進(jìn)行正規(guī)化標(biāo)定之后,采用賭輪盤法選擇染色體進(jìn)行交叉。

(5)交叉。對(duì)父代采用單點(diǎn)交叉以產(chǎn)生子代。定義交叉概率為Pc,選擇兩個(gè)父代,隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)交叉點(diǎn),交換兩個(gè)父代染色體交叉點(diǎn)后的基因位,從而產(chǎn)生兩個(gè)子代。

(6)變異。采用隨機(jī)攝動(dòng)進(jìn)行變異。定義變異概率為Pm,在種群所有染色體的基因位中產(chǎn)生[0,1]之間的隨機(jī)數(shù),所有小于Pm的隨機(jī)數(shù)所對(duì)應(yīng)的基因位作為變異的基因位。對(duì)于一個(gè)選取變異的基因位Ji,用該基因位取值范圍內(nèi)的一個(gè)隨機(jī)整數(shù)進(jìn)行替代。

(7)產(chǎn)生新一代種群。為了避免最優(yōu)的染色體經(jīng)過交叉、變異之后,產(chǎn)生適應(yīng)值較小的染色體,將當(dāng)前群體中最優(yōu)的部分染色體保留到下一代,和變異之后的染色體一起組成新一代種群。

(8)終止。遺傳算法是一個(gè)反復(fù)迭代的過程,每一次迭代都要執(zhí)行適應(yīng)值計(jì)算、選擇、交叉、變異等操作,直到滿足終止條件。終止條件可以是規(guī)定的最大迭代代數(shù)或規(guī)定的最小偏差。

由于遺傳算法的優(yōu)化結(jié)果與初始種群的選擇有關(guān)系,不同的初始種群可能會(huì)收斂于不同的局部最優(yōu)解,而不是全局最優(yōu)解。為了解決該問題,本文首先循環(huán)運(yùn)算遺傳算法pop_size次,計(jì)算出pop_size個(gè)解,然后將所得到的pop_size個(gè)解作為新的初始種群,再利用遺傳算法求解,從而得到最終解,這樣可以防止收斂于局部最優(yōu)解。當(dāng)然,這樣處理時(shí)計(jì)算時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng),可以通過調(diào)整種群規(guī)模pop_size和迭代代數(shù)來控制計(jì)算時(shí)間。

4 算例分析

分析文獻(xiàn)[4]中的電力供煤系統(tǒng),由主進(jìn)料器和傳送帶子系統(tǒng)、堆垛運(yùn)輸機(jī)和次進(jìn)料器子系統(tǒng)、卸料器子系統(tǒng)、鍋爐子系統(tǒng)這4個(gè)部分串聯(lián)而成,每個(gè)子系統(tǒng)由市場(chǎng)上可供選擇的單元并聯(lián)組成,每個(gè)子系統(tǒng)只能選擇一種類型的單元。每種類型的單元有其對(duì)應(yīng)的性能、可靠度和價(jià)格,如表1所示。要求系統(tǒng)的輸出性能水平不小于0.8,并且系統(tǒng)可靠度不小于0.9,以市場(chǎng)上可供選擇的單元進(jìn)行合理搭配,實(shí)現(xiàn)費(fèi)用最少的目標(biāo)。

表1 可供選擇單元的相關(guān)參數(shù)

假設(shè)各子系統(tǒng)允許的最大冗余數(shù)量為5,則可以建立如下的優(yōu)化模型:

令種群規(guī)模pop_size=20,懲罰函數(shù)的系數(shù)K=100,正規(guī)化標(biāo)定函數(shù)的參數(shù)γ=0.001,交叉概率Pc=0.8,變異概率Pm=0.02,終止條件為規(guī)定的迭代代數(shù)500。根據(jù)失效形式,分以下三種狀況進(jìn)行分析:

(1)不考慮共因失效。

(2)發(fā)生共因失效時(shí),共因失效組中所有單元全部失效。假設(shè)子系統(tǒng)1、3會(huì)發(fā)生共因失效,發(fā)生共因失效的概率分別為0.010和0.015,發(fā)生共因失效時(shí)子系統(tǒng)1、3的所有單元均失效。

(3)全面考慮共因失效組各重共因失效。假設(shè)子系統(tǒng)1、3發(fā)生共因失效,發(fā)生各重共因失效的概率與所選擇的單元有關(guān),發(fā)生2重共因失效的概率為單元獨(dú)立失效概率的1/2,發(fā)生3重共因失效的概率為 2重共因失效概率的1/2,依此類推。

三種狀況的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比情況如表2所示。

表2 三種狀況的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

從三種狀況的優(yōu)化結(jié)果可以看出,在不同條件下,優(yōu)化的結(jié)果相差很大。將不考慮共因失效的優(yōu)化結(jié)果,分別代入考慮共因失效的狀況2和狀況3,可靠度為0.8859和0.8450,是不滿足可靠度不小于0.9的約束條件的。這說明在考慮共因失效時(shí),為了提高系統(tǒng)的可靠度,單純地使用冗余已經(jīng)不是一個(gè)很好的辦法,而使用較高可靠度的單元有更好的效果。上面的分析中,考慮各重共因失效時(shí),子系統(tǒng)3選擇單元2而不選擇獨(dú)立失效時(shí)選擇的單元1就是一個(gè)很好的說明。

5 結(jié)論

(1)本文利用遺傳算法對(duì)考慮共因失效的多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化問題進(jìn)行了分析和求解,并且與不考慮共因失效的多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。對(duì)比顯示,兩者的優(yōu)化結(jié)果有較大的差別。由于共因失效削弱了冗余的效果,使得在進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí),對(duì)于易于發(fā)生共因失效的系統(tǒng),需要采取與獨(dú)立失效系統(tǒng)不同的可靠性設(shè)計(jì)方案,即不能簡(jiǎn)單地利用冗余設(shè)計(jì)提高系統(tǒng)可靠性,而應(yīng)該根據(jù)費(fèi)用情況選擇更加可靠的單元。

(2)本文在分析中,假設(shè)單元只有兩種狀態(tài),而且是不可修的,以后的研究可以進(jìn)一步深入。

[1]Levitin G.The Universal Generating Function in Reliability Analysis and Optimization[M].London:Springer,2005.

[2]Lisnianski A,Levitin G.Multi—state System Reliability:Assessment,Optimization and Applications[M].Singapore:World Scientific,2003.

[3]李翠玲,謝里陽,李劍.基于零件條件失效概率分布的共因失效模型[J].中國(guó)機(jī)械工程,2006,17(7):753-757.

[4]Levitin G,Lisnianski A,Ben—haim H,et al.Redundancy Optimization for Series—parallel Multi—state Systems[J].IEEE Transactions on Reliability,1998,47(2):165-172.

[5]Levitin G.Redundancy Optimization for Multi—state System with Fixed Resource—requirements and Unreliable Sources[J].IEEE Transactions on Reliability,2001,50(1):52-59.

[6]Nourelfath M,Ait—kadi D.Optimization of Series—parallel Multi—state Systems under Maintenance Policies[J].ReliabilityEngineeringand System Safety,2007,92:1620-1626.

[7]Tian Zhigang,Zuo M J.Redundancy Allocation for Multi—state Systems Using Physical Programming and Genetic Algorithms[J].Reliability Engineering and System Safety,2006,91:1049-1056.

[8]Bai D S,Yun W Y,Chung S W.Redundancy Optimization of k—out—of—n Systems with Common —cause Failures[J].IEEE T ransactions on Reliability,1991,40(1):56-59.

[9]Ramirez—Marquez J E,Coit D W.Optimization of System Reliability in the Presence of Common Cause Failures[J].ReliabilityEngineeringand System Safety,2007,92:1421-1434.

[10]Levitin G.Incorporating Common—cause Failures into Nonrepairable Multistate Series—parallel System Analysis[J].IEEE Transactions on Reliability,2001,50(4):380-388.

[11]Chae K C,Clark G M.System Reliability in the Presence of Common—cause Failures[J].IEEE Transactions on Reliability,1986,35:32-35.

[12]玄光男,程潤(rùn)偉.遺傳算法與工程優(yōu)化[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004.