趙秀菊

(襄樊學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 湖北 襄樊 441053)

風(fēng)險(xiǎn)的兩種度量方法
——信息熵與方差

趙秀菊

(襄樊學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 湖北 襄樊 441053)

信息熵和方差都被用作不確定性的度量，之間理應(yīng)存在一定的科學(xué)關(guān)系. 從信息熵與方差的公式入手討論信息熵和方差在風(fēng)險(xiǎn)度量時(shí)的優(yōu)缺點(diǎn)，指出之間的關(guān)系. 最后給出它們?cè)谝恍╊I(lǐng)域的應(yīng)用.

風(fēng)險(xiǎn)度量；信息熵；方差；概率分布

在Markowitz的均值—方差模型中，用方差度量風(fēng)險(xiǎn)；Massoumi and Racine[1]考慮到有時(shí)候我們并不能很好的了解金融市場(chǎng)的概率分布時(shí)，信息熵更適合度量不確定性；Mccauley[2]論述了信息熵可以反映股票市場(chǎng)的紊亂性和不確定性；Reesor. R，Ou. Jianshe[3]分別從相對(duì)熵、增加的熵的角度考慮了風(fēng)險(xiǎn)的度量.信息熵和方差都被用作不確定的度量，那它們之間有何關(guān)系呢？它們又有哪些應(yīng)用呢？本文將對(duì)此作以討論.

1 信息熵和方差的基本定義

信息熵原本是熱力學(xué)中表征系統(tǒng)能量分布均勻程度或系統(tǒng)內(nèi)部粒子無(wú)序程度的一個(gè)物理學(xué)基本概念，20世紀(jì)40年代信息論之父Shannon將其引入了信息論的范疇并取名為信息熵，用以度量信源的平均信息量. 他當(dāng)時(shí)的思路是：能否定義一個(gè)量在某種意義上能度量作為這個(gè)過(guò)程所產(chǎn)生的信息是多少？或者信息速率是多少？他把信息量作為信息論的中心概念，在這樣思想指導(dǎo)下，用Markov過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，即它的“熵”來(lái)表征信源的特性，給出下面的信息熵公式[4].

1.1 離散型分布的信息熵和方差

對(duì)于某個(gè)離散型隨機(jī)變量X，設(shè)X的分布律為{pi}，其中(i = 1,2,,n)，則信息熵作為風(fēng)險(xiǎn)變量X的風(fēng)險(xiǎn)度量為：

而方差作為風(fēng)險(xiǎn)變量X的風(fēng)險(xiǎn)度量R( X)為：

1.2 連續(xù)型分布的信息熵和方差

對(duì)于某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量X，其概率密度函數(shù)為p( x)，則該連續(xù)型隨機(jī)變量X的信息熵和方差分別為：

應(yīng)用以上公式應(yīng)注意以下幾點(diǎn)[5]：

1) Shannon認(rèn)為信息是不確定性的減小或消除，即得到的信息越多，信源的不確定性就越小，所以信息熵是從平均意義上來(lái)表征信源總體信息的側(cè)度，是隨機(jī)變量不確定性程度的度量，其值越小，不確定性程度越小、隨機(jī)性越小，但這種度量是整體性的、平均的.

2) 信源的輸出是隨機(jī)的，即可以用概率分布來(lái)描述信源，這是信息論的一條假設(shè).

3) 通過(guò)數(shù)學(xué)方法可以證明，當(dāng)信源可能出現(xiàn)的各種狀態(tài)等概率時(shí)，此時(shí)信息熵最大，信源的平均不確定性最大，這一結(jié)論稱(chēng)為最大熵原理.

2 信息熵與和方差的比較

早在20世紀(jì)50年代諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者M(jìn)arkowitz就提出了用方差作為風(fēng)險(xiǎn)的度量，時(shí)至今日該方法仍得到了空前廣泛的應(yīng)用.Luce通過(guò)考察風(fēng)險(xiǎn)行動(dòng)的特定變換對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)感知的影響，提出了風(fēng)險(xiǎn)度量的信息熵方法.下面對(duì)這兩種方法的異同總結(jié)如下：

1) 信息熵是對(duì)系統(tǒng)整體的一種度量，而且在已知矩約束的條件下可以推測(cè)出最“無(wú)偏”的概率分布；而方差反映了隨機(jī)變量的取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度，是集中在隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望附近的度量.

2) 當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量的概率為1時(shí)，其信息熵值為0；方差也是如此.

3) 對(duì)于相互獨(dú)立的狀態(tài)，其信息熵的和等于和的熵；方差也是如此.

4) 方差度量風(fēng)險(xiǎn)只適用于損失的概率分布為對(duì)稱(chēng)的情況，當(dāng)概率分布非對(duì)稱(chēng)時(shí)，僅用方差來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)大小顯然是不夠的，還應(yīng)該包括高階矩的信息，例如對(duì)小概率的極端事件對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)，只用方差度量風(fēng)險(xiǎn)顯然不夠；而信息熵度量方法對(duì)風(fēng)險(xiǎn)變量的分布沒(méi)有要求.

5) 方差只刻畫(huà)出風(fēng)險(xiǎn)變量的二階矩特征；而信息熵則可以表達(dá)風(fēng)險(xiǎn)變量的多階矩特征，能更好地描述風(fēng)險(xiǎn)的情況[6].

6) 方差是在已知統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)序列下進(jìn)行計(jì)算的，具有滯后性；而信息熵是對(duì)概率分布的一種無(wú)偏估計(jì)，因此是可以起到預(yù)測(cè)作用，信息熵的這一特性是目前眾多度量方法所不具備的.

7) 度量風(fēng)險(xiǎn)的信息熵和方差變大，說(shuō)明風(fēng)險(xiǎn)變量的風(fēng)險(xiǎn)較大；反之亦然.

8) 方差不是單調(diào)函數(shù)，所以，當(dāng)收益率高于期望收益率時(shí)，仍然要對(duì)方差函數(shù)進(jìn)行懲罰，不符合投資者的心理狀況；而信息熵函數(shù)是單調(diào)的.

9) 在金融資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)度量方面，信息熵方法和方差法具有一致性[6].

10) 用方差來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)，需要進(jìn)行方差協(xié)方差矩陣的計(jì)算，計(jì)算量相當(dāng)復(fù)雜；而用信息熵來(lái)表示風(fēng)險(xiǎn)就不存在這種復(fù)雜的計(jì)算，計(jì)算方法相對(duì)簡(jiǎn)單.

11) 信息熵的表達(dá)式中只含有P，所以只是計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)變量X的概率分布；而方差的表達(dá)式中既含有變量X，又含有P，可以計(jì)算收益或損失，但方差表示的是正負(fù)兩種偏差.

12) 信息熵和方差都是P的連續(xù)函數(shù).

13) 方差度量無(wú)法比較不同金融系統(tǒng)之間的不確定性；而信息熵度量方法使不同金融系統(tǒng)之間的比較成為可能，這也是現(xiàn)有度量方法鮮有的功能.

為了更好的了解信息熵和方差的直接關(guān)系，下面舉幾個(gè)特例，把信息熵寫(xiě)成方差的函數(shù).下面來(lái)討論狀態(tài)為連續(xù)型的隨機(jī)變量，對(duì)于一些特殊分布，兩者之間的關(guān)系.

1) 當(dāng)狀態(tài)θ服從正態(tài)分布 N(μ, σ2)，θ的密度函數(shù)為：

2) 當(dāng)狀態(tài)θ服從以λ為參數(shù)的指數(shù)分布，密度函數(shù)為：

3) 當(dāng)狀態(tài)θ服從U[ a, b]的均勻分布(a

可以看出，在上面三個(gè)分布中，信息熵是方差的單調(diào)遞增函數(shù). 二者作為風(fēng)險(xiǎn)的度量進(jìn)行決策行動(dòng)排序是一致的. 但對(duì)于離散型隨機(jī)變量，信息熵與方差無(wú)關(guān). 這個(gè)性質(zhì)揭示出兩種常見(jiàn)的隨機(jī)變量之間的本質(zhì)性差異.

3 信息熵與方差的應(yīng)用

3.1 在學(xué)校教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)體系上的應(yīng)用

當(dāng)然可以利用方差來(lái)評(píng)價(jià)成績(jī)狀況，但是方差存在一定的片面性與局限性，為克服這方面的不足，可以用信息熵定義如下公式：

式中，A為分析對(duì)象的總分?jǐn)?shù)，iθ為設(shè)定區(qū)域的總分?jǐn)?shù),n為區(qū)域的個(gè)數(shù). 例如考察某科目的統(tǒng)考成績(jī)，A為各班成績(jī)的總和，iθ為各班成績(jī),n為班級(jí)的個(gè)數(shù). 實(shí)踐表明，若成績(jī)呈正態(tài)分布時(shí)，S值一般在1.5～1.7之間，當(dāng)S<1.2時(shí)，成績(jī)的概率分布趨于集中，說(shuō)明試卷的區(qū)分度小.

3.2 在股票投資中的應(yīng)用

1) 李百吉，郭正權(quán)[6]選擇上證50指數(shù)50只樣本股作為研究樣本，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，得到每個(gè)期望收益率所對(duì)應(yīng)的信息熵和方差，在同一個(gè)圖中做出信息熵和方差關(guān)于期望收益率的變化趨勢(shì)圖，從圖可以看出，信息熵的變化趨勢(shì)和方差的變化趨勢(shì)基本上是一致的，而且信息熵曲線和方差曲線基本上是一種平行關(guān)系，這說(shuō)明在度量股票風(fēng)險(xiǎn)方面，信息熵和方差方法是一致的.

2) 李英華[7]等給出了信息熵-標(biāo)準(zhǔn)差模型

其中：R( X)表示事件X的風(fēng)險(xiǎn)， SX(θ)為風(fēng)險(xiǎn)事件X在θ狀態(tài)的信息熵，0<λ≤1為常數(shù)，是決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)，王昕[8]將其用于股票投資中.

3.3 在證券投資組合中的應(yīng)用

馬科維茨以證券收益率的方差作為投資風(fēng)險(xiǎn)的測(cè)度建立了組合證券投資的均值-方差模型，李華建立了均值-熵模型[9]：

其中： X = (x1, x2,,xn)T為投資比例向量；C表示證券收益率的方差協(xié)方差矩陣；E是投資者經(jīng)過(guò)投資組合之后經(jīng)過(guò)一個(gè)階段期望達(dá)到的收益.

李華[9]通過(guò)一個(gè)具體的實(shí)例利用兩個(gè)模型分別計(jì)算進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)：所得結(jié)果是一致的.

3.4 在比例再保險(xiǎn)中的應(yīng)用

根據(jù)比例再保險(xiǎn)的特點(diǎn)，Markowitz的均值-方差模型被應(yīng)用于再保險(xiǎn)問(wèn)題的研究中，但是由上面討論知方差在度量風(fēng)險(xiǎn)時(shí)存在缺陷，我建立了均值-方差-熵優(yōu)化模型：

其中： α= (α1,α2,,αn)T為自留額向量； L = (l1, l2,,ln)T為附加保費(fèi)向量； V= [σij]n×n是向量X= (X1,X2,,Xn)T的協(xié)方差矩陣， X1,X2,,Xn是分出公司承保的n個(gè)險(xiǎn)種，這里假定V是正定矩陣；e= (1,1,,1)T是一個(gè)所有分量均為1的向量；c表示分出公司的預(yù)期收益。那么保險(xiǎn)公司分保后的問(wèn)題是選取合適的自留比例向量α，使期望總收益最大和總風(fēng)險(xiǎn)最小.實(shí)證結(jié)果表明，采用均值-方差-熵優(yōu)化模型所求的自留額分保后，能大大降低風(fēng)險(xiǎn).

3.5 在保險(xiǎn)定價(jià)中的應(yīng)用

張闞[10]等定義的最大熵-均值方差保費(fèi)原則為：

其中，P為保費(fèi)，E( X)和Var( X)分別是基于最大熵分布的均值和方差，S是最大信息熵值，λ是一個(gè)大于零的常數(shù). 在傳統(tǒng)均值方差保費(fèi)原則基礎(chǔ)上了熵值附加項(xiàng)，建立了最大熵-均值方差保費(fèi)原則，體現(xiàn)了保費(fèi)制定的合理性，且易于求解.

隨著各學(xué)科的相互滲透和科學(xué)綜合化發(fā)展，熵概念已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出其最初的范疇. 目前，信息熵的概念在自然和社會(huì)科學(xué)的許多領(lǐng)域中得到廣泛的推廣和應(yīng)用，信息熵已成為了一種新的世界觀.

4 結(jié)語(yǔ)

本文討論了信息熵和方差在度量不確定性方面的異同，將他們的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了詳細(xì)的歸類(lèi)，還列舉了他們?cè)谄渌I(lǐng)域的一些應(yīng)用. 為風(fēng)險(xiǎn)度量的研究者提供了該方面的情況，并為進(jìn)一步研究奠定了基礎(chǔ).

[1] MASSOUMI E, RACINE J. Entropy and predictability of stock market returns [J]. Journal of Econometrics, 2002, 107: 291-212.

[2] MCCAULEY J. Thermodynamic analogies in economics and finance: on stability of markets [J]. Physica. A, 2003, 329: 199-212.

[3] OU JIANSHE. Theory of portfolio and risk based on incremental entropy [J]. Journal of risk finance, 2005, 6(1): 31-39.

[4] SHANNON C E. A mathematical theory of communication[J]. ACMSIGMOBILE Mobile Computing and Communication Review, 2001, 5(1): 3-55.

[5] 孫 亮, 徐友全, 王德東, 等. 信息熵在設(shè)計(jì)風(fēng)險(xiǎn)管理中的應(yīng)用研究[J]. 山東建筑大學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 24(6): 518-521.

[6] 李百吉, 郭正權(quán). 股票風(fēng)險(xiǎn)度量的熵方法和方差法的一致性的實(shí)證研究[J]. 金融經(jīng)濟(jì), 2005, 8: 70-71.

[7] 李英華, 李興斯, 姜昱汐. 信息熵度量風(fēng)險(xiǎn)的探究[J]. 運(yùn)籌與管理, 2007, 16(5): 111-116.

[8] 王 昕. 信息熵風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)在股票投資中的實(shí)證研究[J]. 北京機(jī)械工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào), 2008, 23(3): 64-67.

[9] 李 華, 李興斯. 證券投資組合理論的一種新模型及其應(yīng)用[J]. 運(yùn)籌與管理, 2003, 12(6): 83-86.

[10] 張 闞, 豐 雪. 最大熵分布在投資組合中的應(yīng)用研究[J]. 沈陽(yáng)農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 38(6): 881-884.

（責(zé)任編輯：饒 超）

Two Solutions to Risk Measurement: Information Entropy and Variance

ZHAO Xiu-ju
(School of Mathematical & Computer Sciences, Xiangfan University, Xiangfan 441053, China)

Both information entropy and variance are used for the measurement of uncertainty, there should be certain scientific relationship between these two. This paper discusses advantages and disadvantages in risk measurement by information entropy and variance from their calculation formulas. At last, their applications are offered.

Risk measurement; Information entropy; Variance; Probability distribution

O211.5

A

1009-2854(2010)02-0012-04

2009-12-20

趙秀菊(1980— ), 女, 湖北鐘祥人, 襄樊學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院講師.