楊正波 ，夏清華

(襄樊學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，湖北 襄樊 441053)

光滑圓環(huán)約束彈簧擺問題研究

楊正波 ，夏清華

(襄樊學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，湖北 襄樊 441053)

通過非線性理論分析，得到光滑圓環(huán)約束彈簧擺的動力學(xué)方程，討論不同參數(shù)條件下平衡點(diǎn)的類型和穩(wěn)定性，并通過數(shù)值模擬作出特定參數(shù)下不同初始條件下系統(tǒng)相軌跡，并分析系統(tǒng)的運(yùn)動情況.

約束彈簧擺；平衡點(diǎn)；相軌跡

近年來，彈簧擺作為二自由度非線性振動系統(tǒng)倍受關(guān)注[1-3].本文通過非線性理論分析，討論一種約束彈簧擺在不同參數(shù)條件下平衡點(diǎn)的類型和穩(wěn)定性，并通過數(shù)值計算作出了特定參數(shù)下不同初始條件的相軌跡，從而直觀地分析系統(tǒng)的運(yùn)動情況.

1 系統(tǒng)的動力學(xué)方程

如圖1所示，一質(zhì)量為m的小圓環(huán)掛在勁度系數(shù)為k，原長為R的輕質(zhì)彈簧上，小圓環(huán)被約束在半徑為 R的光滑圓環(huán)上運(yùn)動，彈簧的另一端固定于圓環(huán)的最高點(diǎn).

選取彈簧與豎直方向的夾角θ為擺角，最高點(diǎn)為勢能零點(diǎn)，則系統(tǒng)的動能為，系統(tǒng)的勢能為mg (2R cosθ) cosθ. 所以，系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

圖1 光滑圓環(huán)約束彈簧擺系統(tǒng)

根據(jù)拉格朗日方程可求出系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

2 平衡點(diǎn)類型及其穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)的動力學(xué)方程(1)等價于二元一階微分方程組

這是一個單自由度的力學(xué)系統(tǒng)，其平衡點(diǎn)存在與否及其穩(wěn)定性取決于常數(shù)m、k、R等的數(shù)值.因為，所以當(dāng)，即時，相平面上只有一個平衡點(diǎn)：；當(dāng)即時，相平面上有三個平衡點(diǎn)：和.

3 系統(tǒng)運(yùn)動的數(shù)值模擬

圖2 不同初始條件下的相軌跡

4 系統(tǒng)的運(yùn)動情況分析

3) 當(dāng)滿足一定初始條件時，相軌跡為包圍F2、F3、F4三個平衡點(diǎn)的閉合曲線(圖2中的曲線⑦)，小圓環(huán)將在最低點(diǎn)B兩側(cè)做等振幅的周期性運(yùn)動.

[1] 李銀山, 樹學(xué)鋒.彈簧擺的內(nèi)共振和混沌運(yùn)動[J].太原理工大學(xué)學(xué)報, 1998, 29(6): 555-559.

[2] 石玉仁, 薛具奎.彈簧擺的混沌行為[J].西北師范大學(xué)學(xué)報, 2001, 37(3): 91-97.

[3] 李云龍, 倪致祥.彈簧擺振動能變化的數(shù)值研究[J].阜陽師范學(xué)院學(xué)報: 自然科學(xué)版, 2009(12): 45-48.

[4] 陸同興.非線性物理概論質(zhì)[M]. 合肥: 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社, 2002.

[5] REICHL L E.統(tǒng)計物理現(xiàn)代教程[M]. 黃 畇, 趙凱華, 譯. 北京: 北京大學(xué)出版社, 1985.

Spring Pendulum System of the Bound Smooth Ring

YANG Zheng-bo, XIA Qing-hua
(School of Physics and Electronic Engineering, Xiangfan University, Xiangfan 441053, China)

In this paper we obtain the kinetic equation of the spring pendulum system of the bound smooth ring by theoretical analysis. The type and stability of equilibrium points under different conditions are discussed, and we draw out phase diagrams of specific parameters with different initial conditions based on numerical calculation. The motion character of the system is also presented.

Constrained spring pendulum; Equilibrium point; Phase diagram

O313

A

1009-2854(2010)05-0033-03

2010-04-14

楊正波(1975－ ), 男, 湖北谷城人, 襄樊學(xué)院物理與電子工程學(xué)院講師.

饒 超)