畢保祥 ，龔平娟，柳幼松

(1.溫州大學 甌江學院信息系，浙江 溫州 325035；2.溫州大學 數學與信息學院，浙江 溫州 325035)

知識點集及其偏序特性的研究

畢保祥1，龔平娟2，柳幼松1

(1.溫州大學 甌江學院信息系，浙江 溫州 325035；2.溫州大學 數學與信息學院，浙江 溫州 325035)

從知識點的概念、劃分方法及其特性出發(fā)，運用偏序理論對高校計算機專業(yè)部分課程知識點集的偏序特性進行分析，研究表明C語言高級程序設計與數據結構兩個知識點集和它們的并集都屬于偏序集；并依據前驅和后繼知識點、知識點間的直接依賴及知識點鏈闡述了研究知識點集偏序性的現實意義.

知識點集；偏序性；知識點鏈

人們的知識是由許許多多知識點構成的. 文中所述的知識點(Knowledge Point)是指人們在獲取新知識或從事其它智力活動的過程中發(fā)揮幫助作用的概念、定義、術語、句子、原理、定理和方式方法等. 知識點并不是孤立存在的，在一定的范圍內，知識點之間相互關聯(lián)，它在人們已有的知識結構中或者在獲取新知識的過程中發(fā)揮著不同的作用. 這種作用或大或小，或重或輕，或主或次. 每個知識點一般都具有若干屬性，如知識點的類型、范圍和重要程度等，以概括該知識點的特性，確立其在相關知識點集中的地位. 本文主要以大學生專業(yè)知識點為討論對象，首先探討知識點的劃分和知識點的特性，再給出與偏序關系相關的定義，然后以計算機專業(yè)《C語言高級程序設計》與《數據結構》(C語言版)課程中知識點集為例，展示知識點之間所存在的偏序關系及其特性，并闡述研究的實際意義.

1 知識點的劃分及其特性

1.1 知識點的劃分方法

根據研究和應用的情況可以采用不同的方法來劃分知識點. 這里總結出三種知識點的劃分方法，即層次法、平行法和混合法[1-2].

1)層次劃分法 在進行知識歸納總結和試題庫建設時常用的一種劃分方法，是根據章、節(jié)和小標題確定知識點，其中章、節(jié)和小標題都是知識點. 這種劃分方法使得知識點之間存在包含關系，即每個章知識點可以包含若干個節(jié)知識點，每個節(jié)知識點可以包含若干個段知識點，同樣每個段知識點還可以包含若干個更小的知識點，如有必要還可以進一步地劃分. 知識點之間的關系表現為樹型結構，樹中葉子結點是最小的知識點. 2)平行劃分法 不以知識點所屬的章、節(jié)和小標題為依據，即不關注知識點之間是否存在包含關系，而是重點關注知識點的自身屬性和作用，劃分后每個知識點的地位都是平等的. 這種劃分方法使得知識點成為相關知識結構中最基本的單位. 3)混合法 綜合上述兩種方法對知識點進行劃分，如按章和節(jié)進行層次劃分，而節(jié)以下的知識點則不再分層，采用平行劃分法. 本文使用平行劃分法.

1.2 知識點的特性

按照平行劃分法，知識點主要具有如下幾個特性：

1)原子性 當采用平行劃分法對知識點進行劃分之后，認為它是不可再分的最基本的知識點單位. 知識點的這種原子特性表明了知識點是構成某種知識系統(tǒng)的最基本單位. 人們學習并掌握某種知識就是要學習和掌握其一系列知識點. 知識點的原子性也是研究一定范圍內知識點之間相互關聯(lián)的基礎. 2)前驅性 一般來說，每個知識點都可作為其他相關知識點的前導，表明只有掌握好本知識點，才能更好地學習和掌握相關的后續(xù)知識點. 3)后繼性(或稱后續(xù)性) 與前驅性相對，每個知識點的掌握都建立在其他已掌握的知識點基礎之上，即以其他知識點為前驅. 雖然在某一特定范圍內有些知識點不存在后續(xù)知識點，但是這些知識點總會在后來的學習和創(chuàng)新中直接或間接地運用到. 這種后繼性也說明了對知識學習是無止盡的. 前驅性和后繼性表明知識點之間不是獨立存在的，而是相互關聯(lián)的，這種關聯(lián)具有方向性，表明知識的學習應該按先后順序進行，要循序漸進. 4)類屬性 任何一個知識點都會屬于某一類型的知識，如概念型、定義型和定理型等. 研究其類屬性有助于對相同類型知識點的理解和掌握，也便于掌握相同類型知識點的學習方法. 5)局部強關聯(lián)性 任何一個知識點都屬于某一知識范圍，而且在這一范圍內相互關聯(lián)的程度比較強. 例如高校中開設的每一門課程都是一個知識范圍，其內部知識點之間的關聯(lián)程度要強于它們與其他課程中知識點的關聯(lián)程度；再如大學專業(yè)，各專業(yè)內部的知識點之間的關聯(lián)程度要強于它們與其他專業(yè)知識點的關聯(lián)程度. 知識點的這種局部強關聯(lián)性表明專業(yè)知識是由本專業(yè)內一系列相互關聯(lián)的知識點聚集構成，有機地構建了本專業(yè)的知識系統(tǒng).

2 偏序關系的理論基礎

先引出偏序理論中一些相關定義和性質[3-4].

定義1 設R是非空有限論域U上的一個二元關系，其中R?U×U，如果R滿足自反性、反對稱性和傳遞性，那么稱R為偏序關系，記為≤, (U，≤)稱為偏序集. 對?x,y∈U，x≤y, 且x≠y，若不存在其他元素z∈U，使x≤z和z≤y，則稱元素y蓋住x，或稱y是x的直接后繼(反過來稱x是y的直接前驅)，并記COVU={|x,y∈U, y蓋住x}.

定義2 設(U，≤)為一個偏序集，對于確定的x∈U，稱[x]s={y| y∈U，y≤x}為(U，≤)上的一個偏序類. 稱[x]c={y| y∈U，x蓋住y }為(U，≤)上的一個直接偏序類.

定義3 設(U，≤)為一個偏序集，A?U是U的一個子集，對于a∈U，若?x∈A，有a≤x，則稱a為A的一個下界. A的下界可能有多個，若A的下界集合中存在一個最大元素，則稱該元素為A的下確界.同樣有A的上界和上確界的定義.

定義4 設(U，≤)為一個偏序集，A?U是U的一個子集，對于a∈A，若不存在x∈A，且x≠a,使x≤a，則稱a為A的一個極小元. 同理可得到A的極大元的定義.

定義5 設(U，≤)為一個偏序集，A?U是U的一個子集，若?x∈A和?y∈A，有x≤y或y≤x，則稱A為鏈. 設另有一個鏈B?U，若A∩B=Φ，則稱A和B為兩條平行鏈，否則稱A與B為兩條相交鏈，稱A∩B中的點為交點.

“我也可以進便宜的肥料，多一些利潤，但是我就是沒把利潤看得太重。我只是一心為農民服務，一心為我們縣的老百姓服務?！奔质∏部h的70歲老太太翟桂芝面對記者的采訪時，緊張的神情下透漏出些許年輕人的羞澀，但是說起自己做農資的經歷卻是滔滔不絕。

從幾何的直觀上看，鏈A中的元素可以按照a1，a2，…，an順序的排列在一條直線上.

定義6 設(U，≤)為一個偏序集，A?U是U的一個鏈，則稱A的最小元素為鏈A的源點，稱A的最大元素為鏈A的目標點. 設A={a1，a2，…，an}，且a1≤a2≤…≤an,則稱從源點a1經過a2，…，最后到達目標點an為一條從源點到目標點的路徑，且路徑長度為n-1.

3 偏序模型下知識點集的特性及含義

根據上述偏序理論，文中以計算機專業(yè)的程序設計語言課程和數據結構課程的部分知識點集為例，探討知識點集的偏序特性，如表1所示. 這里U1和U2分別表示C語言程序設計課程和數據結構(C語言版)課程的部分知識點集.

表1 C語言程序設計和數據結構部分知識點及其直接前驅知識點

續(xù)表1

設R1表示U1中知識點之間關系的集合，則具體表示如下：

U1={k14,k15,k19,k21,k22,k23,k24,k26,k28,k29,k30,k31,k32,k33,k35,k36,k37,k40,k41,k42,k43},

R1={,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,}，對應關系圖如圖1所示. 現約定對R1進行擴展，向R1中增加一些關系元素：1)所有的∈R1；2)若和∈R1，則∈R1，并約定對R1進行擴展后仍然沿用R1. 從知識點的依賴關系上解釋，這兩個擴展約定是具有實際意義的，并不矛盾. 從而可以證明，R1是U1上的一個偏序關系. 同理，設R2表示U2中知識點之間關系的集合，則結論與R1相同，在此省略.

3.1 知識點鏈

知識點偏序集中存在若干條知識點鏈，每個知識點都屬于某個(些)知識點鏈.圖1是U1在沒有對R1進行擴展約定前提下的自然依賴關系圖. 從圖1中可知，存在多條知識點鏈，如{k22,k37}、{k14,k23,k24,k30,k31}和{k19,k42,k43}等. 知識點鏈表明知識點的學習先后順序不同，如欲學習k37必先學習k22、學習k31必先學習k30、學習k30必先學習k24，……，依此按鏈路逆向推理；對于處在平行鏈上的知識點，其學習路徑不同，在學習時間的安排上可不必考慮其學習時間的先后順序，如{k14,k23,k24,k30,k31}和{k19,k42,k43}是兩條并行鏈，對于知識點k24和k42，彼此沒有學習時間上先后順序的關系；對于處在相交鏈上的交點，必須等待以該交點為目標點的鏈上所有知識點(即其前驅知識點)的學習完成之后才能開始學習，因此為了盡快學習交點知識點，必須盡早安排鏈上其前驅知識點的學習，如{k19,k21,k22,k24,k33}和{k26,k32,k33}兩條鏈交于k33，為盡快學習知識點k33，必須盡早安排學習知識點k19、k21、k22、k24、k26和k32. 顯然在不考慮每個知識點學習時間長短的情況下，應該盡早安排路徑長的鏈上知識點的學習[5].

在圖1中存在同源同目標的多條知識點鏈，即源點和目標點都相同的鏈有多條，此時可以忽略那些長度為1的鏈，并不影響對此目標知識點的學習. 因為這n條鏈都屬于相同的源和目標，并且存在長度大于1的其他鏈. 對于學習目標知識點而言，僅僅學習源知識點是不夠的，必須學完目標點的其他所有前驅知識點才可，而這些前驅知識點中已經包含了源點. 例如，源點和目標點分別為k19和k36的鏈路有三條：{k19,k36}、{k19,k21,k35,k36}和{k19,k21,k22,k35,k36}，鏈{k19,k36}的長度為1，忽略此鏈并不影響對k36知識點的學習.

圖1 R1的關系圖

3.2 知識點之間的直接依賴

由偏序集覆蓋的定義可知，COVU1即是所有知識點之間的直接依賴關系集的最小集，知識點之間的直接依賴關系，即直接前驅和直接后繼的關系，表明在時間上學習這些知識點的直接前后關系. U1中任一知識點的偏序類都是以該知識點為目標點的所有鏈路上知識點的集合. 比如知識點 k36的偏序類[k36]s={k35,k22,k21,k19}，表明知識點k35、k22、k21和k19都是U1集合中學習知識點k36的預備知識點，即前驅知識點，|[k36]s|為4，是k36前驅知識點的個數，表示影響學習知識點k36的其他知識點數目.

U1中任一知識點的直接偏序類則是被該點蓋住的所有知識點的集合，是該知識點直接前驅的最小集，是覆蓋COVU1的子集. 如k36的偏序類[k36]c={k35}，表明知識點k35是學習知識點k36的不可缺少的直接前驅知識點，k35知識點學過之后即可學習知識點k36. 其實，從圖1中可知，k36的直接前驅知識點為{k35,k19}，但是由前面討論可知，k19并非k36的必要的直接前驅[6].

3.3 課程之間知識點集的偏序性

綜合U1、R1和U2、R2，可知U1∩U2={k28,k30,k33,k36,k40,k41,k43}是C語言中的知識點，表明數據結構(C語言版)課程直接依賴C語言程序設計知識，在學習以C語言為算法描述工具的數據結構課程之前必須具備C語言程序設計知識. U1∪U2是這兩門課程中部分知識點集合，R1∪R2則是U1∪U2中知識點之間關系的集合. 可以證明，按照上述擴展約定擴展R1∪R2后，它也是一個偏序關系，U1∪U2則是一個偏序集. 這表明兩個互為直接前驅和直接后繼的課程知識點集可以合并為一個更大的知識點偏序集.

4 結語

知識點是構建知識系統(tǒng)的基本單位. 知識點之間的偏序性表明在學習上存在先后順序. 知識點偏序關系中存在許多條知識點鏈，每一條鏈都是一條知識點學習的路徑. 本文中僅研究了課程內知識點集的某些偏序性問題，其實整個專業(yè)的知識點集也具有類似的偏序性，因此隨后的研究內容還有很多，如知識點屬性研究、關鍵知識點鏈的研究和核心知識點集的研究等. 關鍵知識點對學習其他知識起著重要的作用，對教師教學具有指導意義，抓住關鍵知識點，有的放矢，采用適當的教學方法；對于學生學習，掌握關鍵知識點，有助于理順學習思路，取得事半功倍之效，因此尋找關鍵知識點將是今后研究內容. 此外，尋找專業(yè)的核心知識點集也將是今后研究的內容.

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[2] WONKIM. Towards a definition and methodology for blended learning[C]//Proeeedings of the Workshop on Blended Learning 2007. Edinburgh, UK: Pearson Prentiee Hall, 2007:1-8.

[3] KENNETH H, ROSEN. Discrete Mathematics and Its Applications[M]. 北京: 機械工業(yè)出版社, 2003.

[4] 馬振華. 現代應用數學手冊[M]. 北京: 清華大學出版社. 2002: 39-44.

[5] 葉先一, 張福基. 偏序集上的一種拓撲排序[J]. 數學研究, 2005(4): 440-443.

[6] 曲開社, 翟巖慧. 偏序集、包含度及形式概念分析[J]. 計算機學報. 2006(2): 219-226.

Knowledge Point Set and Its Characteristics of Partial Order

BI Bao-xiang1, GONG Ping-juan2, LIU You-song1
(1. Department of Information Science & Technology, Oujiang University, Wenzhou University, Wenzhou 325035, China; 2. College of Mathematics & Information Science, Wenzhou University, Wenzhou 325035,China)

The concept, division method and characteristics of knowledge point are discussed in this paper. The characteristics of partial order about the part of knowledge point sets ,which are part of the two selected college curriculums, are researched on the theory of partial order, and the two knowledge point sets and their merger are proved a posets. By means of researching on precursor and successor of knowledge points, direct dependence on the relationship between knowledge points and knowledge chain, the practical meanings in researching the characteristics of partial order of knowledge point sets are elaborated.

Knowledge point set; Partial Order; Knowledge-point link

TP301

A

1009-2854(2010)08-0009-04

2010-07-28;

2010-08-15

畢保祥(1961― )，男，湖北襄樊人，溫洲大學甌江學院信息系副教授.

陳 丹）