馮天祥

（東莞職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東東莞 523808）

目前，線性方程組的求解一般不用直接法而采用迭代法，高斯-賽德爾方法是比較經(jīng)典的一種迭代方法，而高斯-賽德爾方法的收斂性問題是該方法得以實(shí)施的前提.對于比較特殊的線性方程組用高斯-賽德爾方法求解的收斂性已經(jīng)得到了非常完備的結(jié)論.

本文首先介紹了用高斯-賽德爾方法求解一般線性方程組的問題，其次介紹了與高斯-賽德爾方法收斂性有關(guān)的幾個已有結(jié)果，然后給出了用高斯-賽德爾方法求解一般三對角方程組收斂的充分必要條件，最后在收斂的條件下給出用高斯-賽德爾方法求解一般三對角方程組的計算機(jī)實(shí)現(xiàn).

1 高斯-賽德爾方法的已有結(jié)果

1.1 高斯-賽德爾迭代方法

設(shè) A= (aij)n×n，其中 aii≠ 0(i = 1,2,...,n)，如果記

則解線性方程組AX=B的高斯-賽德爾方法的迭代格式為

其中記

1.2 幾個引理

引 理 1[1](36-80)對 于 迭 代 格 式X(k+1)= BX(k)+ C ，如果方程組X = BX +C有唯一解，則對于任意初始向量 X(0)，迭代格式X(k+1)= BX(k)+ C 格式都收斂的充分必要條件是其迭代矩陣G的普半徑 ρ( G)＜1.

引理 2 解線性方程組AX=B的高斯-賽德爾迭代格式

X(k+1)=(I- L)-1UX(k)+(I- L)-1C 收斂的充分必要條件是

由引理1立即可得到引理2.

引理4[3-4]上（下）三角矩陣的特征值就是該矩陣的對角元.

2 用高斯-賽德爾方法求解三對角方程組的收斂性

定理 設(shè)有三對角矩陣

其中A可逆且 aii≠ 0(i = 1,2,...,n)，則用高斯-賽德爾方法求解線性方程組AX=B收斂的充分必要條件是

證明：由于嚴(yán)格下（上）三角矩陣

則高斯-賽德爾迭代矩陣為

所以由引理4知矩陣 (I-L)-1U的特征值分別為

所以

由引理 2知用高斯-賽德爾方法求解線性方程組AX=B收斂的充分必要條件是

3 用高斯-賽德爾方法求解三對角方程組的計算機(jī)實(shí)現(xiàn)

對三對角矩陣

其中A可逆且 aii≠0(i = 1,2,...,n).

用高斯-賽德爾方法求解線性方程組AX=B的步驟如下：

第一步：輸入矩陣

第二步：求出嚴(yán)格下（上）三角矩陣L,U

第三步：求出高斯-賽德爾方法的迭代矩陣

第四步：求出

第五步：迭代計算線性方程組AX=B的滿足精度要求的近似解

1）寫出 D =diag(a11,a22,...,ann)，計算

2）計算出 G =(I- L)-1U ,H =(I-L)-1C

[1]馮天祥.數(shù)值計算方法[M].成都：四川科學(xué)技術(shù)出版社，2003.

[2]李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值計算[M].武漢：華中理工大學(xué)出版社，1998.

[3]王萼芳.高等代數(shù)教程[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006.

[4]Feng Tian-xiang. Re-discussing Applications of Elementary Transformation in Matrix computation[J].重慶三峽學(xué)院學(xué)報，2008（3）.