周 俊

（長江大學 信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023）

曲線最小二乘擬合的自適應方法

周 俊

（長江大學 信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023）

文章提出了一種自適應的最小二乘曲線擬合方法.根據(jù)觀測數(shù)據(jù)該方法自適應地選擇擬合函數(shù)模型.數(shù)值結果表明，所提出的自適應方法能更好地擬合觀測數(shù)據(jù)之間的關系.

曲線擬合；最小二乘；自適應方法；函數(shù)模型

0 引言

科學研究與工程計算中，常常需要從一組觀測數(shù)據(jù)｛（x i，y i），i＝1，2，…，m｝出發(fā)，尋找變量x，y的函數(shù)關系式y(tǒng)＝f（x）.絕大多數(shù)情況下很難找到它們之間的精確表達式，這時就要根據(jù)觀察點，利用最小二乘曲線擬合去構造一個近似解析式y(tǒng)＝f（x）≈F（C，x）.利用該方法擬合出的函數(shù)曲線雖然不能保證通過所有的樣本點，但是很好地逼近了它們，充分反映了已知數(shù)據(jù)間內在的數(shù)量關系，在實踐中具有廣泛的應用前景［1］.

最小二乘曲線擬合的關鍵是選擇曲線擬合函數(shù)

現(xiàn)有的曲線擬合方法大多數(shù)是根據(jù)觀測數(shù)據(jù)的分布狀況來選取相應的擬合函數(shù)模型，有時所選定的擬合函數(shù)模型并不能準確地反映出數(shù)據(jù)間的關系.因此如何根據(jù)數(shù)據(jù)的總體分布狀況，減少主觀影響因素，選取恰當?shù)臄M合函數(shù)模型越來越受到研究者的重視.

在本文中，我們將提出一種自適應最小二乘曲線擬合方法，即根據(jù)觀測數(shù)據(jù)自適應地選擇恰當?shù)臄M合函數(shù)模型.方法減少了人為因素，能夠恰當?shù)財M合觀測數(shù)據(jù)之間的關系.數(shù)值結果表明，相比于傳統(tǒng)擬合方法，自適應擬合方法能更好地反映數(shù)據(jù)間的關系.

1 自適應方法

根據(jù)觀測數(shù)據(jù)，不妨假設擬合函數(shù)模型具有如下形式：

考慮到常微分方程基礎解系能夠包含多種簡單函數(shù)形式，因此將擬合基函數(shù)Φ1（x），Φ2（x），…，Φn（x），視為如下常微分方程

的基礎解系，并且滿足節(jié)點函數(shù)條件，即y1＝F（x1），…，y m＝F（x m）.

對于常微分方程（2）系數(shù)的確定，可以由觀測數(shù)據(jù)y1，y2，…，y m（m＞n）確定，這就是所謂的常微分方程的反問題［2］：

通過求解常微分方程中的系數(shù)a0，a1，…，an－1，得出擬合基函數(shù)Φ1（x），Φ2（x），…，Φn（x），最后采用最小二乘法，得到擬合函數(shù)模型.

2 計算方法

3 數(shù)值試驗

為了說明自適應擬合方法的優(yōu)越性，本節(jié)我們對觀測數(shù)據(jù)（表1）采用自適應法選擇擬合模型，確定y與x的關系.

表1 觀測數(shù)據(jù)

算法1 求解y″＋βy′＋γy＝0，y（x r）＝f（x r），r＝1～10.利用式（7）確定常數(shù)β，γ，并求出擬合基函數(shù)Φ1（x），Φ2（x），再作最小二乘擬合，得到擬合函數(shù)為：

算法2 求解y″＋ay＝0，y（x r）＝f（x r），r＝1～10.利用式（6）求出基函數(shù)Φ1（x），Φ2（x），再作最小二乘擬合，得到擬合函數(shù)為［3］：

算法3 用y″＋ay＝0，y（x r）＝f（x r），r＝1～10.利用式（4）求出基函數(shù)Φ1（x），再作最小二乘擬合，得到擬合函數(shù)為［3］：

利用MATLAB畫出三種算法得到的擬合函數(shù)對觀測數(shù)據(jù)的擬合情況，從圖1-a可以看出算法1效果最好，所以取擬合函數(shù)為：

此時殘差平方和‖Y－y‖2＝0.003 4.

算法4 對數(shù)據(jù)y作自然對數(shù)變換，取對數(shù)U＝lny，再利用算法1，根據(jù)式（7）確定常數(shù)β，γ，并求出擬合基函數(shù)Φ1（x），Φ2（x），再作最小二乘擬合，得到擬合函數(shù)為［3］：

此時殘差平方和‖Y－y‖2＝1.3×10－4，從圖1-b中也可以看出，對數(shù)據(jù)作自然對數(shù)變換后得到的擬合函數(shù)，其擬合效果比算法1的效果更好.

圖1 觀測數(shù)據(jù)與曲線擬合

4 結論

最小二乘曲線擬合就是一種揭示數(shù)據(jù)間內在聯(lián)系的非常重要的方法，在數(shù)據(jù)處理和誤差分析中應用非常廣泛，可提高數(shù)據(jù)處理的效率和精確度.本文提出一種自適應的最小二乘曲線擬合方法，根據(jù)觀測數(shù)據(jù)自適應選擇擬合模型.數(shù)值結果表明，該方法能有效地反映數(shù)據(jù)間的聯(lián)系.

［1］陳 忠，朱建偉.數(shù)值計算方法［M］.北京：石油工業(yè)出版社，2003

［2］東北師范大學微分方程教研室.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2006

［3］薛定宇，陳陽泉.高等應用數(shù)學問題的MATLAB求解［M］.北京：清華大學出版社，2004

An Adaptive Least Square Method for Fitting Curve

Zhou Jun
（School of Information and Mathematics，Yangtze University，Jingzhou 434023，China）

An adaptive least square method for fitting curve is proposed.Following the observed datas，the method proposed can choose the fitting functions adaptively.The numerical results show that the adaptive method can fit the relationship among the observed datas perfectly.

fitting curve；least square；adaptive method；function model

王映苗】

1672-2027（2011）03-0017-04

O241.5

A

2011-03-25

湖北省教育廳A類重點項目（D20101304）.

周 ?。?975-），男，湖北天門人，碩士，長江大學信息與數(shù)學學院副教授，主要從事最優(yōu)化理論方面的教學與研究.