丁皓明

(阿壩師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系，四川郫縣 611741)

具有指數(shù)度數(shù)的時(shí)滯混沌系統(tǒng)的脈沖指數(shù)穩(wěn)定性

丁皓明

(阿壩師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系，四川郫縣 611741)

利用Lyapunov穩(wěn)定性定理和線性矩陣不等式，構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov-Krasovskii函數(shù)，得到了具有指數(shù)度數(shù)的多時(shí)滯混沌系統(tǒng)脈沖同步的充分條件，改進(jìn)了已有的相關(guān)結(jié)果.

時(shí)滯混沌系統(tǒng)；脈沖指數(shù)；Lyapunov穩(wěn)定性定理；線性矩陣不等式；Lyapunov-Krasovskii函數(shù)

在混沌系統(tǒng)同步性問題研究中，人們總是期望發(fā)送和接收信號(hào)能達(dá)到完全同步.然而，在通訊安全系統(tǒng)中發(fā)送與接收信號(hào)之間總存在誤差.因此，發(fā)送和接受系統(tǒng)之間的誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性就成了近年來研究的熱點(diǎn).文獻(xiàn)[1-2]利用非光滑Lyapunov-Like函數(shù)得出了含有脈沖及脈沖滯后的發(fā)送與接收系統(tǒng)同步的條件.文獻(xiàn)[3]利用Lyapunov-krasovskii函數(shù)與線性矩陣不等式來研究誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性，獲得了接受系統(tǒng)與發(fā)送系統(tǒng)脈沖同步的條件.本文對文獻(xiàn)[3]的系統(tǒng)進(jìn)行了改進(jìn)變換，研究了當(dāng)文獻(xiàn)[3]中的發(fā)送與接收系統(tǒng)帶有指數(shù)度數(shù)時(shí)，誤差時(shí)滯系統(tǒng)的脈沖指數(shù)穩(wěn)定性，改進(jìn)了文獻(xiàn)[3]的結(jié)論.

1 系統(tǒng)的描述與準(zhǔn)備

考慮下面帶有反饋的混沌系統(tǒng)

此處，x(.)∈Rn是狀態(tài)向量，u(.)∈Rn是控制回饋輸入向量，A,B∈Rn×n是常數(shù)矩陣，f1,f2∈Rn是非線性連續(xù)函數(shù)，并且保證解存在唯一.r>0是時(shí)滯常數(shù).

假設(shè)系統(tǒng)（1）滿足的初始條件為：

其中?(t)在[t0?r,t0]上連續(xù)有界.

假設(shè)系統(tǒng)有不穩(wěn)定的固定點(diǎn)，或者是不穩(wěn)定的周期軌道x%(t)，并且x%(t)是連續(xù)的混沌解.反饋控制的目的是為了保障x%(t)漸近收斂.這里控制是標(biāo)準(zhǔn)的反饋控制方法，控制輸入向量是：

其中K在此處是控制器可調(diào)矩陣的系數(shù).

混沌系統(tǒng)（1）接收端的表達(dá)式為：

在混沌系統(tǒng)（1）和（3）應(yīng)用如下的轉(zhuǎn)換：

其中α>0是常數(shù).

系統(tǒng)（4）滿足的初始條件為：

其中?(t)在[t0?r,t0]上連續(xù)有界.

系統(tǒng)（6）滿足的初始條件是：

將變換（4）代入（1）的控制系統(tǒng)可得：

2 主要引理

在給出主要結(jié)論之前，先引入兩個(gè)引理.

引理1 對于向量a,b∈R和對稱正定矩陣Q，有 2ab≤aQa+bQb.

引理2①見: Gu K. An integral inequality in the stability problem of time-delay systems [C]// Proceeding of 39th IEEE Conference on Decision and Control. Sydney, 2000: 2805-2810.對任意的正定矩陣N∈Rn×n，存在γ>0以及向量函數(shù)ω: [0 ,γ]→Rn，有：

3 主要結(jié)論

則誤差系統(tǒng)（14）的零解是指數(shù)穩(wěn)定的，即混度系統(tǒng)（8）和（9）是脈沖指數(shù)同步的，它們的指數(shù)穩(wěn)定度為α.其中，

應(yīng)用引理1和（13），可以得到：

4 結(jié)束語

混沌系統(tǒng)的脈沖同步性在通訊安全系統(tǒng)中有很廣泛的應(yīng)用.本文應(yīng)用schur補(bǔ)和指數(shù)穩(wěn)定性定義對混沌系統(tǒng)同步問題進(jìn)行理論分析，避免了復(fù)雜的 Lyapunov指數(shù)計(jì)算，得到了差信號(hào)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性條件.滿足此條件，發(fā)送和接收系統(tǒng)就會(huì)達(dá)到混沌同步.

[1]Guan Z H, Chan C W, Leung Y T, et al. Robust Stabilization of Singular-impulsive-delayed Systems with non-linear Perturbations [J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, 2001, 48(8): 1011-1019.

[2]Khadra A, Liu X Z, Shen X. Impulsively synchronizing chaotic systems with delay and applications to secure communication [J]. Automatica , 2005, 41: 1491-1502.

[3]丁皓明. 一類多時(shí)滯混沌系統(tǒng)的脈沖同步問題的研究[J]. 中國科技信息, 2009, 24: 37-39.

[4]Boyd S, Ghaoui E L, Feron E, et al. Linear Matrix Inequalities In System and Control Theory [M]. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1994: 19-21.

[5]Kolmanovskii V, Myshkis A. Introduction to the Theory and Applications of Functional Differential Equations [M]. Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1999: 527.

Impulsive Exponential Stabilization of Time-delay Chaotic System with Exponential Degree

DING Haoming
(Department of Mathematics, Aba Teacher’s College, Pixian, China 611741)

Appropriate Lyapunov-Krasovskii function was constructed by applying the Lyapunov stability theory and linear matrix inequalities. Some sufficient conditions of multiple time-delay chaotic system’s impulsive synchronization with exponential degree were given to improve the results of the relevant documents.

Time-delay Chaotic System; Impulsive Exponent; Lyapunov Stability Theory; Linear Matrix Inequality; Lyapunov-Krasovskii Function

(編輯：王一芳)

O29

A

1674-3563(2011)01-0024-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2011.01.004 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2010-06-13

丁皓明(1978- )，女，回族，四川金川人，助教，碩士，研究方向：微分方程的穩(wěn)定性